線性代數(shù)教學(xué)中M3+2教學(xué)模式的應(yīng)用

線性代數(shù)教學(xué)中M3+2教學(xué)模式的應(yīng)用線性代數(shù)教學(xué)中M3+2教學(xué)模式的應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G40－012【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1006－9682〔2022〕12－0029－03

【Abstract】ThisarticleelaboratesM3＋2teachingpatterninlinearalgebra,analyzingdifferencesbetweenM3＋2teachingandtraditionalteachingpattern,pointingsomeproblemswhenusingM3＋2teachingpattern,andintroducingspecificallyapplicationoftheM3＋2teachingpatterninlinearalgebrabyPAJEKandMATLABsoftwareas“squarematrixcharacteristicvaluesandcharacteristicvectors〞forexample.

【Keywords】M3＋2teachingpatternPAJEKsoftwareMATLABsoftwareInterestingofstudy

線性代數(shù)是高等院校理工科各專(zhuān)業(yè)學(xué)生的一門(mén)必修課程，但由于該課程具有較高的抽象性及較強(qiáng)的邏輯性，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門(mén)課程時(shí)，不足積極性和主觀能動(dòng)性。如何充沛調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，一直是人們努力探索的問(wèn)題。筆者認(rèn)為，M3＋2教學(xué)模式在調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面具有重要作用，如果能推廣M3＋2教學(xué)法，一定能在提高學(xué)生素質(zhì)和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力方面收到積極效果。

一、M3＋2教學(xué)法的定義

M3＋2教學(xué)模式是一種綜合教學(xué)法。其中M代表數(shù)學(xué)英文單詞Mathematics中的首字母；“3〞代表三種教學(xué)辦法，分別是案例式、啟發(fā)式和歸納式教學(xué)法；“2〞代表兩種教學(xué)方式，分別是多媒體與板書(shū)相結(jié)合、數(shù)學(xué)試驗(yàn)與數(shù)學(xué)軟件相結(jié)合。這里的數(shù)學(xué)軟件包括Matlab、Mathematica等常用軟件。

案例教學(xué)法是以案例為題材，在教師的指導(dǎo)下，運(yùn)用多種方式啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，從而到達(dá)教學(xué)目的的一種教學(xué)辦法。線性代數(shù)中的案例通常是指與教學(xué)主要內(nèi)容有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，示例：

第一，在講授矩陣的逆矩陣時(shí)，可以通過(guò)密碼的編譯及破譯問(wèn)題作為引入，講授相關(guān)內(nèi)容后再解決該實(shí)際問(wèn)題。

第二，在講授矩陣的特征值與特征向量時(shí)，可以通過(guò)Google搜索網(wǎng)頁(yè)的排列順序問(wèn)題作為引入，講授相關(guān)內(nèi)容后再解決該實(shí)際問(wèn)題。

第三，在講授正交矩陣時(shí)，可以通過(guò)結(jié)構(gòu)化學(xué)中原子軌道的雜化問(wèn)題作為引入，講授相關(guān)內(nèi)容后再解決該實(shí)際問(wèn)題。

第四，在化二次型為規(guī)范形時(shí)，可以通過(guò)空間曲面〔球面、橢圓拋物面及馬鞍面等等〕作為引入，講授相關(guān)內(nèi)容后再解決該實(shí)際問(wèn)題。

啟發(fā)式教學(xué)法是教師在教學(xué)過(guò)程中依據(jù)學(xué)習(xí)過(guò)程的客觀規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、積極、自覺(jué)地掌握知識(shí)的教學(xué)辦法。它是以激發(fā)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性為起點(diǎn)，讓學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋、積極思維、主動(dòng)實(shí)踐，從而掌握知識(shí)、技能、開(kāi)展智力，形成一定的觀點(diǎn)。線性代數(shù)教學(xué)中啟發(fā)的方式有置疑啟發(fā)，又稱(chēng)問(wèn)題啟發(fā)；直觀啟發(fā)，包括演示啟發(fā)、比喻啟發(fā)以及練習(xí)輔導(dǎo)啟發(fā)。

