2021年寧夏中衛(wèi)市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

2021年寧夏中衛(wèi)市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)

一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，每小題給出的選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確的答案涂到答題卡上)

1.已知全集(/=/?,集合4={%|一-4x+3>0},B={x[-l<x<2},貝i」(Cu4)UB

=()

A.(-l,1]B.[l,2)C,[l,3]D.(-l,3]

【答案】

D

【考點(diǎn)】

交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【解析】

求出集合的等價(jià)條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

【解答】

由-4x+3>0解得X<1或x>3,貝Ij4=(-oo,1)u(3,+oo),

所以(CM)UB=[l,3]U(-l,2)=(-1,3].

1+j

2.復(fù)數(shù)Z=l-i,則z3=()

A.-iB.iC.-lD.l

【答案】

A

【考點(diǎn)】

復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用》2=-1即可求出結(jié)果.

【解答】

1+i(l+i)2

z=l-i=(l-i)(1+i)=t,

3.下列四個(gè)命題：

①若a>\b\,則a?>b2

若

a>則c>

Ja-d

若a>b

④若a>b>0,c<0,則

其中正確命題的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】

B

【考點(diǎn)】

不等式的概念與應(yīng)用

【解析】

①由a>|b|,利用不等式的性質(zhì)可得a?>非；

②由a>b,c>d,利用不等式的性質(zhì)可得a+c>b+d,即可判斷a-c>b-d是

否正確；

③取a=2,b=1,c=-2,d=-3,滿足a>b,c>d,即可判斷出；

&）由a>b>0,c<0,利用不等式的性質(zhì)可得\>工>0,—c>0,于是（>’,因

baba

【解答】

解：①<a>|b|,/.a2>b2,故正確；

②:a>byc>d,a+c>b+d,因此a—c>b—d不正確；

③取a=2,b=1,c=—2,d=-3,滿足a>b,c>d,但是QC=-4<bd=-3,

故不正確；

④「a>h>0,c<0,.0.->->0,-c>0,

ba

-77>—,士>:，故正確.

baab

綜上可知：只有①④正確.

故選：B.

4.為美化環(huán)境，某城市決定用鮮花裝飾如圖所示花柱，它的下面是一個(gè)直徑為1m、高

為3m的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體，如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么

裝飾一個(gè)這樣的花柱大約需要鮮花朵數(shù)為（）（兀x3.1）

A.1230B.1430C.1630D.1830

【答案】

C

【考點(diǎn)】

等可能事件的概率

等可能事件

【解析】

利用圓柱的表面積公式和球的表面積公式先求出這樣的花柱的表面積，由此能求出裝

飾一個(gè)這樣的花柱大約需要鮮花朵數(shù).

【解答】

一個(gè)直徑為1m、高為3m的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體，

.-?這樣的花柱的表面積為：

2兀一畤卓嗔冗?（春）2

S=NN/a10.85

每平方米大約需要鮮花150朵,

試卷第2頁，總25頁

??.裝飾一個(gè)這樣的花柱大約需要鮮花朵數(shù)為：\

150x10.85=1627.5?1630.

5.中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一條漸近線方程為Ex+y=0,貝IJC的離心率為()

2a2V5

A.2或B.F或3C.2或3D.3或3

【答案】

C

【考點(diǎn)】

雙曲線的離心率

【解析】

討論雙曲線的實(shí)軸實(shí)軸的軸，結(jié)合漸近線方程求解離心率即可.

【解答】

如果焦點(diǎn)坐標(biāo)在X軸，雙曲線C的一條漸近線方程為J5x+y=o,

b

則a=所以所以c=2a,此時(shí)e=2.

如果雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸，雙曲線C的一條漸近線方程為J5x+y=0,

3_r-

則：b,所以a=V§b,可得c=3a,所以e=3.

6.已知cos(。-4)=5,則sin20=()

223223

A.25B.25c.-25D.-25

【答案】

D

【考點(diǎn)】

二倍角的三角函數(shù)

【解析】

71

根據(jù)二倍角公式，求出cos2(0-4),再根據(jù)誘導(dǎo)公式求出sin20.

