新教材人教B版選擇性必修第二冊4.2.1隨機變量及其與事件的聯(lián)系學(xué)案

4.2隨機變量4.2.1隨機變量及其與事件的聯(lián)系課標解讀課標要求素養(yǎng)要求1.理解隨機變量的含義.2.通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念.3.能寫出離散型隨機變量的可能取值，并能解釋其意義.4.會借助隨機變量間的關(guān)系解題1.數(shù)學(xué)抽象——能理解隨機變量的含義，正確寫出離散型隨機變量的可能取值.2.數(shù)學(xué)運算——能借助隨機變量間的關(guān)系快速運算自主學(xué)習·必備知識教材研習教材原句要點一隨機變量（1）定義:一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應(yīng)有①唯一確定的實數(shù)值，就稱X為一個隨機變量.（2）表示:一般用大寫英文字母X,Y,Z,…或小寫希臘字母ξ,η,ζ,…表示.（3）取值范圍：隨機變量②所有可能的取值所成的集合，稱為這個隨機變量的取值范圍.要點二隨機變量與事件的聯(lián)系一般地，如果X是一個隨機變量，a,b都是任意實數(shù)，那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件，而且：（1）當a≠b時，事件X=a與X=b③互斥；（2）事件X≤a與X>a相互④對立，因此P(X≤a)+P(X>a)=⑤1.要點三隨機變量的分類（1）離散型隨機變量：如果隨機變量的所有可能取值都是可以一一列舉出來的，那么它們都是離散型隨機變量.（2）連續(xù)型隨機變量：與⑥離散型隨機變量對應(yīng)的是連續(xù)型隨機變量，一般來說，連續(xù)型隨機變量的取值范圍包含一個⑦區(qū)間.要點四隨機變量之間的關(guān)系一般地，如果X是一個隨機變量，a,b都是實數(shù)且a≠0，則Y=aX+b也是一個⑧隨機變量，由于X=t的充要條件是Y=at+b，因此P(X=t)=⑨P(Y=at+b).自主思考1.盒中有2個正品零件和3個次品零件，現(xiàn)從中任取3個零件，取到的零件中正品零件的個數(shù)X的取值范圍是什么？答案：提示{0,1,2}.2.若隨機變量X,Y之間存在線性關(guān)系，X與Y的類型有何關(guān)系？答案：提示若隨機變量X,Y之間存在線性關(guān)系，即Y=aX+b，則X,Y的類型相同，即要么同為離散型隨機變量，要么同為連續(xù)型隨機變量.名師點睛1.隨機變量的取值由隨機試驗的結(jié)果決定.隨機試驗的結(jié)果具有兩個特性：（1）可變性，即每次試驗對應(yīng)的結(jié)果不盡相同.（2）確定性，即每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.2.隨機變量之間的關(guān)系：（1）確定的隨機變量X和Y的等量關(guān)系的實質(zhì)：當X的值確定之后，Y的值也就確定，反之亦然.（2）確定等量關(guān)系的隨機變量X和Y的取值范圍：已知Y=aX+b，求Y的取值范圍即將X的范圍代入等式進行代數(shù)運算.（3）確定等量關(guān)系的X和Y的概率關(guān)系：若Y=aX+b，則P(X=t)=P(Y=at+b).互動探究·關(guān)鍵能力探究點一隨機變量的判斷自測自評1.給出下列四個命題：①15秒內(nèi)，通過某十字路口的汽車的數(shù)量是隨機變量；②在一段時間內(nèi)，某候車室內(nèi)候車的旅客人數(shù)是隨機變量；③一條河流每年的最大流量是隨機變量；④一個劇場共有三個出口，散場后某一出口退場的人數(shù)是隨機變量.其中正確的個數(shù)是()答案：D解析：由隨機變量定義可以直接判斷①②③④都是正確的.故選D.2.下列隨機變量X不是離散型隨機變量的是()A.某機場候機室中一天的旅客數(shù)量為XB.某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為XC.某草莓大棚觀察到一天中室內(nèi)溫度為XD.某十字路口一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X答案：C解析：A、B、D中的隨機變量X可能取的值，都可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機變量；C中的X3.（2020廣西桂林第二高級中學(xué)高二模擬）已知下列隨機變量:①10件產(chǎn)品中有2件次品，從中任選3件，取到次品的件數(shù)X；②一位射擊手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用X表示該射擊手在一次射擊中的得分；③劉翔在一次110米跨欄比賽中的成績X；④在體育彩票的抽獎中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)X.其中X為離散型隨機變量的是()A.①②③B.②③④C.①②④D.③④答案：C解析：③中X的值可在某一區(qū)間內(nèi)取值，不能一一列出，故不是離散型隨機變量.故選C.解題感悟“三步法”判斷離散型隨機變量（1）依據(jù)具體情境分析變量是不是隨機變量.（2）由條件求解隨機變量的取值情況.（3）判斷變量的取值能否被一一列舉出來，若能，則是離散型隨機變量；否則，不是離散型隨機變量.探究點二隨機變量的取值范圍及其應(yīng)用自測自評1.