歸納式教學(xué)法是對(duì)一系列個(gè)別的具體例證或?qū)嶋H數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和討論，概括總結(jié)出一般性結(jié)論的邏輯推理，從而到達(dá)教學(xué)目標(biāo)的一種教學(xué)辦法。線性代數(shù)中常使用的歸納方式有：根據(jù)教材教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性進(jìn)行整體歸納，使學(xué)生了解教材內(nèi)容的概貌；根據(jù)同類(lèi)型教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行橫向歸納，使學(xué)生正確理解所學(xué)根本概念和盡快掌握所學(xué)根底理論；對(duì)相互關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行縱向歸納，使學(xué)生能融會(huì)貫穿所學(xué)根底理論；根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同之處進(jìn)行差別歸納，使學(xué)生正確理解所學(xué)根本概念和根本理論。示例，對(duì)角矩陣對(duì)角化的三大步驟可以遷移到用正交變換法化二次型為規(guī)范形中去，這是橫向歸納。

二、M3＋2教學(xué)模式與傳統(tǒng)教學(xué)模式的比擬

由于M3＋2教學(xué)模式是一種綜合教學(xué)法，與灌輸式的傳統(tǒng)教學(xué)法相比，他們之間有明顯的區(qū)別，本文從下列三方面進(jìn)行分析：

1．教學(xué)過(guò)程的主體與溝通方式不同

傳統(tǒng)的教學(xué)辦法，主要是教師采取原理加例證方式對(duì)所授知識(shí)進(jìn)行講解和表明，教師是整個(gè)教學(xué)過(guò)程的主體。這種教學(xué)辦法的積極之處是教師可以在有限時(shí)間內(nèi)傳授較大量的知識(shí)，節(jié)約時(shí)間，知識(shí)傳授數(shù)量較高。但由于教師處于主導(dǎo)地位，由教師向?qū)W生灌輸知識(shí)，學(xué)生只是被動(dòng)的接受者，因此學(xué)生對(duì)知識(shí)不能深刻的理解。M3＋2教學(xué)模式那么是由老師提出實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生自己主動(dòng)分析解決問(wèn)題所需要的條件；整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師是一個(gè)引導(dǎo)者，學(xué)生那么是主體。在溝通方面，M3＋2教學(xué)模式可以啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自己去求索知識(shí)，實(shí)現(xiàn)相互啟發(fā)、充沛互動(dòng)，最后再加以歸納。這樣獲得的知識(shí)，理解深刻，掌握全面，應(yīng)用領(lǐng)域也比擬廣泛。

2．學(xué)生學(xué)習(xí)積極性主動(dòng)不同

傳統(tǒng)教學(xué)模式之下，是教師向?qū)W生灌輸知識(shí)，學(xué)生那么是被動(dòng)接受知識(shí)，沒(méi)有主動(dòng)性，也無(wú)法提起他們學(xué)習(xí)的積極性。同時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)法學(xué)生只需被動(dòng)的接受知識(shí)和認(rèn)真理解記憶便可，無(wú)須進(jìn)行積極的準(zhǔn)備，不能給學(xué)生以足夠的鼓勵(lì)。因此，學(xué)生的求知狀態(tài)是消極被動(dòng)的，心理準(zhǔn)備狀態(tài)也不是積極主動(dòng)的。而M3＋2教學(xué)模式那么不然，它由教師向?qū)W生提出問(wèn)題，要求學(xué)生通過(guò)閱讀資料，尋找解決問(wèn)題的原理和辦法，最后進(jìn)行交流互動(dòng)等活動(dòng)。如此，一方面，讓學(xué)生主動(dòng)積極的參與學(xué)習(xí)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；另一方面，訓(xùn)練了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

3．教學(xué)目的和教學(xué)效果不同

傳統(tǒng)教學(xué)主要側(cè)重于知識(shí)傳授，學(xué)生理解、掌握了知識(shí)便到達(dá)了教學(xué)目的。另外，教師只一味地傳授，所以教學(xué)效果不佳。而M3＋2教學(xué)模式不是給學(xué)生直接講授知識(shí)，而是通過(guò)生活中的實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生去思考解決問(wèn)題所需要的條件，哪些條件是已知的，哪些又是未知的，注重的是得出結(jié)論的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生自我獲取知識(shí)、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。這有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新素質(zhì)。