【解答】

九1

因?yàn)閏os（e-4）=5,

冗.4s23

所以cos2(0—4)=2COS2(6—4)—1=2x5—1=-25,

71K7T

又cos2(8-4)=cos(2。-2)=cos(2—28)=sin20,

23

所以sin20=-25.

7.如圖，在3X3的方格中，移動(dòng)規(guī)則如下：每行均可左右移動(dòng)，每列均可上下移動(dòng),

每次僅能對(duì)某一行或某一列進(jìn)行移動(dòng)，其他行或列不變化.

例如:

若想移動(dòng)成每行的數(shù)字相同，則最少需要移動(dòng)（）次

【答案】

B

【考點(diǎn)】

進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

【解析】

易知最易達(dá)到的效果是第一行2,第二行1,第三行3,則需上下移動(dòng)第三行，左右移動(dòng)

第二行.

【解答】

易知最易達(dá)到的效果是第一行2,第二行1,第三行3,則需上下移動(dòng)第三行，左右移動(dòng)

第二行.

2212耳3

213211

331331

故變換過程為第三列上移1第二行左移1

試卷第4頁，總25頁

2232耳2

112111

331333

第三列上移1

8.將函數(shù)f(x)=sin2x-l的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則

函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

717171兀

A.[-3+kn.3+kjf](kEZ)B.[4+kn,2+km(k6Z)

兀71715兀

C.[-44+/C7r](/cGZ)D.[-12+fczr,12+kn](kGZ)

【答案】

D

【考點(diǎn)】

函數(shù)y=Asin(3X+巾)的圖象變換

【解析】

由題意利用函數(shù)y=Asin(3%+s)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性性，得出結(jié)論.

【解答】

71.

將函數(shù)f(x)=sin2x-l的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=sin2(x-6)

一1的圖象，

KK兀兀5兀

號(hào)2kli—2<2%—3<2/CTT+2,求得/C7T—12工工工左兀+12

兀5兀

可得函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為卜12+k7t,12+kn](keZ),

9.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作圓(x-

§)2+y2=?的切線，切點(diǎn)分別為4B.若|48|=舊，則p的值為()

A.lB.V3C.2D.3

【答案】

C

【考點(diǎn)】

圓與圓錐曲線的綜合問題

【解析】

連接凡4,通過F是圓(x-§2+y2=9的圓心，結(jié)合圖形，F(xiàn)41K4,通過求解△4KB

是等邊三角形，推出結(jié)果.

【解答】

2

連接凡4,因?yàn)镕就是圓Q*)2+y2=9的圓心，

所以凡41KA,S.\FA\=f.

又|KF|=p,所以乙4KF=30°,那么乙4KB=60°,

所以MKB是等邊三角形，所以|明=|力K|=去.

又|AB|=痘,所以p=(2)

1,%>0

10.已知符號(hào)函數(shù)sgnx=0,%=0，偶函數(shù)/(x)滿足+2)=7(%),當(dāng)％E[0,1]

.-1,%V0

時(shí)，f(x)=x,則()

A.sgn"(%))>0B.f(等)=1

C.sgn(/(2k))=0(keZ)D.sgn(/(/c))~\sgnk\^kGZ)

【答案】

C

【考點(diǎn)】

函數(shù)的周期性

【解析】

本題先根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性畫出函數(shù)f(x)的圖象，再根據(jù)符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)，以

及函數(shù)的周期性，利用數(shù)形結(jié)合法可對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷，可得正確選項(xiàng).

【解答】

很明顯，當(dāng)x=2k,keZ時(shí)，f(x)=0,sgn(/(%))=0,選項(xiàng)C正確(1)/造手)=

/(2X1010+|)=/(|)=|,故選項(xiàng)B不正確(2)當(dāng)k=2時(shí)，sgn(f(2))=sgn(0)=

0,\sgn2\=l,故選項(xiàng)。不正確

故選：C.

