第2章 第1節(jié) 函數(shù)及其表示

PAGEPAGE1全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在高考中一般為1～3個(gè)客觀題．2.考查內(nèi)容高考對(duì)本章內(nèi)容的考查主要涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分段函數(shù)的求值，函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及周期性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)等內(nèi)容.函數(shù)及其表示[考試要求]1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段)．1．函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設(shè)A，B是非空的數(shù)集設(shè)A，B是非空的集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)定義稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y＝f(x)，x∈A映射f：A→B提醒：映射實(shí)質(zhì)是一對(duì)一或多對(duì)一，函數(shù)是特殊的映射．2．函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．提醒：兩個(gè)函數(shù)的值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但兩個(gè)函數(shù)不一定相同，例如，函數(shù)f(x)＝|x|，x∈[0,2]與函數(shù)f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．提醒：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])常見函數(shù)定義域的求法類型x滿足的條件eq\r(2n,fx)(n∈N*)f(x)≥0eq\r(2n＋1,fx)(n∈N*)f(x)有意義eq\f(1,fx)與[f(x)]0f(x)≠0logaf(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0af(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意義tan[f(x)]f(x)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z四則運(yùn)算組成的函數(shù)各個(gè)函數(shù)定義域的交集實(shí)際問題使實(shí)際問題有意義一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.()(2)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù)．()(3)函數(shù)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是同一個(gè)函數(shù)．()(4)函數(shù)f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個(gè)交點(diǎn)．()(5)已知f(x)＝m(x∈R)，則f(m3)＝m3.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)×二、教材習(xí)題衍生1．(多選)下列圖象中，能表示函數(shù)的圖象的是()ABCDABC[顯然，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)x取一個(gè)值時(shí)，有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，因此選ABC.]2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是()A．y＝(eq\r(x＋1))2 B．y＝eq\r(3,x3)＋1C．y＝eq\f(x2,x)＋1 D．y＝eq\r(x2)＋1B[y＝eq\r(3,x3)＋1＝x＋1，且函數(shù)定義域?yàn)镽，故選B.]3．函數(shù)y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域?yàn)閇－2，＋∞)，則aA．－1 B．－eq\f(9,7)C．1 D．2C[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,\f(28a2－36,4a)＝－2，))解得a＝1，故選C.]4．已知f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋a)，若f(－2)＝0，則a的值為________．1[f(－2)＝eq\r(－2＋3)＋eq\f(1,a－2)＝0，即eq\f(1,a－2)＝－1，解得a＝1.]考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域1．已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域：若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集．(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對(duì)應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可．2．抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．提醒：明確定義域是自變量“x”的取值范圍．已知函數(shù)解析式求定義域[典例1－1](1)函數(shù)y＝eq\f(\r(9－x2),log2x＋1)的定義域是()A．(－1,3) B．(－1,3]C．(－1,0)∪(0,3) D．(－1,0)∪(0,3](2)函數(shù)y＝eq\f(1,\r(log0.5x－2))＋(2x－5)0的定義域?yàn)開_______．(1)D(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2＜x＜3，且x≠\f(5,2)))))[(1)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9－x2≥0，,x＋1＞0，,log2x＋1≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤3，,x＞－1，,x＋1≠1，))解得－1＜x＜0或0＜x≤3，故選D.(2)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log0.5x－2＞0，,x－2＞0，,2x－5≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＜1,x－2＞0,x≠\f(5,2)))，解得2＜x＜3且x≠eq\f(5,2)，即函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2＜x＜3，且x≠\f(5,2))))).]求抽象函數(shù)的定義域[典例1－2](1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，則函數(shù)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定義域?yàn)?)A．(－2,0) B．(－2,2)C．(0,2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))(2)已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域?yàn)閇－eq\r(3)，eq\r(3)]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)開_______．(1)C(2)[－1,2][(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜\f(x,2)＜1,－1＜x－1＜1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＜x＜2,0＜x＜2，))解得0＜x＜2，即函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,2)，故選C.(2)由題意知－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，則－1≤x2－1≤2，即函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－1,2]．]點(diǎn)評(píng)：函數(shù)f(g(x))的定義域指的是自變量x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍，如本例T(2)．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．若函數(shù)f(2x)的定義域是[－1,1]，則f(x)的定義域?yàn)開_______，f(log2x)的定義域?yàn)開_______．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))[eq\r(2)，4][由－1≤x≤1得2－1≤2x≤2，即eq\f(1,2)≤2x≤2，所以f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，由eq\f(1,2)≤log2x≤2，即log22eq\f(1,2)≤log2x≤log222，得eq\r(2)≤x≤4，所以函數(shù)f(log2x)的定義域?yàn)閇eq\r(2)，4]．]