課后跟蹤訓練70

課后跟蹤訓練(七十)[基礎鞏固練]一、選擇題1．(2019·山東濰坊模擬)5名學生站成一排，若學生甲不站兩端，則不同站法共有()A．24種 B．36種C．48種 D．72種[解析]解法一：首先從除學生甲外的4人中先選2人排在兩端，共有Aeq\o\al(2,4)種排法，然后對其余的3人任意排，共有Aeq\o\al(3,3)種排法，根據分步乘法計數原理可得不同站法共有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝72種．故選D.解法二：首先甲排在兩端以外的任意位置，有Ceq\o\al(1,3)種排法，然后對其余的4個人全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24種，根據分步乘法計數原理可得不同站法共有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72種．[答案]D2．(2019·上海靜安區(qū)一模)電視臺在電視劇開播前連續(xù)播放6個不同的廣告，其中4個商業(yè)廣告，2個公益廣告，現要求2個公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放順序共有()A．Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)種 B．Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,5)種C．Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,7)種 D．Ceq\o\al(4,6)·Ceq\o\al(2,7)種[解析]先把4個商業(yè)廣告排好順序，共有Aeq\o\al(4,4)種方式，再把2個公益廣告插入5個空(包括兩頭)中，根據分步乘法計數原理，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)種播放順序．[答案]A3．(2019·重慶模擬)從5名學生中選出4名分別參加數學、物理、化學、生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數為()A．48 B．72C．90 D．96[解析]由于甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場競賽或甲不參加任何競賽．(1)當甲參加另外3場競賽時，共有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)＝72(種)選擇方案；(2)當甲學生不參加任何競賽時，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72＋24＝96(種)．[答案]D4．(2019·河南南陽期末)把四個不同的小球放入三個分別標有1～3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種[解析]根據題意，四個不同的小球放入三個分別標有1～3號的盒子中，且沒有空盒，三個盒子中有1個盒子中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個球，則分2步進行分析：(1)先將四個不同的小球分成3組，有Ceq\o\al(2,4)＝6種分組方法；(2)將分好的3組全排列，對應放到3個盒子中，有Aeq\o\al(3,3)＝6種放法．則不允許有空盒子的放法有6×6＝36種．[答案]C5．(2019·廣東韶關調研)某中學元旦晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在節(jié)目乙的前面，節(jié)目丙不能排在最后一位，則該晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有()A．720種 B．360種C．300種 D．600種[解析]本題考查限制條件較多的排列問題．先安排好除節(jié)目丙之外的5個節(jié)目，有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2))＝60種可能，再安排節(jié)目丙，有5種可能，共60×5＝300種方案．故選C.[答案]C二、填空題6．(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數字填寫答案)[解析]解法一：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(種)．根據分類加法計數原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種．解法二：從6人中任選3人，不同的選法有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)，從6人中任選3人都是男生，不同的選法有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)，所以至少有1位女生入選的不同的選法有20－4＝16(種)．[答案]167．(2019·四川攀枝花教學質量監(jiān)測)從0,1,2,3,4中選取三個不同的數字組成一個三位數，其中偶數有________個．[解析]0在末位時，組成的三位偶數有Aeq\o\al(2,4)＝12(個)；0不在末位時，2或4在末位，組成的三位偶數有Ceq\o\al(1,2)×3×3＝18(個)．∴從0,1,2,3,4中選取三個不同的數字組成一個三位數，其中偶數有12＋18＝30(個)．[答案]308．(2020·安徽示范高中高三測試)現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為________．[解析]解法一：從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數為Ceq\o\al(3,16)，其中有2張紅色卡片的不同取法的種數為Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,12)，3張卡片顏色相同的不同取法的種數為Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(3,4)，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數為Ceq\o\al(3,16)－Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,12)－Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(3,4)＝472.解法二：若取出的3張卡片中沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數為Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝64；若僅有2張卡片的顏色相同，則不同取法的種數為Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,4)＝144.若紅色卡片有1張，且剩余2張不同色時，不同取法的種數為Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝192；若紅色卡片有1張，且剩余2張同色時，不同取法的種數為Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,4)＝72.