11.如圖，在正四棱柱ABC。一4E,F分別為4B,BC的

中點(diǎn)，異面直線A/與GF所成角的余弦值為團(tuán)，則()

試卷第6頁，總25頁

在

m=-z-

A.直線&E與直線Ci尸異面，且3

B.直線&E與直線C#共面，且3

mV3

C.直線&E與直線Cl尸異面，且3

V5

m^-z-

D.直線力iE與直線GF共面，且3

【答案】

B

【考點(diǎn)】

異面直線及其所成的角

【解析】

連結(jié)EF,41的，JD,DF,推導(dǎo)出EF〃/UG，從而直線&E與直線C/共面，由題意

得ABJ/CiD,得異面直線與6尸所成角為4DC】F,由此能推導(dǎo)出直線4E與直線

V2

QF共面，且O.

【解答】

連結(jié)EF,4iQ,C、D,DF,

E,F分別為ZB,BC的中點(diǎn)，，EF〃A4，

：.直線4E與直線口尸共面，

由題意得4BJ/QD,二異面直線4Bi與GF所成角為NDGF,

設(shè)4a=料，則48=&AA1=2,則DF=VKC]D-加,

由余弦定理得異面直線AB1與Ci尸所成角的余弦值：

3+6-5^/2

m=cosz.DC1F—2X73><V6=—

V2

m=-7-

綜上：直線&E與直線GF共面，且3.

12.已知函數(shù)/'(x)=%2-alnx-a(a<2),若對(duì)于x2G[1,2],%xx2>都有

|f(Xj)-f(X2)I

IX1-x2I>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(—oo,2)B.(—°°>2］C.(—oo,1)D.(—oo,1］

【答案】

D

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

【解析】

分析可知,/1(x)在口,2］上為增函數(shù)，不妨設(shè)Xj>x2,則/Oi)-axi>/(x2)~。小，

構(gòu)造函數(shù)九(x)=f(x)-ax="-ainx-ax-a,則函數(shù)h(x)在［1,2］上為增函數(shù)，再

利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】

/(x)=x2—alnx-a(a<2),則((x)=2x-X=X>0,

/(x)在［1,2］上為增函數(shù)，

不妨設(shè)%1>犯，由函數(shù)/(久)的單調(diào)性可知,/(X1)>/(x2).

|f(x^-f(X2)I

則?>1X2?>a等價(jià)于/■(/)一axr>/(第2)-

設(shè)九(x)=/(x)—ax=x2—alnx—ax—a,

則函數(shù)九(%)在口2］上為增函數(shù)，

a

即九'(x)=2x—X-a>0在［L2］上恒成立,

化簡(jiǎn)得aWX+l,xG［1,2］,

2M-2t+l)1_

設(shè)t=x+1,則a<t—2(t+t—2),t6［2,3］,

工

m(t)=2(t+t-2)在［2,3］上單調(diào)遞增，

2

m(t)min=m(2)=2x(2+2-2)=1,

a<1.

二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

已知向量a,b滿足a=(2,3),2a-3b=(i,9),則a?b的值為

試卷第8頁，總25頁

【答案】

-1

【考點(diǎn)】

平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【解析】

—?

由平面向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可先求出b的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即

可得解.

【解答】

—?—?—?

因?yàn)閍=(2,3),2a—3b=(1,9),

所以3b=2(2,3)-(1,9)=(3,-3),

所以b=(i,—i),

—?—?

所以a■b=2x1+3x(—i)——1.

(x-y+2^0

\x+y-3=C0

已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組1丫＞1，則目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值為

【答案】

0

【考點(diǎn)】

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把

最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【解答】

由約束條件作出可行域如圖，

由z=x-2y,得y=22,由圖可知，當(dāng)直線y=22過4時(shí),

直線在曠軸上的截距最小，z有最大值為2-1x2=0.

(x+3)(2x-》5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2,則該展開式中蠟的系數(shù)為

【答案】

-48

【考點(diǎn)】

二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念

【解析】

由題意令x=l,則(l+l)x(2-a)5=2,解得a=l.再利用通項(xiàng)公式即可得出

【解答】

由題意令％=1,則(1+1)X(2-。)5=2,解得Q=l.

?1?(x+》(2X_*5即Q+3(2X一'5；

(2%_35的通項(xiàng)公式為：4+1=禺(2%)5-(一1)『25-?545-2'

分別令5-2r=3,5-2r=5,解得r=l,0.

則展開式中無4的系數(shù)是：(—I)】x2Msi+(-l)025C=°=-48.

S

-2

在△力BC中，記角4,B,c所對(duì)的邊分別是a,b,c,面積為s,則a"+2bc的最

大值為.

