分析力學基礎

分析力學（第六章）零.總說矢量力學側重于幾何和矢量的應用；分析力學偏重于解析數(shù)學；兩者風格不同，但在力學范圍內完全等價，由于分析力學具有普適的表述方式，可推廣到其它學科中應用。.系統(tǒng)描述相關的概念（1）力學系：n個相互作用著的質點構成的力學系統(tǒng)；（2）位形：力學系的位置狀態(tài)；（3）約束：限制質點自由運動的條件；分類：幾何約束（限制幾何位置），微分約束（約束中包含速度）I|完整約束|,不完整約束［穩(wěn)定約束（與時間無關），不穩(wěn)定約束（與時間有關）

可解約束（可以解除），不可解約束（不可以解除）（4）自由度s：描寫力學系所須獨立坐標的個數(shù)?=3〃一L約束方程的個數(shù)自由度數(shù)目F點的個數(shù)（5）廣義坐標：s個獨立坐標參量可以把體系3n個坐標參量表示出來：X=X（q,q,...,q；t）,（i=1,2,—,3n）。s個獨立坐標參量稱為廣義坐標（6）廣義速度：廣義速度分量q=七@=1,2,...,s）的全體.系統(tǒng)原理相關的概念'（1）實位移：在時間間隔（也尹0）內發(fā)生的真實位移成（2）虛位移：設想發(fā)生的位核〒（時間沒變化，非真正的位移）在穩(wěn)定約束下，實位移是虛位移中的一個；在不穩(wěn)定約束下，實位移不同于虛位移（P167，圖6.2）；

虛功：力在虛位移下所作的功理想約束：體系中約束力所作的功之和為零￡J=0光滑曲面、曲線、鉸鏈；不可伸長的桿、繩；固定點約束;固定曲面上的純滾動等都是理想約束。拉格朗日函數(shù)(拉氏函數(shù)或拉格朗日量)體系的動能和勢能之爰(q,q；t)=T(q,q；t)-k(q；t)適用于體系受保守力的情況。(6)廣義動量：'—八aaq為線量時，p為動量分量；q為角量時，p為角動量分量;aaaa廣義力：Q(q,q,…,q;t)八=￡F筆的全體a12sdq1，dqq為線量時，Q為力的分量；q為角量時，Q為力矩分量;(8)哈密頓函數(shù)(或哈密頓量)H(q,p;t)=-L+￡pqa=1(8)應把廣義速度都看成〃的函數(shù)q,p(9)正則變量：廣義坐標和廣義動量稱為力學系的正則變量;p,q(a=1,2,…,s)構成2S維抽象空間，任一瞬時力學系的aa廣義坐標和廣義動量確定了相空間的一個點(稱為相點)(10)泊松括號：［G,體系的某一力學量，元dGdHdGdH]=￡()dqdpdpdq口密頓量

