2022高考立體幾何易錯(cuò)題集

2022高考立體幾何易錯(cuò)題集立體幾何易做易錯(cuò)題選一、選擇題：在正方體ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD1、D1C1的中點(diǎn)，則直線0M（）A是AC和MN的公垂線B垂直于AC但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD與AC、MN都不垂直正確答案：A錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影。已知平面〃平面，直線L平面，點(diǎn)P直線L,平面、間的距離為8，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10，且到L的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（）A一個(gè)圓B四個(gè)點(diǎn)C兩條直線D兩個(gè)點(diǎn)正確答案：B錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)點(diǎn)線距離、線線距離、面面距離的關(guān)系不能靈活掌握。3.正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持APIBD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡（）A線段B1CBBB1的中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段C線段BC1DCB中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段正確答案：A錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，對(duì)三垂線定理逆定理不能靈活應(yīng)用。4.給出下列命題：①分別和兩條異面直線AB、CD同時(shí)相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線②同時(shí)與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行③斜線b在面a內(nèi)的射影為c,直線a丄c,則a丄b④有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形，其中真命題是()正確答案：①錯(cuò)誤原因：空間觀念不明確,三垂線定理概念不清5．已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)相等,把它們拼接起來(lái)使一個(gè)表面重合,所得多面體的面數(shù)有()A、7B、8C、9D、10正確答案：A錯(cuò)誤原因：4+8—2=10下列正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是OSQRQPSQSDCBA正確答案：D錯(cuò)誤原因：空間觀點(diǎn)不強(qiáng)a和b為異面直線，則過(guò)a與b垂直的平面()A、有且只有一個(gè)B、一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè)C、可能不存在D、可能有無(wú)數(shù)個(gè)正確答案：C錯(cuò)誤原因：過(guò)a與b垂直的夾平面條件不清給出下列四個(gè)命題：各側(cè)面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各頂點(diǎn)都有3條棱，則其頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F－V=4.若直線l丄平面a，l〃平面B，則a丄B.（4）命題“異面直線a、b不垂直，則過(guò)a的任一平面與b都不垂直”的否定.其中，正確的命題是A．（2）（3）B．（1）（4）C．（1）（2）（3）（）D．（2）（3（4）正確答案：A如圖，AABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A,B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40。角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（）A．75°B．60°C．50°D．45°正確答案：C—直線與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別為a，B，則a+B滿足（）A、a+B〈900B、a+BW900C、a+B〉900D、a+B$900答案：B點(diǎn)評(píng)：易誤選A,錯(cuò)因：忽視直線與二面角棱垂直的情況。在正方體AC1中，過(guò)它的任意兩條棱作平面，則能作得與A1B成300角的平面的個(gè)數(shù)為（）A、2個(gè)B、4個(gè)C、6個(gè)D、8個(gè)答案：B點(diǎn)評(píng)：易瞎猜，6個(gè)面不合，6個(gè)對(duì)角面中有4個(gè)面適合條件。AABC的BC邊上的高線為AD,BD=a,CD=b，將△ABC沿AD折成大小為&的二面角B-AD-C，若a,則三棱錐A-BCD的側(cè)面三角形ABC是()bA、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、形狀與a、b的值有關(guān)的三角形答案：C點(diǎn)評(píng)：將平面圖形折成空間圖形后線面位置關(guān)系理不清，易瞎猜。co13．設(shè)a，b，c表示三條直線，,表示兩個(gè)平面，則下列命題中逆命題不成立的是()。