【答案】

返

12

【考點(diǎn)】

余弦定理

【解析】

上一1

xsinA

a22bc

由己知可得+COsA_2,令sin4=y,cos4=x,可得

S

a^+2bc

S

a2+2bc

且僅當(dāng)4=30°,b=c,取得最大值.

【解答】

1.人

■z-bcsinA[

sinA

-------------------=—X

Sb2+c2-2bccosA+2bc?

-2b+：+2-2cosA

因?yàn)閍+2bc=cb

試卷第10頁，總25頁

<JLx^inA

4cosA-2,（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取得等號(hào)），

令sin4=y,cos/l=x,

---------/1y

故a+2bc4x-2,

因?yàn)椋?+y2=],且y>（）,

故可得點(diǎn)（X,y）表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點(diǎn)，如下圖所示:

y

Z=~

目標(biāo)函數(shù)X-2,表示圓弧上一點(diǎn)到點(diǎn)4（2,0）點(diǎn)的斜率，

嗎,李）

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)22,即4=30。時(shí)，取得最小值

3；

,0)

故可得

5e二

又a2+2bc4

S返

29,43X

故可得a+2bc412,當(dāng)且僅當(dāng)4=30。，b—c,取得最大

值.

三、解答題（本大題共5小題，滿分60分.解答須寫出文字說明，證明過程或演算步

驟.）

已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和是%，且為=2%一2,等差數(shù)列｛%｝中，&=20,b3=16.

（1）求數(shù)列｛aj和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)定義：a*b=記％=冊(cè)*%，求數(shù)列｛〃｝的前1。項(xiàng)的和

【答案】

對(duì)于數(shù)列｛an｝,當(dāng)n=l時(shí),由%=2即—2得a1=2；

當(dāng)nN2時(shí)，由%=2冊(cè)-2,Sn_i=2an_i-2兩式相減整理得0n=2即-1，

所以數(shù)列｛即｝是首項(xiàng)為2,公比也為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式冊(cè)=2n.

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，則小一瓦=16-20=4=2d,解得d=-2,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式垢=22-2n.

n

綜合以上知：an=2,bn=22-2n；

由⑴知：。=即*%=『獸；=｛222n’2；及4，

10rp71占4-\LL—LTl,TiN4

所以A。=%+a2+a3+b4+b5+b6+...+b10=寫手+,儂；、?=當(dāng)苧

管2=2、2+56=70.

【考點(diǎn)】

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)列的求和

【解析】

(1)對(duì)于數(shù)列｛即｝：當(dāng)n=l時(shí)，由題設(shè)條件求出由,再由當(dāng)nN2時(shí)，由%=2斯一2,

5._1=2￡171-1-2兩式相減整理得％=2冊(cè)-1，進(jìn)而說明數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為2,公比也為

2的等比數(shù)列，從而求得斯；對(duì)于數(shù)列｛%｝：先設(shè)出等差數(shù)列｛匕｝的公差d,再由題設(shè)

條件求出d,即可求得必.

(2)先由(1)求得cn,再求出Ao即可.

【解答】

對(duì)于數(shù)列｛斯｝,當(dāng)n=l時(shí)，由&=26-2得。1=2；

當(dāng)nN2時(shí)，由又=25一2,Sn_i=2an_i-2兩式相減整理得an=2an_i，

所以數(shù)列｛即｝是首項(xiàng)為2,公比也為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)歹IJ｛斯｝的通項(xiàng)公式an=2".

設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d,則星-瓦=16-20=4=2d,解得d=-2,

所以數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式%=22-2n.

n

綜合以上知：an—2,bn=22-2n；

由(1)知:“=即*%=臚：鼠=(222n，2nn>41

幾三勺vZZ—ZH,HN4

所以心0=。1++。3+瓦+為+壇+…+瓦0=酬子+駕/應(yīng)=當(dāng)了+

L-QZ1-z

=24-2+56=70.