所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(種)．[答案]472三、解答題9．(2020·泉州五中月考)有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數：(1)有女生但人數必須少于男生；(2)某女生一定擔任語文科代表；(3)某男生必須包括在內，但不擔任數學科代表；(4)某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不擔任數學科代表．[解](1)先選后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先選有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)種情況，后排有Aeq\o\al(5,5)種情況，則符合條件的選法數為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400.(2)除去該女生后，先選后排，則符合條件的選法數為Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840.(3)先選后排，但先安排該男生，則符合條件的選法數為Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360.(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有Ceq\o\al(3,6)種情況，再安排該男生有Ceq\o\al(1,3)種情況，選出的3人全排有Aeq\o\al(3,3)種情況，則符合條件的選法數為Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360.10．用0,1,2,3,4這五個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字的五位數？(1)比21034大的偶數；(2)左起第二、四位是奇數的偶數．[解](1)可分五類，當末位數字是0，且首位數字是2時，有6個五位數；當末位數字是0，且首位數字是3或4時，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12個五位數；當末位數字是2，且首位數字是3或4時，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12個五位數；當末位數字是4，且首位數字是2時，有3個五位數；當末位數字是4，且首位數字是3時，有Aeq\o\al(3,3)＝6個五位數；故共有6＋12＋12＋3＋6＝39個滿足條件的五位數．(2)可分為兩類：末位數是0，個數有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4；末位數是2或4，個數有Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,2)＝4；故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,2)＝8個滿足條件的五位數．[能力提升練]11．(2019·湖北武漢調研)三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數是()A．72 B．144C．240 D．288[解析]第1步，先選一對夫妻使之相鄰，捆綁在一起看作一個復合元素A，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(種)排法；第2步，再選一對夫妻，從剩下的那對夫妻中選擇一個插入到剛選的夫妻中，把這三個人捆綁在一起看作另一個復合元素B，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝8(種)排法；第3步，將復合元素A，B和剩下的那對夫妻中剩下的那一個進行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)排法，由分步計數原理，知三對夫妻排成一排照相，僅有一對夫妻相鄰的排法有6×8×6＝288(種)，故選D.[答案]D12．某城市地鐵站有6個候車位(成一排)，現有3名乘客隨機坐在某個座位上候車，則恰好有2個連續(xù)空位的候車方式的種數是()A．48 B．54C．72 D．84[解析]根據題意，先把3名乘客進行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，排好后，有4個空，再將1個空位和余下的2個連續(xù)的空位插入4個空中，有Aeq\o\al(2,4)＝12種排法，則共有6×12＝72種候車方式，選C.[答案]C13．(2019·北京西城一模)某種產品的加工需要A，B，C，D，E五道工藝，其中A必須在D的前面完成(不一定相鄰)，其他工藝的順序可以改變，但不能同時進行，為了節(jié)省加工時間，B與C必須相鄰，那么完成加工該產品的不同工藝的排列順序有________種．(用數字作答)[解析]B與C必須相鄰，看作一個元素，與剩下三個元素全排列共有Aeq\o\al(4,4)種排法，而B與C的順序有Aeq\o\al(2,2)種排法，又A必須在D的前面完成，所以完成加工該產品的不同工藝的排列順序有eq\f(A\o\al(4,4)·A\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝24(種)．[答案]2414．有編號分別為1、2、3、4的四個盒子和四個小球，把小球全部放入盒子．問：(1)共有多少種放法？(2)恰有2個盒子內不放球，有多少種放法？[解](1)1號小球可放入任意一個盒子內，有4種放法．同理，2、3、4號小球也各有4種放法，故共有44＝256(種)放法．(2)恰有2個盒子內不放球，也就是把4個小球只放入2個盒子內，有兩類放法：①一個盒子內放1個球，另一個盒子內放3個球．先把小球分為兩組，一組1個、另一組3個，有Ceq\o\al(1,4)種分法，再放到2個盒子內，有Aeq\o\al(2,4)種放法，共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)種方法；②2個盒子內各放2個小球．先從4個盒子中選出2個盒子，有Ceq\o\al(2,4)種選法，然后把4個小球平均分成2組，每組2個，放入2個盒子內，也有Ceq\o\al(2,4)種選法，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種方法．由分類計數原理知共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝84(種)不同的放法．[拓展延伸練]15．(2019·湖北九校聯考)第十四屆全國運動會將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進行采訪．工作任務劃分為“負重扛機”“對象采訪”“文稿編寫”“編制剪輯”四項工作，每項工作至少一人參加，但2名女記者不參加“負重扛機”工作，則不同的安排方案種數為()A．150 B．126C．90 D．54[解析]根據題意，“負重扛機”工作可由1名男記者或2名男記者參加，當由1名男記者參加“負重扛機”工作時，有Ceq\o\al(1,3)種安排方案，剩余2男2女4名記者可分為3組參加其余三項工作，共有eq