【名師解析】浙江省重點中學協(xié)作體2015屆高三高考摸底測試數學理試題Word版含解析

2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高考摸底測試數學（理科）試題【試卷綜評】突出考查數學主干知識,側重于中學數學學科的基礎知識和基本技能的考查；側重于知識交匯點的考查。全面考查了考試說明中要求的內容，明確了中學數學的教學方向和考生的學習方向,適度綜合考查，提高試題的區(qū)分度.通過考查知識的交匯點，對考生的數學能力提出了較高的要求.選擇題部分（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.UR，集合M{x|xx0},N{x|x2n1,nZ}，則MN1．已知全集2（）。A．{0}B．{1}【知識點】集合的交集.C．{0，1}D．φ{}{}N=奇數，所以MN=1,{}M=0,1,集合B解析：解：由題意可知集合【答案解析】故選B.【思路點撥】先求出兩個集合在求交集即可.p:k,kZ,q:f(x)sin(x)(0)是偶函數，則2．若p是q的（）。2A．充要條件C．必要不充分條件B．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷;函數的奇偶性.pf(x)=sin(wx+p2+kp)=coswx，所以j=+kp，則【答案解析】A解析：解：若2()有f(x)=f-x，故函數為偶函數，充分性成立；若f(x)=sin(wx+j)是偶函數，則()()f(x)=f-x，即sin(wx+j)=sin-wx+j，所以wx+j=-wx+j+2kp（舍去）或wx+j-wx+j=2kp+p，解得j=p+kp，故選A.22【思路點撥】根據函數奇偶性的定義和性質，結合充分條件和必要條件的定義即可得到結論．3．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半2徑是的圓，則這個幾何體的表面積是（）。1281614A．B．C．表面積.A解析：解：由三視圖可知該幾何體為一個球D．【知識點】由三視圖求幾何體的正視圖左視圖【答案解析】31R=2，缺口部分為挖去球體的．球的半徑4體的，43表面積等于球的表面積的加上大圓的面4這個幾何體的俯視圖3積．S=?4pR2pR2=16p,故選A．431【思路點撥】由三視圖可知該幾何體為一個球體的，缺口部分為挖去球體的，44據此可得出這個幾何體的表面積．x=(sina)，y=(cosa)logsina，則x與y的大小關系為（）。p4．，logcosa,p42A．xyB．xyC．xyD．不確定【知識點】換底公式；比較大小.驏()()，y=cosalogsinappp"琪,，x=sina【答案解析】C解析：解：因為琪alogcosa，p42桫所以x>0,y>0，然后兩邊同時取以p為底的對數可以得到logx=logcosalogsina，ppplogy=logcosalogsina，所以由兩式可得logx=logy，即x=y，故選C.ppppp【思路點撥】首先根據a的范圍判斷出x>0,y>0，然后兩邊同時取以p為底的對數即可比較大小.1(x)5．二項式6的展開式中常數項為（）。xA．-15B．15C．-20D．20【知識點】二項式定理的應用;二項式展開式的通項公式;求展開式中某項的系數.驏琪-16【答案解析】B解析：解：二項式x的展開式的通項公式為琪桫x()3r-3r=C1rx-66-=0C4=15，6Tr+12，令，求得r=4，故展開式中常數項為r62故選：B．【思路點撥】先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數等于0，求得r的值，即可求得常數項的值．6．若函數yfx在0,上的導函數為，且不等式xfxfx恒成立，又fx常數a,b滿足ab0，則下列不等式一定成立的是（）。D．afabfbA．bfaafbB．afabfbC．bfaafb.【知識點】利用導數研究函數的單調性；導數的運算．【答案解析】A解析：解：令g(x)=f(x)()xf￠(x)-f(x)(x>0)；x2x>0，則g￠(x)=x又∵xfxfx，∴()g￠(x)>0；∴函數g(x)在0,+上是增函數．f(a)()fb()()又∵ab0，∴ga>gb，即>，∴bfaafb．ab故選：A.g(x)=f(x)()￠x>0，求g(x)，利用利用導數判定【思路點撥】構造g（x）的單調x性，可以得出結論．7．函數f(x)sin(2x)(||)的圖象向左平移個單位后關于原點對稱，則函數26f(x)在上的最小值為（）。[0,]23121C．23D．2A．B．2【知識點】函數y=Asin(wx+j)的圖象變換；函數的值域.f(x)sin(2x)(||)的圖象向左平移個單【答案解析】A解析：解：函數26驏(fx）=sin[琪2x++j=]sinx(+2p+jp)．位后，所得圖象對應的函數解析式為琪6桫3f(x）=sin(2x+p3+j為)奇函數，故+j=kp，p再由所得圖象關于原點對稱，可得3輊p?