某人進行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為ξ，則“ξ=5”表示的試驗結(jié)果是()A.第5次擊中目標B.第5次未擊中目標C.前4次均未擊中目標D.第4次擊中目標答案：C解析：“ξ=5”表示前4次均未擊中目標，而第5次可能擊中目標，也可能未擊中目標，故選C.2.袋中裝有10個紅球，5個黑球，每次隨機抽取一個球，若取到黑球，則放入袋中，直到取到紅球為止，若抽取的次數(shù)為X，則表示“放入袋中5次球”的事件為()A.X=4B.X=5C.X=6D.X≤4答案：C解析：“放入袋中5次球”，即第6次抽取到了紅球，即X=6.3.寫出下列隨機變量的取值范圍.（1）張大爺在環(huán)湖線路旁種了10棵樹苗，設(shè)成活的樹苗為ξ；（2）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點數(shù)ξ；（3）一袋中裝有5個同樣大小的球，編號為1，2，3，4，5，現(xiàn)從該袋中隨機取出3個球，被取出的球的最大號碼數(shù)ξ；（4）電臺在每個整點都報時，報時所需時間為分鐘，某人隨機打開收音機對時間，他所等待的時間ξ分鐘.答案：（1）ξ的取值范圍為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.（2）ξ的取值范圍為{1,2,3,4,5,6}.（3）ξ的取值范圍為{3,4,5}.（4）ξ的取值范圍為[0，59.5].解題感悟隨機變量的取值范圍類似于函數(shù)的定義域，因此只要明確隨機變量的取值同試驗結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系，即可求出隨機變量的取值范圍.探究點三隨機變量之間的關(guān)系及其應(yīng)用精講精練例某商場的促銷員是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1500元，每工作1天再獲取100元.從該商場促銷員中任意抽取一名，設(shè)其月工作時間為X天，獲取的稅前月工資為Y元.（1）當X=25時，求Y的值；（2）寫出X與Y之間的關(guān)系式；（3）若P(Y＞3500)=0.7，求P(X≤20)答案：（1）當X=25時，Y=25×100+1500=4000.（2）由題意可知Y=100X+1500.（3）由Y＞3500可知100X+1500即X＞20∴P(X＞20)=P(Y∴P(X≤20)=1-0.7=0.3.解題感悟1.求解此類問題的關(guān)鍵是明確隨機變量的取值所表示的含義.對于變量間的關(guān)系問題，可類比函數(shù)關(guān)系求解.2.對立事件的概率和為1，常借助此關(guān)系求對立事件的概率.遷移應(yīng)用1.某城市建設(shè)集團塔吊工人師傅的稅前月工資按下述方法計算：固定工資3000元，每工作一小時再獲取60元，從該公司塔吊師傅中任意抽取一名，設(shè)其月工作時間為X小時，獲取的稅前工資為Y元.（1）當X=200時，求Y的值；（2）寫出X和Y之間的關(guān)系式；（3）若P(Y＞16200)=0.58，求P(X≤220)答案：（1）X=200，即該師傅該月工作了200小時，所以Y=3000+200×60=15000.（2）由題意可得Y=3000+60X.（3）因為Y＞16200，即3000+60X＞16200，即X＞220評價檢測·素養(yǎng)提升課堂檢測1.下列變量中為離散型隨機變量的是()A.到2020年10月1日為止，我國發(fā)射的衛(wèi)星B.一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C.某人在車站等出租車的時間D.某人投籃10次，可能投中的次數(shù)答案：D解析：離散型隨機變量的取值是可以一一列舉的，結(jié)合選項可知D正確.2.如果X是一個離散型隨機變量，且Y=aX+b，其中a,b是常數(shù)且a≠0，那么Y()A.不一定是隨機變量B.一定是隨機變量，不一定是離散型隨機變量C.可能是定值D.一定是離散型隨機變量答案：D解析：由于X是離散型隨機變量且Y=aX+b，故Y與X具有線性關(guān)系，所以Y一定是離散型隨機變量.3.若P(X≤1)=0.7，則P(X＞答案：解析：∵P(X≤1)+P(X＞1)=1∴P(X＞素養(yǎng)演練數(shù)學(xué)運算——隨機變量在生活中的應(yīng)用1.自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全球醫(yī)用防護物資幾度告急，缺口較大，為了提高產(chǎn)能，緩解供求壓力，某地方政府響應(yīng)國家號召積極采取措施激勵生產(chǎn)，共度時艱，具體措施如下：政府統(tǒng)一規(guī)劃相應(yīng)急缺物資訂單，根據(jù)相應(yīng)產(chǎn)能匹配企業(yè)接單制作，在保質(zhì)保量的前提下，接單企業(yè)每超額完成一批訂單，政府額外補貼2萬元，假設(shè)接單企業(yè)均能按約完成任務(wù)，而且每月超額的訂單數(shù)不超過10個，從這批企業(yè)中隨機抽出一家，記抽出的企業(yè)超額的訂單數(shù)為X個，獲得的超額獎勵為Y萬元，則X和Y均為隨機變量.問題：（1）當X=5時，Y的值是多少？寫出X和Y之間的關(guān)系；（2）根據(jù)生產(chǎn)實際分別寫出X和Y的取值范圍；（3）若P(Y＞200)=0.68，求P(X≤100)答案：（1）因為X=5表示超額完成了5個訂單，所以按照