三、實(shí)施M3＋2教學(xué)模式應(yīng)注意的問(wèn)題

實(shí)施M3＋2教學(xué)法時(shí)，教師應(yīng)該重點(diǎn)把握下列三個(gè)環(huán)節(jié)：

1．精選教學(xué)案例

M3＋2教學(xué)模式以案例作為教學(xué)的起點(diǎn)，所以選好案例是搞好M3＋2教學(xué)的前提和根底。教師在選擇案例時(shí)要注意下列四點(diǎn)：①相關(guān)性。選擇案例的目的是使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)理論知識(shí)的理解和運(yùn)用理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，因此，所選案例必須合乎教學(xué)目標(biāo)。②可信性。所選案例要來(lái)源于生活實(shí)際，而不是胡編亂造的。③典型性。案例的典型性要求緊密?chē)@所要傳授的核心內(nèi)容和根本理論選擇一些有代表性的案例，以到達(dá)使學(xué)生加深理解根本理論的目的。④廣泛性。所選的案例應(yīng)來(lái)源于不同的學(xué)科領(lǐng)域，以擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面。

2．抓住學(xué)生學(xué)習(xí)心理，進(jìn)行適時(shí)的課堂啟發(fā)。

學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和興趣與他們所需要的有關(guān)。學(xué)生對(duì)新穎的、運(yùn)動(dòng)變化的、有應(yīng)用價(jià)值的、通過(guò)努力能學(xué)會(huì)的知識(shí)感興趣；同時(shí)，對(duì)將來(lái)考研和工作所需要的知識(shí)更愿意去學(xué)。因此，這就需要教師選擇的案例能引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣或者是學(xué)生所需要的；其次，教師必須要進(jìn)行適時(shí)的課堂啟發(fā)引導(dǎo)；最后，要求教師的數(shù)學(xué)語(yǔ)言不僅要嚴(yán)謹(jǐn)、精練，而且課堂用語(yǔ)要流暢、生動(dòng)、形象富有風(fēng)趣感。這對(duì)學(xué)生有吸引力，能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3．歸納要簡(jiǎn)潔全面

由于線性代數(shù)具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，并且定義、定理較多，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生注意理解定義或定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，并能對(duì)所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)潔全面的歸納。這樣，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)過(guò)程中的綜合記憶，起到強(qiáng)化對(duì)事物內(nèi)在聯(lián)系記憶的作用，為打消學(xué)習(xí)中的混同情況發(fā)明了條件。

四、M3＋2教學(xué)模式的應(yīng)用

下面以講授?線性代數(shù)》教學(xué)內(nèi)容中的“方陣的特征值及特征向量〞為例，實(shí)際應(yīng)用M3＋2教學(xué)模式。具體過(guò)程如下：

步驟1：

案例〔實(shí)際問(wèn)題〕：Google搜索網(wǎng)頁(yè)的顯示排列順序

抽象出的數(shù)學(xué)問(wèn)題：網(wǎng)頁(yè)重要性的計(jì)算

在當(dāng)今信息社會(huì)里，網(wǎng)絡(luò)將全世界聯(lián)系了起來(lái)。人們可以從網(wǎng)絡(luò)上獲得大量的信息，比方：要獲得2022年上海世博會(huì)的相關(guān)信息，可以在Google搜索欄里輸入“世博會(huì)〞三個(gè)字，這樣便可以得到大約32000000個(gè)相關(guān)的網(wǎng)頁(yè)，提問(wèn)“這些網(wǎng)頁(yè)是按怎樣的順序排列顯示的呢？〞讓學(xué)生思考、討論。

其實(shí)，Google顯示網(wǎng)頁(yè)的順序是通過(guò)PageRank排序算法得到的。

然后可以簡(jiǎn)單介紹這種算法的起源，以引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。PageRank排序算法是由SergeyBrin和LarryPage于1998年在美國(guó)斯坦福大學(xué)創(chuàng)立的，他們認(rèn)為衡量網(wǎng)頁(yè)的重要性應(yīng)基于兩點(diǎn)：

〔1〕得票數(shù)量：得票越多，重要性越高。

〔2〕得票質(zhì)量：評(píng)估每個(gè)投票網(wǎng)頁(yè)的重要性，重要性較高的網(wǎng)頁(yè)投出的票被認(rèn)為具有較高的價(jià)值。

網(wǎng)頁(yè)的投票是通過(guò)超鏈接產(chǎn)生的，假設(shè)有一個(gè)從A到B的超鏈接，可以認(rèn)為網(wǎng)頁(yè)A向網(wǎng)頁(yè)B投了一次票。