犏0,[]2x?0,ppp∴j．可得函數，又因為x，，所以就有=-f(x）=sin(2x-)33犏2臌輊p2p32x-p?犏,pp2，故當x，函數有最小值，最小值為，故選2-=-A.3犏33臌33【思路點撥】根據y=Asinw(x+j的)圖象變換規(guī)律可得，所得圖象對應的函數解析式為f(x）=sin(2x+p3+j．)根據f(x）=sin(2x+p3+j為)奇函數，p可得+j=kp,求得j的值可得函數解析式，然后在定義域內求最值即可.3822．將1﹑2﹑3﹑4四個數字隨機填入右方的方格中﹐每個方格中恰填一數字﹐但數字可重復使用﹒試問事件「A方格的數字大于方格的數字﹑且C方格的數字大于D方格的數字」的機率為（）。B1A．169B．6425C．649D．256【知識點】古典概型及其概率計算公式；排列、組合的運用。B解析：解：因為將4個數字可重復的填入4個方格中﹐所以共有44=256種【答案解析】a,b,且ab﹒此時數對a,b有以填法,設填入A,B兩方格的數字分別為下6種填法﹕2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3﹒同理﹐填入C,D兩方格的數字也有6種填法﹒669因此﹐所求機率為﹒故選B﹒2566422【思路點撥】先求出四個數字隨機填入的方格中的總數，再求出滿足題意的基本事件數，最后求比值即可.9．將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點﹐它們所構成的兩個正三角形扣除內部六條線段后可以形成一正六角星﹐如圖所示的正六角星是以原點O為中心﹐其中﹐分別為原點O到兩個頂點O到正六角星12個頂點的向量﹐都寫成為ab的最大值為（）。xy的向量﹒若將原點的形式﹐則axbyA．2【知識點】向量的表示；分類討論.【答案解析】D解析：解：B．3C．4D．5ab的最大值﹐所以考慮右圖中的6個頂點之向量即可﹒因為若求討論如下﹕(1)若OAx﹐故a,b1,0﹒(2)若OBOFFBy3x﹐故a,b3,1﹒(3)若OCOFFCy2x﹐故a,b2,1﹒(4)若ODOFFEEDyxOCyxy2x2y3x﹐a,b3,2﹒故(5)若OEOFFEyx﹐故﹒a,b1,1(6)若OFy﹐故﹒a,b0,1325ab的最大值為﹒故選因此﹐D﹒【思路點撥】根據題意分類討論即可.10．設f為實系數三次多項式數函.已知五個方程式的相異實根個數如下表所述﹕fx200fx10013311fx100fx200fx0關于f的極小值﹐試問下列（）選項是正確的﹖2010010A．【知識點】方程的根與函數的B．C．D．不存在關系；數函的極值.f(x)k0f(x)k的相異實根數等價于函數【答案解析】C解析：解：方程式y(tǒng)f(x)與直線yk兩圖形的交點數﹒依題意可得兩圖形的略圖有以下兩種情形﹕(1)當f(x)的最高次項系數為正時﹕(2)當f(x)的最高次項系數為負時﹕y0與y10之間﹐所以其y坐標（即極小值）的范圍因為極小值點A位于兩水平線為﹒故選C﹒方程式f(x)k0f(x)k的相異實根數等價于函數yf(x)與直線yk的交點數，然后畫圖形即可.非選擇題部分（共100分）：本大題共7小題，每小題4分，共28分．二、填空題11．某食品企業(yè)一個月內被消費者投訴的次數用表示，椐統(tǒng)計，隨機變量的概率分布如下圖，則的數學期望為。01230.10.32aap【知識點】離散型隨機變量的期望.1.7【答案解析】解析0.1+0.3+a2+a=1a=0.2，解得，：解：由概率分布的性質有∴ξ的概率分布為:01230.10.3p0.40.2\Ex=0?0.11?0.32?0.43?0.21.71.7，故答案為：.對于隨機變量的所有可能的取值，其相應的概率之和都是1，所以可以求出a值，再利用數學期望的定義求解．果執(zhí)行右面的程序框圖，輸入正整數，滿足nm，【思路點撥】,nm12．如右圖，如那么輸出的P等于。【知識點】循環(huán)結構的程序框圖；排列公式.A解析：解：第一次循環(huán)：k=1,p=1,p=n-m+1；m【答案解析】n()()第二次循環(huán)：k=2,p=n-m+1n-m+2；()()()第三次循環(huán)：k=3,p=n-m+1n-m+2n-m+3;?()()()第m次循環(huán)：k=m,p=n-m+1n-m+2...n-1n()()()此時結束循環(huán)，輸出p=n-m+1n-m+2...n-1n=mAn故答案為：A.mn【思路點撥】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算并輸出變量P的值，用表格對程序運行過程中各變量的值進行分析即可．xy1xy1，若目標函數zaxby(a0,b0)的最大13．已知x、滿足約束條件y2xy2347,則的最小值為。ab值為【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；簡單線性規(guī)劃．