2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第9章-解析幾何-第7課時(shí)-雙曲線(一)練習(xí)-理

PAGE好教育云平臺(tái)——好教育云平臺(tái)——教育因你我而變呵呵復(fù)活復(fù)活復(fù)活第7課時(shí)雙曲線〔一〕1．雙曲線eq\f(x2,36－m2)－eq\f(y2,m2)＝1(0<m<3)的焦距為()A．6 B．12C．36 D．2eq\r(36－2m2)答案B解析c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6.雙曲線的焦距為12.2．雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，3)，那么k的值是()A．1 B．－1C.eq\f(\r(65),3) D．－eq\f(\r(6),3)答案B解析kx2－eq\f(ky2,8)＝1，焦點(diǎn)在y軸上，c＝3，解得k＝－1.3．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的離心率為2，那么a＝()A．2 B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2) D．1答案D解析因?yàn)殡p曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1，所以e2＝1＋eq\f(3,a2)＝4，因此a2＝1，a＝1.選D.4．(2023·北京西城期末)mn<0是方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)mn<0時(shí)，分m<0，n>0和m>0，n<0兩種情況．①當(dāng)m<0，n>0時(shí)，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；②當(dāng)m>0，n<0時(shí)，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．因此，當(dāng)mn<0時(shí)，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1不一定表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線．方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線時(shí)，m>0，n<0，必定有mn<0.由此可得：mn<0是方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示實(shí)軸在x軸上的雙曲線的必要而不充分條件．應(yīng)選B.5．(2023·河北邢臺(tái)摸底)雙曲線x2－4y2＝－1的漸近線方程為()A．x±2y＝0 B．y±2x＝0C．x±4y＝0 D．y±4x＝0答案A解析依題意，題中的雙曲線即eq\f(y2,\f(1,4))－x2＝1，因此其漸近線方程是eq\f(y2,\f(1,4))－x2＝0，即x±2y＝0，選A.6．(2023·湖北孝感一中月考)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|PF2|，那么雙曲線的一條漸近線方程是()A．y＝eq\r(2)x B．y＝eq\r(3)xC．y＝2x D．y＝4x答案C解析由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴4c2＝16a2＋4a2，即c2＝5a2，那么b2＝4a2，即b＝2a，那么雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線方程為y＝2x.應(yīng)選C.7．(2023·安徽屯溪一中模擬)雙曲線的離心率為eq\f(\r(7),2)，且其頂點(diǎn)到其漸近線的距離為eq\f(2\r(21),7)，那么雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1或eq\f(y2,3)－eq\f(x2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1答案D解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(\r(7),2)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(3),2)x.由題意，頂點(diǎn)到漸近線的距離為eq\f(|\f(\r(3),2)a|,\r(\f(3,4)＋1))＝eq\f(2\r(21),7)，解得a＝2，∴b＝eq\r(3)，∴雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(\r(7),2)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(2\r(3),3)x，由題意可知：頂點(diǎn)到漸近線的距離為eq\f(|a|,\r(\f(4,3)＋1))＝eq\f(2\r(21),7)，解得a＝2，∴b＝eq\r(3)，∴雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1.綜上可知，雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1.應(yīng)選D.8．點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)△ABF2是銳角三角形，那么該雙曲線離心率的取值范圍是()A．(1，eq\r(3)) B．(eq\r(3)，2eq\r(2))C．(1＋eq\r(2)，＋∞) D．(1，1＋eq\r(2))答案D解析依題意，0<∠AF2F1<eq\f(π,4)，故0<tan∠AF2F1<1，那么eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(c2－a2,2ac)<1，即e－eq\f(1,e)<2，e2－2e－1<0，(e－1)2<2，所以1<e<1＋eq\r(2)，應(yīng)選D.9．雙曲線mx2－ny2＝1(m>0，n>0)的離心率為2，那么橢圓mx2＋ny2＝1的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2\r(3),3)答案B解析由雙曲線的離心率為2，得eq\f(\r(\f(1,m)＋\f(1,n)),\r(\f(1,m)))＝2.解得m＝3n.又m>0，n>0，∴m>n，即eq\f(1,n)>eq\f(1,m).故由橢圓mx2＋ny2＝1，得eq\f(y2,\f(1,n))＋eq\f(x2,\f(1,m))＝1.∴所求橢圓的離心率為e＝eq\f(\r(\f(1,n)－\f(1,m)),\r(\f(1,n)))＝eq\f(\r(\f(1,n)－\f(1,3n)),\r(\f(1,n)))＝eq\f(\r(6),3).10．雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為eq\f(\r(5),3)c(c為雙曲線的半焦距長(zhǎng))，那么雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(3,2)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(2,3)答案B解析雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線為eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，焦點(diǎn)A(c，0)到直線bx－ay＝0的距離為eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(5),3)c，那么c2－a2＝eq\f(5,9)c2，得e2＝eq\f(9,4)，e＝eq\f(3,2)，應(yīng)選B.11．(2023·成都市高三二診)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為P.假設(shè)以O(shè)F1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓與PF2相切，那么雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\f(－3＋6\r(2),4)C.eq\r(3) D.eq\f(3＋6\r(2),7)答案D解析如圖，在圓O中，F(xiàn)1F2為直徑，P是圓O上一點(diǎn)，所以PF1⊥PF2，設(shè)以O(shè)F1為直徑的圓的圓心為M，且圓M與直線PF2相切于點(diǎn)Q，那么M(－eq\f(c,2)，0)，MQ⊥PF2，所以PF1∥MQ，所以eq\f(|MQ|,|PF1|)＝eq\f(|MF2|,|F1F2|)，即eq\f(\f(c,2),|PF1|)＝eq\f(\f(3c,2),2c)，可得|PF1|＝eq\f(2c,3)，所以|PF2|＝eq\f(2c,3)＋2a，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以eq\f(4c2,9)＋(eq\f(2c,3)＋2a)2＝4c2，即7e2－6e－9＝0，解得e＝eq\f(3＋6\r(2),7)，e＝eq\f(3－6\r(2),7)(舍去)．應(yīng)選D.12．(2023·貴陽(yáng)市高三檢測(cè))雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右〞四個(gè)區(qū)域(不含邊界)，假設(shè)點(diǎn)(2，1)在“右〞區(qū)域內(nèi)，那么雙曲線離心率e的取值范圍是()A．(1，eq\f(\r(5),2)) B．(eq\f(\r(5),2)，＋∞)C．(1，eq\f(5,4)) D．(eq\f(5,4)，＋∞)答案B解析依題意，注意到題中的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，且“右〞區(qū)域是不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y<\f(b,a)x，,y>－\f(b,a)x))所確定，又點(diǎn)(2，1)在“右〞區(qū)域內(nèi)，于是有1<eq\f(2b,a)，即eq\f(b,a)>eq\f(1,2)，因此題中的雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋〔\f(b,a)〕2)∈(eq\f(\r(5),2)，＋∞)，選B.13．曲線方程eq\f(x2,λ＋2)－eq\f(y2,λ＋1)＝1，假設(shè)方程表示雙曲線，那么λ的取值范圍是________．答案λ<－2或λ>－1解析∵方程eq\f(x2,λ＋2)－eq\f(y2,λ＋1)＝1表示雙曲線，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.14．(2023·北京)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(eq\r(5)，0)，那么a＝________；b＝________．答案12解析由題意知，漸近線方程為y＝－2x，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及性質(zhì)可知eq\f(b,a)＝2，由c＝eq\r(5)，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.15．(2023·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，文)雙曲線過點(diǎn)(4，eq\r(3))，且漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，那么該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．答案eq\f(x2,4)－y2＝1解析方法一：因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(4，eq\r(3))，且漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，故點(diǎn)(4，eq\r(3))在直線y＝eq\f(1,2)x的下方．設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(42,a2)－\f(〔\r(3)〕2,b2)＝1，,\f(b,a)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))故雙曲線方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.方法二：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，故可設(shè)雙曲線為eq\f(x2,4)－y2＝λ(λ>0)，又雙曲線過點(diǎn)(4，eq\r(3))，所以eq\f(42,4)－(eq\r(3))2＝λ，所以λ＝1，故雙曲線方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.16．(2023·湖南長(zhǎng)沙模擬)P是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點(diǎn)，那么|PF1|＋|PQ|的最小值為________．答案2eq\r(2)＋1解析設(shè)右焦點(diǎn)為F2，∵|PF1|－|PF2|＝2eq\r(2)，∴|PF1|＝|PF2|＋2eq\r(2)，∴|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋2eq\r(2)＋|PQ|.當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，且P在F2，Q之間時(shí)，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值為F2到l的距離．