如果設(shè)矩陣的第i行，表示第i個(gè)網(wǎng)頁(yè)的投票情況；矩陣的第j列，表示第j個(gè)網(wǎng)頁(yè)的得票情況；并設(shè)每個(gè)網(wǎng)頁(yè)所投出的票都為單位1。那么在Pajek軟件中，對(duì)于表1所示的超鏈接就可以構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)圖1，A、B、C分別表示三個(gè)網(wǎng)頁(yè)。

并可以得到一個(gè)矩陣。假設(shè)xk〔xk≥0，k

＝1，2，3〕分別表示網(wǎng)頁(yè)A、B、C的重要性，那么從矩陣B的列可以得到：在得票數(shù)量方面，網(wǎng)頁(yè)A得到了網(wǎng)頁(yè)C一半的投票；網(wǎng)頁(yè)B得到了網(wǎng)頁(yè)A一半和網(wǎng)頁(yè)C一半的投票；網(wǎng)頁(yè)C得到了網(wǎng)頁(yè)A一半和網(wǎng)頁(yè)B全部的投票；在每個(gè)網(wǎng)頁(yè)的得票質(zhì)量方面，PageRank排序算法給出了一個(gè)界于［0，1］的阻尼系數(shù)λ。這樣，在綜合了網(wǎng)頁(yè)的得票數(shù)量和得票質(zhì)量后便可得到衡量網(wǎng)頁(yè)重要性的方程：

即矩陣方程Ax＝λx，其中，A＝BT，x＝〔x1，x2，x3〕T。

步驟2：給出方陣特征值及特征向量的定義。

定義：設(shè)A是一個(gè)n階方陣，如果數(shù)λ和n為非零列向量x使關(guān)系式Ax＝λx成立，則這樣的數(shù)λ稱(chēng)為矩陣A的特征值，非零列向量x稱(chēng)為方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。

步驟3：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方陣的特征值及特征向量定義進(jìn)行剖析和表明。

〔1〕特征值是對(duì)方陣而言的，特征向量不等于0。

〔2〕對(duì)方程Ax＝λx變形得到〔A－λE〕x＝0，它是一個(gè)齊次線性方程組。所以，n階方陣A的特征值就是使齊次線性方程組〔A－λE〕x＝0有非零解的λ的值。此時(shí)啟發(fā)學(xué)生回顧齊次線性方程組〔A－λE〕x＝0有非零解的條件，并讓學(xué)生答復(fù)〔〕。由此引出方陣的特征方程及特征多項(xiàng)式的定義及數(shù)學(xué)敘述式。

步驟4：歸納求方陣特征值及特征向量的步驟。

讓學(xué)生根據(jù)自己的理解，歸納求方陣特征值及特征向量的方

法和步驟，老師加以補(bǔ)充和完善。

〔1〕計(jì)算方陣A的特征多項(xiàng)式det〔A－λE〕。

〔2〕求出特征方程的全部解λ1，λ2，…，λn，它們就是方陣A的全部特征根。

〔3〕將特征值λi〔i＝1，2，…，n〕代入齊次線性方程組〔A－λiE〕x＝0求出其非零解，此解就是對(duì)應(yīng)于特征值λi〔i＝1，2，…，n〕的特征向量。

步驟5：舉例表明方陣特征值及特征向量的求解。

列舉的例子要有代表性，可以是二階或是三階的方陣，但必須要考慮到方陣的特征值全為實(shí)數(shù)，包含全部不相等和局部相等的情況，也要考慮到方陣的特征值為復(fù)數(shù)的情況。

步驟6：介紹利用MATLAB7.0軟件計(jì)算方陣特征值及特征向量的辦法。

利用MATLAB7.0可以很方便地計(jì)算出方陣的特征值及特征向量，命令為[V,D]=eig(A)。它得到的矩陣D中主對(duì)角線上的元素為方陣A的特征值，矩陣V是由特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量作為列構(gòu)成的。

步驟7：求解引例“網(wǎng)頁(yè)重要性的計(jì)算〞。

在MATLAB7.0中輸入命令[V,D]=eig(A)可求出矩陣

的特征值為：

λ1＝1，λ2＝－0.5＋0.58×10－8i，λ3＝－0.5－0.58×10－8i

λ1＝1對(duì)應(yīng)的特征向量為〔0.37140.55710.7428〕T。

所以，x3所表示的網(wǎng)頁(yè)C首先