xy1xy1表示的平面區(qū)域，【答案解析】7解析：解：作出不等式組2xy2得到如圖的△ABC及其內部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）設zaxby(a0,b0)，將直線觀察直線在xll：zaxby進行平移，并=+3a+4b=7．軸上的截距變化，可得B時，目標函數z達到最大值,即當l經過點341()驏341驏1b2+1a2+=3a+4b琪+=琪25+，ab因此，琪琪ab7桫ab7桫12b12a匙212b12a=24，∵a>0,b>0，可得+abab341驏12b+12a1()34++=琪25+?2524=7a=b=1，當且僅當時，的最小ab∴琪ab7桫ab7值為7．故答案為：7【思路點撥】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內部，利=+zaxby取得3a+4b=7最大值為7，即．再用直線平移法求出當x=3且y=4時，a=b=1時的最小值為7．根據基本不等式加以計算，可得利用整體代換法，當a2a24，則S且滿足條件114．設S是各項均為非零實數的等差數列a的前n項和，109nn的最大值為?！局R點】等差數列的通項公式、性質、前n項和公式；三角換元,三角函數的最值.a2a24，可設a=rcosq，a=rsinq，所110241【答案解析】解析：解：由110以r￡2．設a的公差為d，則a-a=9d=rsinq-rcosq，101nrsinq-rcoqsa=a-d=rsinq-rsinq-rcoqs，9910所以d=，所以99(rcosq+rsinq-rsinq-rcosq)=r(10cosq+8sinq2)9(a+a)=9241,241S=91922?10cosq8sinq=241sin(q+j)所以S的最大值為241,故答案為。9【思路點撥】由a2a24，可設a=rcosq，a=rsinq，代入求和公式，利用110110三角函數的有界性即可求得其最大值．15．已知橢圓C：xa2221(ab0)的左右焦點分別為F,F，點P為橢圓C上的任意一yb212點，若以F,F,P三點為頂點的等腰三角形一不定可能為鈍角三角形，則橢圓C的離心率的12取值范圍是?！局R點】橢圓的定義與離心率.【答案解析】[21,22]解析：解：因為點P的橫坐標x滿足-c＃xc，且當點P00ìb2a??￡2c，所以橢圓C的離心率的取值在短軸頂點時，DFPF一是定銳角或直角，所以í?12?a32c?22].范圍是[21,2]，故答案為[21,2【思路點撥】先確定出點P的橫坐標x的范圍，在根據DFPF是銳角或直角解不等式組即012可.16．把座位編號為1、2、3、4、5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數為：。（用數字作答）【知識點】排列、組合的應用.96【答案解析】解析：解：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人一張，1人2張，且分得的票必須是連號，相當于將1、2、3、4、5這五個數用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號．在4個空位插3個板子，共有C3=4種情況，再對應到4個人，有A4=24種情況，則444?2496共有種情況．96故答案為．【思路點撥】根據題意，先將票分為符合題意要求的4份，用隔板法易得其情況數目，再將分好的4份對應到4個人，由排列知識可得其情況數目，再由分步計數原理，計算可得答案．f(x)2sinax}在[,]17．已知M{a|上是增函數，N{b|方程3b10}有|x1|34xn實數解，設DMN，且定義在R上的奇函數f(x)在內沒有最小值，則mDx2m的取值范圍是。【知識點】利用導數研究函數的單調性；奇函數．3ax}在[,]上是增函數，可得【答案解析】解析：解：∵{a|f(x)2sinMm342T2p2p2p333且a>0，即，解得a￡，故M={a|a3},232a3223b10}有實數解，，所以可得N={b|1<b2}∵{b|方程N|1|x纟xnxm23∴D=MN?1,,∵f(x)是定義在R上的奇函數,=?úú2棼()xxn∴f0=0可得n=0,∴f(x)=，又f(x)在D內沒有最小值xmx+m22x1=，m∴f(x)=x2+mx+x3若m￡0,函數f(x)在D上是減函數,函數在右端點處取到最小值,不合題意.2()()在D內沒有最小值可轉化為在Dhxmf(x)xn若m>0，令hx=x+，則xmx2()內沒有最大值，下面對hx在D內的最大值進行研究：()()()￠hx=1+m，令hx>0，可解得x>m，令hx<0，可解得，￠￠x<m由于x2()()0,mm,+由此知，函數h（x）在是減函數，在上是增函數，39()hx當m3時，即時，函數在m3D上是減函數，不存在最大值,符合題意24()驏3當m￡1時，即m￡1時，函數hx在D上是增函數，存在最大值h琪，不符琪桫2合題意()1<m<時，即1<m<93hx1,m()驏琪,琪m2桫3當時，函數在是減函數，在上是24驏3()成立，才能滿足函數在上沒有最大值，即有hxD()h1h>琪增函數，必有琪2桫3m31+m>+，解得m>，符合題意322233m的取值范圍是m>，故答案為.m>綜上討論知，22xnx2m求出集合D的范圍．