2．(2020·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(－x－x2)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)開_______．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))[由－x－x2＞0得－1＜x＜0，即f(x)的定義域?yàn)?－1,0)，由－1＜2x＋1＜0得－1＜x＜－eq\f(1,2)，所以函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).]考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式的四種方法[典例2](1)若f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，則f(x)的解析式為________．(2)已知f(1－sinx)＝cos2x，則f(x)的解析式為________．(3)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，則f(x)＝________.(4)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________.(1)f(x)＝x2－x＋3(2)f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)(3)x2－2(x≥2或x≤－2)(4)eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)[(1)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))所以所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x2－x＋3.(2)(換元法)令1－sinx＝t(0≤t≤2)，則sinx＝1－t，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，∴f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．(3)(配湊法)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1,x2)))－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．(4)(解方程組法)在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1中，將x換成eq\f(1,x)，則eq\f(1,x)換成x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq\r(\f(1,x))－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2fx·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).]點(diǎn)評(píng)：利用換元法求解析式時(shí)要注意新元的取值范圍．如已知f(eq\r(x))＝x＋1，求函數(shù)f(x)的解析式，可通過換元的方法得f(x)＝x2＋1，函數(shù)f(x)的定義域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(2x＋7[(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7.))所以f(x)＝2x＋7.]2．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(1＋x2,x2)＋eq\f(1,x)，則f(x)的解析式為________．f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)[令eq\f(1＋x,x)＝t，則t＝1＋eq\f(1,x)，t≠1，所以eq\f(1,x)＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]3．已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，則f(xeq\f(2x＋1－2－x,3)[由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，即f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3).故f(x)的解析式是f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3).]考點(diǎn)三分段函數(shù)及其應(yīng)用1.分段函數(shù)求值的策略(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式求值．(2)當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(3)當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn)．2．求參數(shù)或自變量的值解決此類問題時(shí)，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可．3．分段函數(shù)與不等式問題解由分段函數(shù)構(gòu)成的不等式，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行分類討論．如果分段函數(shù)的圖象比較容易畫出，也可以畫出函數(shù)圖象后，結(jié)合圖象求解．分段函數(shù)的求值問題[典例3－1](1)(2020·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－2)，x＞2，,x2＋2，x≤2，))則f(f(1))＝()A．－eq\f(1,2) B．2C．4 D．11(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2xx≤0，,fx－3x＞0，))則f(5)的值為()A．－7 B．－1C．0 D．eq\f(1,2)(1)C(2)D[(1)因?yàn)閒(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋eq\f(1,3－2)＝4.故選C.(2)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝eq\f(1,2).故選D.]求參數(shù)或自變量的值[典例3－2](1)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2－5，x＜3，,－log2x＋1，x≥3，))若f(m)＝－6，則f(m－61)＝________.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x＋1)，－1＜x＜0，,2x，x≥0，))若實(shí)數(shù)a滿足f(a)＝f(a－1)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝________.(1)－4(2)8[(1)依題意知，當(dāng)m＜3時(shí)，f(m)＝3m－2－5＝－6，即3m－2＝－1，此時(shí)無解；當(dāng)m≥3時(shí)，f(m)＝－log2(m＋1)＝－6，解得m＝63.所以f(m－61)＝f(2)＝3(2)由題意得a＞0.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝eq\r(a)，解得a＝eq\f(1,4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝8，當(dāng)a≥1時(shí)，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝8.]點(diǎn)評(píng)：本例T(1)的易錯(cuò)點(diǎn)是由f(m)＝－6求解m時(shí)，易忽略對(duì)m的討論致錯(cuò)，本例T(2)可根據(jù)單調(diào)性確定a≥1不可能成立．分段函數(shù)與不等式問題[典例3－3](2018·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)D[法一：分類討論法①當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤0，,2x≤0，))即x≤－1時(shí)，f(x＋1)＜f(2x)，即為2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.因此不等式的解集為(－∞，－1]．②當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤0，,2x＞0))時(shí)，不等式組無解．③當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,2x≤0，))即－1＜x≤0時(shí)，f(x＋1)＜f(2x)，即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集為(－1,0)．④當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,2x＞0，))即x＞0時(shí)，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合題意．