由題意得l的方程為y＝±eq\f(1,\r(2))x，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，F(xiàn)2到l的距離d＝1，∴|PQ|＋|PF1|的最小值為2eq\r(2)＋1.17.如下圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，雙曲線的左支上有一點(diǎn)P，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，且△PF1F2的面積為2eq\r(3)，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程．答案eq\f(3x2,2)－eq\f(y2,2)＝1解析設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，∴F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，P(x0，y0)．在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·coseq\f(π,3)＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.又∵S△PF1F2＝2eq\r(3)，∴eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).∴|PF1|·|PF2|＝8.∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.又∵e＝eq\f(c,a)＝2，∴a2＝eq\f(2,3).∴所求雙曲線方程為eq\f(3x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.18．(2023·上海崇明一模)點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，∠MF1F2＝30°.(1)求雙曲線C的方程；(2)過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1，P2，求eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))的值．答案(1)x2－eq\f(y2,2)＝1(2)eq\f(2,9)解析(1)設(shè)F2，M的坐標(biāo)分別為(eq\r(1＋b2)，0)，(eq\r(1＋b2)，y0)(y0>0)，因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線C上，所以1＋b2－eq\f(y02,b2)＝1，那么y0＝b2，所以|MF2|＝b2.在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2.由雙曲線的定義可知：|MF1|－|MF2|＝b2＝2，故雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.(2)由條件可知：兩條漸近線分別為l1：eq\r(2)x－y＝0，l2：eq\r(2)x＋y＝0.設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)兩條漸近線的夾角為θ，由題意知cosθ＝eq\f(1,3).那么點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為|PP1|＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))，|PP2|＝eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3)).因?yàn)镻(x0，y0)在雙曲線C：x2－eq\f(y2,2)＝1上，所以2x02－y02＝2.所以eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))·eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))cosθ＝eq\f(|2x02－y02|,3)·eq\f(1,3)＝eq\f(2,9).1．(2023·廣東，理)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦點(diǎn)為F2(5，0)，那么雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1答案C解析因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為F2(5，0)，所以c＝5.因?yàn)殡x心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以a＝4.又a2＋b2＝c2，所以b2＝9.故雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.2．假設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為eq\r(3)，那么其漸近線方程為()A．y＝±2x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±eq\f(\r(2),2)x答案B解析由離心率為eq\r(3)，可知c＝eq\r(3)a，∴b＝eq\r(2)a.∴漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，應(yīng)選B.3．(2023·天津，文)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2，0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，那么雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,13)＝1 B.eq\f(x2,13)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1答案D解析雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0.由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c2＝a2＋b2，,c＝2，,\f(2b,\r(b2＋a2))＝\r(3)，))解得a2＝1，b2＝3，從而雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，那么該雙曲線的離心率為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C.eq\f(9,4) D．3答案B解析由雙曲線的定義，得||PF1|－|PF2||＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2.