“I2S

醫(yī)學(xué)中判斷男生的體重是否超標(biāo)有一種簡(jiǎn)易方法，就是用一個(gè)人身高的厘米數(shù)減去

105所得差值即為該人的標(biāo)準(zhǔn)體重.比如身高175sn的人，其標(biāo)準(zhǔn)體重為175-105=

70公斤，一個(gè)人實(shí)際體重超過了標(biāo)準(zhǔn)體重，我們就說該人體重超標(biāo)了.已知某班共有

30名男生，從這30名男生中隨機(jī)選取6名，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：

編號(hào)123456

身高(cm)比165171160173178167

體重(kg)y606362707158

試卷第12頁，總25頁

(1)從這6人中任選2人，求恰有1人體重超標(biāo)的概率;

(2)依據(jù)上述表格信息，用最小二乘法求出了體重y對(duì)身高支的線性回歸方程：7=

0.65X+a,但在用回歸方程預(yù)報(bào)其他同學(xué)的體重時(shí)，預(yù)報(bào)值與實(shí)際值吻合不好，需要

對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析，按經(jīng)驗(yàn)，對(duì)殘差在區(qū)間［-3.5,3.5］之外的同學(xué)要重新采集數(shù)

據(jù).問上述隨機(jī)抽取的編號(hào)為3,4,5,6的四人中，有哪幾位同學(xué)要重新采集數(shù)據(jù)？

參考公式：殘差

【答案】

由圖表可知，編號(hào)1的標(biāo)準(zhǔn)體重為165-105=60,

編號(hào)2的標(biāo)準(zhǔn)體重為171-105=66,

編號(hào)3的標(biāo)準(zhǔn)體重為160-105=55,

編號(hào)4的標(biāo)準(zhǔn)體重為173-105=68,

編號(hào)5的標(biāo)準(zhǔn)體重為178-105=73,

編號(hào)6的標(biāo)準(zhǔn)體重為167-105=62.

「2=15

故編號(hào)3,4兩人體重超標(biāo)，故從6人中任取兩人有6一種取法，恰有一人體重超

標(biāo)共有C2c4=8種情況，

8

故P=15；

x=6(165+171+160+173+178+167)=169,

_2

丫=6(60+63+62+70+71+58)=64,

A4

回歸方程必過樣本中心(169,64),64=0.65x169+a,解得方=一45.85,

則￥=0.65%-45.85,

殘差分析：

63=62-0.65X160+45.85=3.85,

._

巳4=70—0.65X173+45.85=3.4,

e

5=71-0.65x178+45.85=1.15,

66=58-0.65x167+45.85=-4.7.

故3號(hào)和6號(hào)需要重新采集數(shù)據(jù).

【考點(diǎn)】

求解線性回歸方程

【解析】

（1）求出6人中體重超標(biāo)的人數(shù)，再由古典概型概率計(jì)算公式求解即可;

（2）先根據(jù)回歸方程必過樣本中心求出a=-45.85,再依次把預(yù)報(bào)值求出來，從而求

出殘差，進(jìn)而判斷出哪些同學(xué)要重新采集數(shù)據(jù).

【解答】

由圖表可知，編號(hào)1的標(biāo)準(zhǔn)體重為165-105=60,

編號(hào)-2的標(biāo)準(zhǔn)體重為171-105=66,

編號(hào)3的標(biāo)準(zhǔn)體重為160-105=55,

編號(hào)4的標(biāo)準(zhǔn)體重為173-105=68,

編號(hào)5的標(biāo)準(zhǔn)體重為178-105=73,

編號(hào)6的標(biāo)準(zhǔn)體重為167-105=62.

2

C

6=15

故編號(hào)3,4兩人體重超標(biāo)，故從6人中任取兩人有種取法，恰有一人體重超

「1「1=又

標(biāo)共有2^4。種情況，

8

故「=15；

X=6(165+171+160+173+178+167)=169,

_2

丫=6(60+63+62+70+71+58)=64,

A■

回歸方程必過樣本中心(169,64),64=0.65x169+a,解得a=—45.85,

A

則丫=0.65%-45.85,

殘差分析：

._

63=62-0.65X160+45.85=3.85,

巳4=70—0.65X173+45.85=3.4,

—

e5=71-0.65x178+45.85=1.15,

試卷第14頁，總25頁

66=58-0.65x167+45.85=-4.7.

故3號(hào)和6號(hào)需要重新采集數(shù)據(jù).