再根據f(x)M,N的范圍，【思路點撥】先確定出集合在D內沒有最小值，對函數的最小值進行研究，可先求其導數，利用導數研究出函數的單調性，確定出函數的最小值在區(qū)間D的左端點取到即可，由于1直接研究()=+mxf(x)=有一定困難，可將函數變?yōu)?，構造新函hxx，將研x2+mx+mxx究原來函數沒有最確定出新函數的最值，從而解出參數【典型總結】本題主要考查函數的單調性與其導函數的角函數的周期求法及對三角函數圖象特征的理解，指數函數的值算．考查了轉化的思想及分類討論的思想，計算的能力，本題綜合性強涉及到的知識點較多，屬于綜合題中的難題．三、解答題：本大題共5小題，共72分，解答應寫出文字說明分14分）在ABC中，三個內角分別為，且小值的問題轉化為新函數沒有最大值的m的取值范圍正負情況之間的關系，三域及集合的問題，利用導數工具易．運、證明過程或演算步驟．A,B,Ccos(A)2cosA．18．（本小題滿36（1）若cosC,求BC3AC．,34（2）若B(0,)，且cos(AB)，求sinB．35【知識點】兩角和差的正余弦公式的應用;正弦定理.1）16（2）sinB=43-3.AC【答案解析】（10cos(A)2cosA，得：解：因為cosAcossinAsin2cosA，33解析3即sinA3cosA，因為A0,，且cosA0，，所以tanA所以3A。363（1）因為sin2Ccos2C，cosC1，C0,，所以sinC333613323又sinBsin()sincosACACcossinAC，23236ACBC由正弦定理知：AC16。，即sinBsinA（2）因為B(0,)3，所以ABB0,，333sin2(AB)cos2(AB)1，所以sin(AB)，5AB)43310sinBsinAABsinAcos(AB)cosAsin(所以.【思路點撥】先結合已知條件利用三角公式進行化簡可求出角A，（1）先求sinB，再利用正弦定理可求結果，（2）先求sin(A-B)，再求sinB即可.S，S2a2.nnn19．（本小題滿分14分）已知數列a的前n項和為n（1）求數列a的通項公式；n1（2）設bloga，＝c，記數列c的前n項和.若對nNT，bbn2nnnnnn1Tkn4恒成立，求實數k的取值范圍．n【知識點】等比數列的通項公式；對數的運算性質；裂項求和；恒成立問題的等價轉化；基本不等式的性質.11）a=2n（2）,9n【答案解析】（n1a2，當n2時，aSS2a2(2a2)n1解析：解：（1）當時，1nnn1na即：，數列為以為公比的等比數列a2n22naan1nn11nn11nn11（2）由nb＝log2an得bn＝log22n＝n，則nc＝＝＝－，bbnn1111111n1n1nTn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.223nnn(n＋1)(n＋4)n2＋5n＋441nn1＝∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.＋5n1n＋n444n＝，即n＝2時等號成立，n∵n＋＋5≥2n＋5＝9，當且僅當nn14111,9∴≤，因此k≥，故實數k的取值范圍為99n＋＋5n=-aSS，再利用等比n1a2．當時，n2【思路點撥】（1）當時，解得1nnn-1數列的通項公式即可得出．（2）利用對數的運算性質可得b，利用n“裂項求和”即可得出：數列c的前nn14nn1項和T．由于對nNnTkn4n，恒成立，可得≤k(n＋4)，化為k≥n＋＋5n，利用基本不等式的性質即可得出．在直三棱柱ABCABC中，11120．（本小題滿分15分）如圖，ABAC,ABAC2,AA4,點D是BC的中點1（1）求異面直線AB與CD所成角的余弦值11（2）求平面ADC與ABA所成二面角的正弦值。11【知識點】與二面角有關的立體幾何綜合題；異面直線及其所成的角．3105【答案解析】（1）（2）103解析：解：（AB,AC,AA為為空間直角坐標系Axyz，1）以單位正交基底建立1則A(0,0,0)B(2,0,0)，C(0,2,0),A(0,0,4),D(1,1,0),C(0,2,4)11∴AB(2,0,4),AB(1,1,4)11ABCDABCD1831010∴cos,11112018ABCD11310∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為1101（2）AC(0,2,0)是平面ABA的的一個法向量1設平面ADC的法向量為m(x,y,z)，∵1AD(1,1,0),AC(0,2,4)1由mAD,mAC∴xy0z1取，得y2,x2，2y4z01∴平面ADC的法向量為m(2,2,1),設平面ADC與ABA所成二面角為111ACm42ACm5，得sin3∴coscosACm,2335.