(a)c，若c,則//(b)b,c,若c//,則b//c(c)b,若b,貝lj(d)b,c是在內(nèi)的射影，若bc，則b正解：CC的逆命題是b,若，則ba顯然不成立。誤解：選Bo源于對(duì)C是在內(nèi)的射影理不清。14．和是兩個(gè)不重合的平面,在下列條件中可判定平面和平行的是(a和都垂直于平面b內(nèi)不共線的三點(diǎn)到的距離相等cl,m是平面內(nèi)的直線且l//,m//dl,m是兩條異面直線且l//,m//,m//,l//正解：D對(duì)于A,，可平行也可相交；對(duì)于B三個(gè)點(diǎn)可在平面同側(cè)或異側(cè)；對(duì)于l,m在平面內(nèi)可平行，可相交。對(duì)于D正確證明如下：過(guò)直線l,m分別作平面與平面，相交，設(shè)交線分別為l1,m1與lm2，由已知l//,l//得l//ll,l//l2，從而ll//l2，則11//，同理ml//,//誤解：B往往只考慮距離相等，不考慮兩側(cè)。15.已知AB是異面直線的公垂線段，AB=2，且a與b成30角，在直線a上取AP=4，則點(diǎn)P到直線b的距離是（）。A.22B.4C.2b22或2正解：A。過(guò)B作BB‘〃a，在BB'上截取BP'=AP，連結(jié)PP'，過(guò)P'作P'Qb連結(jié)PQ，PP'由BB'和b所確定的平面，PP'bPQ即為所求。在RtPQP'中,PP'=AB=2,P'Q=BP',inP'BQ=APin30=2,PQ=2。誤解：D。認(rèn)為點(diǎn)P可以在點(diǎn)A的兩側(cè)。本題應(yīng)是由圖解題。16．若平面外的直線a與平面所成的角為，則的取值范圍是（）（A）（0,2）（B）［0,2）（C）（0,2］（D）［0,2］錯(cuò)解：C錯(cuò)因：直線在平面外應(yīng)包括直線與平面平行的情況，此時(shí)直線a與平面所成的角為0正解：D如果a,b是異面直線，P是不在a,b上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：（1）過(guò)P—定可作直線L與a,b都相交；（2）過(guò)P—定可作直線L與a,b都垂直；（3）過(guò)P—定可作平面與a,b都平行；（4）過(guò)P一定可作直線L與a,b都平行，其中正確的結(jié)論有（）A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)答案：B錯(cuò)解：C認(rèn)為（1）（3）對(duì)D認(rèn)為（1）（2）（3）對(duì)錯(cuò)因：認(rèn)為（2）錯(cuò)誤的同學(xué)，對(duì)空間兩條直線垂直理解不深刻，認(rèn)為作的直線應(yīng)該與a,b都垂直相交；而認(rèn)為（1）（3）對(duì)的同學(xué)，是因?yàn)樵O(shè)能借助于兩個(gè)平行平面襯托從而對(duì)問(wèn)題的分析欠嚴(yán)密?？臻g四邊形中，互相垂直的邊最多有（）A、1對(duì)B、2對(duì)C、3對(duì)D、4對(duì)答案：C錯(cuò)解：D錯(cuò)因：誤將空間四邊形理解成四面體，對(duì)“空間四邊形”理解不深刻。19．底面是正三角形，且每個(gè)側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是A、一定是正三棱錐B、一定是正四面體C、不是斜三棱錐D、可能是斜三棱錐正確答案：(D)錯(cuò)誤原因：此是正三棱錐的性質(zhì)，但很多學(xué)生憑感覺(jué)認(rèn)為如果側(cè)面是等腰三角形，則側(cè)棱長(zhǎng)相等，所以一定是正三棱錐，事實(shí)上，只須考察一個(gè)正三角形繞其一邊抬起后所構(gòu)成的三棱錐就知道應(yīng)選D20．給出下列四個(gè)命題：各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各頂點(diǎn)都有三條棱，則其頂點(diǎn)數(shù)V,面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2F-V=4若直線L丄平面a,L〃平面B,貝Ija丄B命題“異面直線a,b不垂直，則過(guò)a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正確的命題是()A、(2)(3)B、(1)(4)C、(1)(2)(3)D、(2)(3)(4)正確答案：(A)錯(cuò)誤原因：易認(rèn)為命題(1)正確二填空題：有一棱長(zhǎng)為a的正方體骨架，其內(nèi)放置一氣球，使其充氣且盡可能地大（仍保持為球的形狀），則氣球表面積的最大值為.錯(cuò)解：學(xué)生認(rèn)為球最大時(shí)為正方體的內(nèi)切球，所以球的直徑為a,球的表面積為a。這里學(xué)生未能弄，所以正確答案為：2a。已知正三棱柱ABCABC底面邊長(zhǎng)是10,高是12,過(guò)底面一邊AB,作與底面ABC成60角的截面面積是。錯(cuò)解：。學(xué)生用面積射影公式求解：S底111022S100S截=底0錯(cuò)誤原因是4co60沒(méi)有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形。正確答案是：過(guò)球面上兩已知點(diǎn)可以作的大圓個(gè)數(shù)是個(gè)。錯(cuò)解：1個(gè)。錯(cuò)誤原因是沒(méi)有注意球面上兩已知點(diǎn)與球心共線的特殊情況,可作無(wú)數(shù)個(gè)。正確答案是不能確定。判斷題：若兩個(gè)平面互相垂直,過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作它們的交線的垂線,則此直線垂直于另一個(gè)平面。正確。