又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－eq\f(9b,a)－4＝0，那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3b,a)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3b,a)－4))＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－\f(1,3)舍去))，那么雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(5,3).5．(2023·廣東改編)中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3，0)，離心率等于eq\f(3,2)，那么C的方程是()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝1答案B解析由曲線C的右焦點(diǎn)為F(3，0)，知c＝3.由離心率e＝eq\f(3,2)，知eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，那么a＝2.故b2＝c2－a2＝9－4＝5.所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.6．(2023·天津)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，那么雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1答案D解析根據(jù)圓和雙曲線的對(duì)稱性，可知四邊形ABCD為矩形．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,2)x，圓的方程為x2＋y2＝4，不妨設(shè)交點(diǎn)A在第一象限，由y＝eq\f(b,2)x，x2＋y2＝4得xA＝eq\f(4,\r(4＋b2))，yA＝eq\f(2b,\r(4＋b2))，故四邊形ABCD的面積為4xAyA＝eq\f(32b,4＋b2)＝2b，解得b2＝12，故所求的雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，選D.7．(2023·邯鄲調(diào)研)F為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，c為雙曲線的半焦距，定點(diǎn)G(0，c)，假設(shè)雙曲線上存在一點(diǎn)P滿足|PF|＝|PG|，那么雙曲線的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(1，eq\r(2))C．[eq\r(3)，＋∞) D．(1，eq\r(3))答案A解析假設(shè)雙曲線上存在點(diǎn)P滿足|PF|＝|PG|，那么必須滿足FG的中垂線與雙曲線有交點(diǎn)，那么P是線段FG中垂線與雙曲線的交點(diǎn)，因?yàn)橹本€FG的方程為y＝x＋c，所以線段FG中垂線的方程為y＝－x，又雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，那么－eq\f(b,a)<－1，即eq\f(b,a)>1，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(2)，所以雙曲線的離心率的取值范圍為(eq\r(2)，＋∞)．8．(2023·遼寧撫順重點(diǎn)高中協(xié)作校一模)當(dāng)雙曲線M：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,2m＋6)＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值時(shí)，雙曲線M的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±2x D．y＝±eq\f(1,2)x答案C解析c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5≥5，當(dāng)且僅當(dāng)m＝－1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a2＝m2＝1，b2＝2m＋6＝4，所以eq\f(b,a)＝2，即雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，應(yīng)選C.9．(2023·遼寧師大附中期中)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．假設(shè)直線y＝x與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形PF1QF2為矩形，那么雙曲線的離心率為()A．2＋eq\r(2) B．2＋eq\r(6)C.eq\r(2＋\r(2)) D.eq\r(2＋\r(6))答案C解析將y＝x代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，可得x＝±eq\r(\f(a2b2,b2－a2)).由矩形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，得eq\r(2)·eq\r(\f(a2b2,b2－a2))＝c，∴2a2b2＝(b2－a2)c2，∴2a2(c2－a2)＝(c2－2a2)c2，∴2(e2－1)＝e4－2e2，∴e4－4e2＋2＝0，又∵e>1，∴e2＝2＋eq\r(2)，e＝eq\r(2＋\r(2)).應(yīng)選C.10．(2023·河南八市重點(diǎn)高中模擬)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，假設(shè)∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，那么雙曲線的漸近線的斜率是()A．±eq\f(5\r(3),4) B．±eq\f(3\r(5),4)C．±eq\f(5\r(3),2) D．±eq\f(3\r(5),2)答案D解析不妨設(shè)P點(diǎn)在第一象限，|PF1|＝m，|PF2|＝n，那么由得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－n＝4,m2＋n2＋mn＝〔2c〕2，,n＋2c＝2m))所以c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2(舍去)，由b2＝c2－a2得b＝3eq\r(5)，那么雙曲線的漸近線的斜率是±eq\f(3\r(5),2)，應(yīng)選D.11．