一.基本原理質點i處于平衡狀態(tài)：&w=f-8r+F-bT=0(i=1,2,…,s)體系處于平衡狀態(tài)：8W(10)泊松括號：［G,體系的某一力學量，元dGdHdGdH]=￡()dqdpdpdq口密頓量(1)坐標表示在理想約束的情況下，力系的平衡條件是作用在質點上的主動力所作的虛功之和等于零：6w=2：F.axii(2)廣義坐標表示V8x8xV8x8x=2r8q+—i81=2—idqa81a=1a8V8x8xV8x8x=2r8q+—i81=2—idqa81a=1a8qaa=1at8q(i=1,2,...,3n)8W=2F2欲8q=2(2F欲)8q=2Q8qidqi=1a=1a廣義a體系處于平衡時，廣義力分量都應等于零。2.達朗貝兒原理質點：mr=F+F(i=1,2,...,n)逆效力rrrF+F-mr=0(i=1,2,…，n)把動力學問題化為靜力學問題;8W=2(F+F—mr)-8r=0t=t3.達朗貝兒-拉格朗日方程在理想約束條件下(1)坐標表示：8W=2(F-mX)8x=0i=1⑵廣義坐標表示：2[&丑)-丑-q]8q=0dt8q8qaaa=1由于每個廣義坐標的變化是相互獨立的，其變分前面的系數(shù)TOC\o"1-5"\h\z必須為零：d(丑"=q(a=1,2,...,s)dtdqdqaaa其中尸=X1mr2=2：1mx2力學體系的動能211211注意：約束力不出現(xiàn)；"動能必須寫成廣義坐標、廣義速度以及時間的函數(shù)。(4)保守力系統(tǒng)中的拉格朗日方程—(當一叢=0(a=1,2,...,s)dtdqdqaa其中L(q,q；t)=T(q,q；t)-V(q；t)為拉格朗日函數(shù)保守力系統(tǒng)中拉格朗日方程的一種特殊情形：某一廣義坐標0在拉氏函數(shù)中不出現(xiàn)測其對應的拉格朗日qP方程可簡化為史(叢)=0―=p=C=常量dtdqdq(3(3P3q稱為循環(huán)坐標I；與它相應的第一積分稱為廣義動量積qP分或循環(huán)積分4.哈密頓原理(1)哈密頓函數(shù)h(q,p；t)=-L+￡p代哈密頓函數(shù)a=1在穩(wěn)定約束的情況下：h(p;q)=T+V動能+勢能在不穩(wěn)定約束下：h(p,q;t)=T2-T0+V(2)哈密頓正則方程動能中包含廣義速度三次項，動能中包含廣義速度零次項(2)哈密頓正則方程.8H.dHq=6,p=-合(a=1,2,…，s)上式共為2s個一階常微分方程組，結合初始條件，可得到廣義坐標和廣義動量的表達式勺=q(t),『=p(t)。aaaa(3)哈密頓函數(shù)隨時間的變化率：此=邊dtdt對穩(wěn)定約束，機械能守恒；對不穩(wěn)定約束，機械能不守恒。若某一廣義坐標q在哈密頓函數(shù)中不出現(xiàn)，貝Up一給=0，q口相應的廣義動量積分p=C=常量注意：經(jīng)典力學的確定論適用于哈密頓函數(shù)可積；若力學系不可積，則可能出現(xiàn)隨機的混沌行為。(4)哈密頓原理I.數(shù)學預備知識泛函：以函數(shù)為變量的函數(shù)；"Se(對S—S[y(x)]泛函的變分：兩個相近函數(shù)沁)和y(x)給出的泛函值之差8S—S-S—W玉-—(——堂——)}by(x)dx—0

xdydxd(dy/dx)由于8y(x)為任意微小函數(shù)，所以也-d(講)—0dydtd(dy/dx)泛函變分的歐拉方程「若贏此方程，則相應泛函取極值II.哈密頓原理定義哈密頓作用量：S-『L(q,q；t)dtt1是關于q(t)的泛函；與位形空間中由％點通向％點的軌道密切相關。

哈密頓原理：對一個保守的完整力學系，其運動真實軌道的哈密頓作用量為極值。心=代L(q,q;t)dt=0(廣義坐標空間)t18S=8f12("「H)dt=0(相空間)a=1注意：可以從作用量的變分為零來確定真實的軌道。幾個慣用術語1.自由度、廣義坐標與廣義動量自由度：確定體系中粒子位置的獨立參量f=3N-S廣義坐標：描述體系空間狀態(tài)的坐標參數(shù)qf廣義速度：pk=aqjat廣義動量：Pk=dT和qk2.哈密頓函數(shù)H(p,q)=T(p,q)+u(q)動能+勢能能量恒定的體系：總能量二動能+勢能h=e▼.?一WH=乙p▼.?一WH=乙p2,..2m=乙Hi=ii=1ki=1相倚子系，U(q)乏0，則：H=ILp2/2m+u(x,y,z；…；x,y,z)=ki=1測不準關