錯(cuò)誤原因是未能認(rèn)真審題或空間想象力不夠，忽略過(guò)該點(diǎn)向平面外作垂線的情況。正確答案是本題不對(duì)。平面外有兩點(diǎn)A,B,它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點(diǎn)P,且AP:PB=m:n，則點(diǎn)P到平面的距離為.namb。錯(cuò)誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測(cè)的情況。正確答案mnnambmbna是：?；騶mnmn錯(cuò)解為：點(diǎn)AB到平面距離距離分別為12，20，若斜線AB與成30的角，貝UAB的長(zhǎng)等于.錯(cuò)解:16.錯(cuò)誤原因是只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測(cè)的情況。正確答案是：16或64。判斷若a,b是兩條異面直線，p為空間任意一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a,b都平行。錯(cuò)解：認(rèn)為正確。錯(cuò)誤原因是空間想像力不行。忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面時(shí)恰好與b平行，此時(shí)就不能過(guò)P作平面與a平行。與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有個(gè)。正確答案：7個(gè)錯(cuò)誤原因：不會(huì)分類(lèi)討論

9．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分別為BB1，C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形ADD1A1的中心，則四邊形BGEF在正方體六個(gè)面上的射影圖形面積的最大值為。0正確答案：12錯(cuò)誤原因：不會(huì)找射影圖形□.△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)板，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40。角，為使遮陰的陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)板ABC與地面所成角應(yīng)為。正確答案：50°錯(cuò)誤原因：不會(huì)作圖11■平面a與平面p相交成銳角e,面a內(nèi)一個(gè)圓在面B上的射影是離心率為1的橢是離心率為1的橢，則角e等于正確答案：30°錯(cuò)誤原因：分析不出哪些線段射影長(zhǎng)不變，哪些線段射影長(zhǎng)改變把半徑為r的四只小球全部放入一個(gè)大球內(nèi)，則大球半徑的最小值為。正確答案：⑹）r錯(cuò)誤原因：錯(cuò)誤認(rèn)為四個(gè)小球球心在同一平面上2AB垂直于BCD所在的平面，AC,AD,BC:BD3:4,當(dāng)BCD的面積最大時(shí)，點(diǎn)A到直線CD的距離為。正確答案：在平面角為600的二面角l內(nèi)有一點(diǎn)P,P到a、B的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱I的距離為1352cm3點(diǎn)評(píng)：將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題利用正弦定理求解，轉(zhuǎn)化能力較弱已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，D是底面三角形內(nèi)一點(diǎn)，且ZDPA=450,ZDPB=600,則ZDPC=答案：600點(diǎn)評(píng)：以PD為對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)角線PD與棱PC的夾角利用co2450+co2600+co2a=1得a=600，構(gòu)造模型問(wèn)題能力弱。正方體AC1中，過(guò)點(diǎn)A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角都相等，試寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)截面答案：面AD1C點(diǎn)評(píng)：本題答案不唯一，可得12條棱分成三類(lèi)：平行、相交、異面考慮正三棱錐D-AD1C，易瞎猜。答案：自半徑為R的球面上一點(diǎn)P引球的兩兩垂直的弦PA、PB、PC，則PAPBPC=。正解：4R,可將PA,PB,PC看成是球內(nèi)接矩形的三度，則PAPBPC應(yīng)是矩形對(duì)角線的平方，即球直徑的平方。誤解：沒(méi)有考慮到球內(nèi)接矩形，直接運(yùn)算，易造成計(jì)算錯(cuò)誤。18.直二面角a—l—p的棱l上有一點(diǎn)A,在平面a、B內(nèi)各有一條射線AB,AC與l成450,AB,AC，則Z2222222錯(cuò)解：600錯(cuò)因：畫(huà)圖時(shí)只考慮一種情況正解：600或120019.直線l與平面a成角為300,lA,m,Am則m與l所成角的取值范圍是錯(cuò)解：[300,1200]錯(cuò)因：忽視兩條直線所成的角范圍是[0,90]正解：[300,900]20■若AB的中點(diǎn)M到平面的距離為4cm,點(diǎn)A到平面的距離為6cm,則點(diǎn)B到平面的距離cm。錯(cuò)解：2錯(cuò)因：沒(méi)有注意到點(diǎn)A、B在平面異側(cè)的情況。