∴平面ADC與ABA所成二面角的正弦值為131【思路點撥】（1）以AB,AC,AA為為單位正交基底建立空間直角坐標系Axyz，1，利用向量法能求出異面直線AB與CD所成角的余弦值．11（2）分別求出平面ABA的法向量和平面ADC的法向量，利用向量法能求出平11面ADC與ABA所成二面角的余弦值，再由三角函數知識能求出平面ADC與111ABA所成二面角的正弦值．1421．（本小題滿分15分）在平面直角坐標系中，給定三點A(0,),B(1,0),C(1,0)，點P3到直線BC的距離是該點到直線AB，AC距離的等比中項。（1）求點P的軌跡方程；（2）若直線L經過ABC的內心（設為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍。【知識點】軌跡方程的求法;斜率的取值范圍;分類討論思想.【答案解析】（1）2x22y23y20,8x217y212y80.1234(2){0,,,2}.2217解析：解：（1）直線AB、AC、BC的方程依次為y(x1),y4(x1),y0。點4P(x,y)到AB、AC、BC的距離依次為33d1|4x3y4|,d1|4x3y4|,d|y|。依設，55123ddd2,得|16x2(3y4)2|25y2，即12316x2(3y4)225y20,或16x2(3y4)225y20，化簡得點2x22y23y20與雙曲線T:82x17y212y80P的軌跡方程為圓S：（2）由前知，點P的軌跡包含兩部分圓S：2x22y3y20①②28x17y12y80與雙曲線T：22因為B（－1，0）和C（1，0）是適合題設條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。1ABCddd，解得D(0,)，且知它在圓S上。的內心D也是適合題設條件的點，由2123直線L經過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設L的方程為ykx12③1（i）當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，表明Ly2與雙曲線有不同于D的兩（ii）當k0時，L與圓S有兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：C，此時L的斜率k1L經過點B或點，直線L的方程為x(2y1)。2情況1：直線5454。表明直線y(3y4)0，解得E(,)或F(-,)代入方程②得BD與曲線T有2個交3333點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。故當k12時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。1情況2：直線L不經過點B和C（即k），因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙28x17y12y8022曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且只有一組實數解，消ykx1225去y并化簡得(817k2)x25kx04該方程有唯一實數解的充要條件是817k20④25或(5k)24(817k2)0⑤4234，解方程⑤得k2.解方程④得k172綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集{0,1,234,2}.2172【思路點撥】(1)先求直線AB、AC、BC的方程，在求出點P(x,y)到AB、AC、BC的距離依次為d1，d2，d3．由此能求出點P(x,y)的軌跡方程．(2)點P的軌跡包含圓S：2x22y23y20與雙曲線：8x217y212y80．△ABC的內心D也是適合題設條件的點，由ddd，3T12解得D(0,1)．設l的方程為ykx12．再分情況討論能夠求出直線l的斜率k的2取值范圍．xaln(1x),g(x)ln(1x)bx.22．（本小題滿分14分）設函數f(x)1x（1）若函數()在x0處有極值，求函數f(x)的最大值；fx（2）①是否存在實數b，使得關于x的不等式g(x)0在上恒成立？若存在，0,求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；.n1,2,kk211②證明：不等式1nlnn2k1【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．【答案解析】（1）f(0)0（2）①[1,+);②見解析.1a1x解析：解：（1）由知已得：