綜上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集為(－∞，0)．法二：數(shù)形結(jié)合法∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))∴函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．結(jié)合圖象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＜0，,2x＜0，,2x＜x＋1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x＜0，))∴x＜0.]點(diǎn)評(píng)：本例也可分x≤－1，－1＜x≤0，x＞0三種情況求解．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))的值等于()A．－2 B．4C．2 D．－4B[由題意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝2×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝4.]2．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0＜x＜1,2x－1，x≥1))，若f(a)＝f(a＋1)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A．2 B．4C．6 D．8C[當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＋1＞1，則f(a)＝eq\r(a)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a＋1)得eq\r(a)＝2a，解得a＝eq\f(1,4)，從而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6，當(dāng)a≥1時(shí)，a＋1＞1，又函數(shù)f(x)＝2(x－1)，x≥1為增函數(shù)．因此f(a)＝f(a＋1)不成立，故選C.]3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0,2x，x＞0，))則滿足f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＞1的x的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))[①當(dāng)x≤0時(shí)，x－eq\f(1,2)＜0，則f(x)＝x＋1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝x－eq\f(1,2)＋1＝x＋eq\f(1,2)，由f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＞1得(x＋1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＞1，解得x＞－eq\f(1,4).又x≤0，所以－eq\f(1,4)＜x≤0.②當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)時(shí)，x－eq\f(1,2)≤0，則f(x)＝2x，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝x－eq\f(1,2)＋1＝x＋eq\f(1,2)，從而f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝2x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＞1恒成立．③當(dāng)x＞eq\f(1,2)時(shí)，x－eq\f(1,2)＞0，則f(x)＝2x，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝2x，從而f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝2x＋2x＞1恒成立．綜上知x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)).]核心素養(yǎng)1用數(shù)學(xué)眼光觀察世界——與高等數(shù)學(xué)接軌的三類函數(shù)高考數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)(如歐拉公式、高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù))的接軌，常以小題的形式呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．因此在復(fù)習(xí)備考中，有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練是很有必要的，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新精神，拓寬思維，提升核心素養(yǎng).歐拉公式eq\a\vs4\al([素養(yǎng)案例1])(2020·鄭州模擬)歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．特別是當(dāng)x＝π時(shí)，eiπ＋1＝0，歐拉公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B[由題意得e2i＝cos2＋isin2，所以e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(cos2，sin2)．因?yàn)?∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cos2＜0，sin2＞0，所以e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選B.][評(píng)析]此類以歐拉公式為背景考查復(fù)數(shù)幾何意義的試題，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)．破解此類題的關(guān)鍵：一是會(huì)揭開數(shù)學(xué)文化的面紗，讀懂題意；二是會(huì)進(jìn)行三角運(yùn)算，如本題，在讀懂題意的基礎(chǔ)上，需利用弧度制，判斷角的范圍，從而判斷角的三角函數(shù)值的符號(hào)，即可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置．eq\a\vs4\al([素養(yǎng)培優(yōu)])已知?dú)W拉公式為eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)，若α∈(0,2π)，且e－iα表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，則sinα＋cosα的取值范圍是()A．(1，eq\r(2)] B．[－eq\r(2)，eq\r(2)]C．(－1,1) D．[－eq\r(2)，－1)C[因?yàn)閑－iα＝cos(－α)＋isin(－α)＝cosα－isinα，所以結(jié)合題意可知點(diǎn)(cosα，－sinα)位于復(fù)平面的第三象限內(nèi)，所以cosα＜0且－sinα＜0，又α∈(0,2π)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).故sinα＋cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))∈(－1,1)．故選C.]高斯函數(shù)eq\a\vs4\al([素養(yǎng)案例2])(2020·長沙長郡中學(xué)模擬)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,1＋2x)，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域是()A．{0,1} B．(0,2)C．(0,1) D．{－1,0,1}A[法一：因?yàn)閒(x)＝eq\f(2x＋1,1＋2x)＝eq\f(2x＋1＋2－2,1＋2x)＝2－eq\f(2,1＋2x)∈(0,2)，所以當(dāng)f(x)∈(0,1)時(shí)，y＝[f(x)]＝0；當(dāng)f(x)∈[1,2)時(shí)，y＝[f(x)]＝1.所以函數(shù)y＝[f(x)]的值域是{0,1}．故選A.法二：因?yàn)閥＝[f(x)]不可能為小數(shù)，所以排除B，C；又2x＞0，所以f(x)＝eq\f(2x＋1,1＋2x)＞0，所以y＝[f(x)]≠－1，排除D.選A.][評(píng)析]求解此類題的關(guān)鍵是理解高斯函數(shù)的含義，若是以選擇題的形式考查，可用取特值法達(dá)到秒解，如本題的方法二，對(duì)特殊值的敏感和對(duì)已知選項(xiàng)的挖掘，常常可從中提取有效的信息，而對(duì)它們的視而不見，則會(huì)導(dǎo)致與簡(jiǎn)便解法“擦肩而過”．注意對(duì)特值的選定，一要典型，能定性說明問題，二要簡(jiǎn)單，便于計(jì)算．eq\a\vs4\al([素養(yǎng)培優(yōu)])(2020·淄博一模)高斯函數(shù)[x]，也稱為取整函數(shù)，即[x]表示不超過x的最大整數(shù)．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.則下列結(jié)論：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，則x的取值范圍是2≤x≤3；④當(dāng)－1≤x