(2023·天津一中模擬)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x＋2y＋5＝0，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，那么雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(3x2,25)－eq\f(3y2,100)＝1 D.eq\f(3x2,100)－eq\f(3y2,25)＝1答案A解析因?yàn)殡p曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x＋2y＋5＝0，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)，,c＝5，,a2＋b2＝c2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(5)，,b＝\r(5)，))所以雙曲線的方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.12．(2023·蘭州市高考診斷)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，且|PF2|＝|F1F2|，那么雙曲線C的離心率為()A.eq\f(\r(10),3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(5,3) D．2答案C解析設(shè)直線PF1與圓相切于點(diǎn)M，∵|PF2|＝|F1F2|，∴△PF1F2為等腰三角形，∴|F1M|＝eq\f(1,4)|PF1|，∵在Rt△F1MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，|F1M|2＝|F1O|2－a2＝c2－a2，∴|F1M|＝b＝eq\f(1,4)|PF1|①，又|PF1|＝|PF2|＋2a＝2c＋2a②，c2＝a2＋b2③，故由①②③得，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3).應(yīng)選C.13．(2023·福建漳州一中期中)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，假設(shè)雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使得F2關(guān)于直線PF1的對(duì)稱點(diǎn)恰在y軸上，那么該雙曲線的離心率e的取值范圍為()A．1<e<eq\f(2\r(3),3) B．e>eq\f(2\r(3),3)C．e>eq\r(3) D．1<e<eq\r(3)答案B解析設(shè)點(diǎn)F2(c，0)，由于F2關(guān)于直線PF1的對(duì)稱點(diǎn)M恰在y軸上，不妨設(shè)M在y軸正半軸上，由對(duì)稱性可得，|MF1|＝|F1F2|＝2c，那么|MO|＝eq\r(4c2－c2)＝eq\r(3)c，那么∠MF1F2＝60°，∠PF1F2＝30°，設(shè)直線PF1：y＝eq\f(\r(3),3)(x＋c)，代入雙曲線方程，可得(3b2－a2)x2－2ca2x－a2c2－3a2b2＝0，那么方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根，那么有3b2－a2>0，即有3b2＝3c2－3a2>a2，即c>eq\f(2\r(3),3)a，那么有e＝eq\f(c,a)>eq\f(2\r(3),3).應(yīng)選B.14．(2023·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，那么n的取值范圍是()A．(－1，3) B．(－1，eq\r(3))C．(0，3) D．(0，eq\r(3))答案A解析由題意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<n<3.15．(2023·濟(jì)寧模擬)如下圖，正六邊形ABCDEF的兩個(gè)頂點(diǎn)A，D為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余4個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線上，那么該雙曲線的離心率是()A.eq\r(3)＋1 B.eq\r(3)－1C.eq\r(3) D.eq\r(2)答案A解析令正六邊形的邊長(zhǎng)為m，那么有|AD|＝2m，|AB|＝m，|BD|＝eq\r(3)m，該雙曲線的離心率等于eq\f(|AD|,||AB|－|BD||)＝eq\f(2m,\r(3)m－m)＝eq\r(3)＋1.16．(2023·全國(guó)Ⅰ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，那么C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x答案C解析∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(5,4).∴a2＝4b2，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2).∴漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x.17．(2023·山東滕州月考)雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，假設(shè)雙曲線的左支上有一點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離為18，N是MF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|NO|等于()A.eq\f(2,3) B．1C．2 D．4答案D解析由雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1，知a＝5，由雙曲線定義|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，∴|NO|＝eq\f(1,2)|MF1|＝4.18．(2023·湖南六校聯(lián)考)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3，4)，那么此雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1答案C解析由可得交點(diǎn)(3，4)到原點(diǎn)O的距離為圓的半徑，那么半徑r＝eq\r(32＋42)＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又雙曲線的一條漸近線y＝eq\f(b,a)x過點(diǎn)(3，4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，應(yīng)選C.19．(2023·杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)過雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓C2：x2＋y2＝a2的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，延長(zhǎng)FM交雙曲線C1于點(diǎn)N.假設(shè)點(diǎn)M為線段FN的中點(diǎn)，那么雙曲線C1的離心率為()A.eq\r(5) B.eq\f(\r(5)