正解：2、14已知直線LQ平面=0,A、BWL,OA=4,AB8；點(diǎn)A到平面距離為1,則點(diǎn)B到平面的距離為答案：1或3錯(cuò)解：3錯(cuò)因：考慮問(wèn)題不全面，點(diǎn)A,B可能在點(diǎn)0的同側(cè)，也可能在0點(diǎn)兩側(cè)。異面直線a,b所成的角為60,過(guò)空間一定點(diǎn)P,作直線L,使L與a,b所成的角均為60,這樣的直線L有條。答案：三條錯(cuò)解：一條錯(cuò)因：沒(méi)有能借助于平面襯托,思考問(wèn)題欠嚴(yán)謹(jǐn)。過(guò)P作a//a,b//b,由a,b確定一平面，畫(huà)a,b相交所成角的平分線m、g,過(guò)m,g分別作平面的垂面,,則在,中易找到所求直線共有3條。點(diǎn)P是ABC所在平面外一點(diǎn)，且P在ABC三邊距離相等，則P點(diǎn)在平面ABC上的射影是ABC的心。答案：內(nèi)心或旁心錯(cuò)解：內(nèi)心錯(cuò)因：P在平面ABC內(nèi)的正射影可能在ABC內(nèi)部，也可能在ABC外部。四面體的一條棱長(zhǎng)為某，其它各棱長(zhǎng)為1,若把四面體的體積V表示成某的函數(shù)f（某），則班某）的增區(qū)間為，減區(qū)間為006正確答案：（0，23，2錯(cuò)誤原因：不能正確寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)，亦或者得到目標(biāo)函數(shù)以后，不能注意某的隱藏范圍。25■在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是AB和AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面為EF的距離為正確答案：23錯(cuò)誤原因：不少學(xué)生能想到用等積法解，但運(yùn)算存在嚴(yán)重問(wèn)題。26.點(diǎn)P在直徑為2的球面上，過(guò)P作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長(zhǎng)是另一條弦長(zhǎng)的2倍，則這三條弦長(zhǎng)之和為最大值是正確答案：25錯(cuò)誤原因：找不到解題思路三、解答題：由平面外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為ABC,O為/ABC的外心，求證：0P錯(cuò)解：因?yàn)?為/ABC的外心，所以O(shè)A=OB=OC，又因?yàn)镻A=PB=PC，P0公用，所以/POA，/POB，/POC都全等，所以POA=POB=POC=RT，所以O(shè)P錯(cuò)解分析：上述解法中POA=POB=POC=RT，是對(duì)的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄?？這里缺少必要的證明。正解：取BC的中點(diǎn)D，連PD，OD，PBPC,OBOC,BCPD,BCOD,BC面POD,BCPO,同理ABPO，PO.一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的密圭寸正方體盒子中放一個(gè)半徑為1cm的小球，無(wú)論怎樣搖動(dòng)盒子，求小球在盒子不能到達(dá)的空間的體積。錯(cuò)解：認(rèn)為是正方體的內(nèi)切球。用正方體的體積減去內(nèi)切球的體積。錯(cuò)誤原因是空間想像力不夠。正解：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間為：8[1(314341)]8，833除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個(gè)114的正四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達(dá)的空間共為1[114(12)4]4812其他空間小球均能到達(dá)。故小球不能到達(dá)的空間體積為4440(8)481256(cm3)。333?斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于b,—條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積。解：過(guò)點(diǎn)B作BM丄AA1于M,連結(jié)CM,在厶ABM和厶ACM中，；?AB二AC,ZMAB=ZMAC=450,MA為公用邊'???△ABM9AACM,???ZAMC二ZAMB=900,???AA1丄面BHC,即平面BMC為直截面,又BM=CM=ABin450==(1+2)ab點(diǎn)評(píng)：本題易錯(cuò)點(diǎn)一是不給出任何證明,直接計(jì)算得結(jié)果；二是作直截面的方法不當(dāng)，即“過(guò)BC作平面與AA1垂直于M”；三是由條件“ZA1AB=ZA1ACZAA1在底面ABC上的射影是ZBAC的平分線”不給出論證。如圖在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知底面ABC是底角等于30，底邊AC=4的等腰三角形，且22a,?BMC周長(zhǎng)為2某a+a=(1+2)a,且棱長(zhǎng)為b,???S22側(cè)B'CAC,B'C22,面B'AC與面ABC成45,A'B與AB'交于點(diǎn)E。1）求證:ACBA'；2）求異面直線AC與BA'的距離；3）求三棱錐B'BEC的體積。正解：①證：取AC中點(diǎn)D,連ED,E是AB'的中點(diǎn)，‘C2B'CAC,DEAC又ABC是底角等于30的等腰,BDAC,BNDEDAC面BDE,ACBE,即ACBA'②解：由①知EDB是二面角B'ACB的一個(gè)平面角，EDB=45,ED2,BDADtan3023在323DBE中：EB2ED2BD