71

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1,BC=2,Z.ACB=6,四邊形4BEF為直角梯

K

形，BE//AF,4BAF=2,BE=2,AF=3,平面ABC。_L平面力BEF.

(1)求證：AC1平面ABEF；

(2)求平面ABC。與平面DEF所成銳二面角的余弦值.

【答案】

證明：在A/IBC中，因?yàn)?B=1,BC=2,4ACB=6,

由余弦定理可得力B2=BC2+AC2-2BC-AC?cos^ACB,

1=4+AC2-2X2?AC乎

即2,解得"一寸3,

所以AC?+AB2=BC2,即4CJ.4B,

又因?yàn)槠矫鍭BCO_L平面力BEF,且平面4BCEn平面4BEF=4B,4Cu平面4BC0,

所以AC，平面ABEF；

由平面4BCC1平面ABEF,平面4BCEn平面4BEF=AB,

乙BAF=2,AFu平面4BEF,所以4F1平面4BCD,

由(1)可知AF_L平面4BCC,

故建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則

A(O,0,0),B(l,0,0),C(0,0,aD(-l,0,0E(l,2,0),F(0,3,0；,

所以布=(2,2,-V3),DF=(1,3,-Vs),

設(shè)平面DE尸的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)；則有

n?DE=2x+2y~V3z=0

<

n?DF=x+3y-yz=0,

取z=4,貝產(chǎn)=丫=JI可得n=（愿，?4）,

又AF=（。，3,0）是平面4BCO的一個(gè)法向量，

IccuV_*I-ln?AF|_

"的"詞商一國(guó)市乂3一22

所以平面ABCD與平面DEF所成銳二面角的余弦值為22.

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直

二面角的平面角及求法

【解析】

（1）在△ABC中，利用余弦定理求出AC,然后由勾股定理可得AC1AB,結(jié)合面面垂

直的性質(zhì)定理證明即可；

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得4F1平面4BCD,又4尸1平面4BCC,建立合適的

空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量，利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，然

后利用向量的夾角公式求解即可.

【解答】

71

證明：在△ABC中，因?yàn)?B=1,BC=2,Z.ACB=6,

由余弦定理可得4B2=BC2+AC2_2BC.AC.cos乙4CB,

?噂

]=4+Ac2-2X2?ACAr,/7

即2,解得A。-V3

所以心+4B2=BC2,^ACLAB,

又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面力BEF,且平面ABCEn平面ABE尸=4B,4Cu平面力BCD,

所以4c_L平面ABEF；

由平面ABC。1平面ABEF,平面4BCEn平面4BEF=AB,

兀

NB4F=2,AFu平面ABEF,所以4F1平面4BCD,

由⑴可知”_L平面4BCC,

試卷第16頁，總25頁

故建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則

A(O,0,0),B(l,0,0),C(0,0,V3).D(-l,0,“)，E(l,2,0),F(0,3,0：,

所以布=(2,2,-V3),DF=(1,3,-V3),

設(shè)平面。EF的一個(gè)法向量為n=(x‘y,z),則有

n*DE=2x+2y-V3z=0

n?DF=x+3y-V3z=0,

取z=4,貝產(chǎn)/=正可得n=4),

又AF=(。，3,0)是平面AB。。的一個(gè)法向量，

IccuV一部》I-In?AF|______3a

所以I"'的?￡||而「他+3+16X3F,

所以平面4BCD與平面DEF所成銳二面角的余弦值為22.

Cr：—x+,y2=11

經(jīng)過橢圓/左焦點(diǎn)Fi的直線，與圓

「2：(x1)+y-r(r>2)相交于p,0兩點(diǎn)，”是線段與c的公共

點(diǎn),且|MFi|=|MP「

(1)求r；

(2)/與C的交點(diǎn)為A,B,且4恰為線段PQ的中點(diǎn)，求AABF2的面積.

【答案】

3.2+了2二］

由,2得長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2&,半焦距c=i,

因?yàn)辄c(diǎn)M在c上，所以1叫|+IMF?1-2a-2&,

因?yàn)閨MF1|=|MP|,所以

r=|PF2|=|MP|+|MF2|=|MF1|+|MF2|=2A/2.

設(shè)4(x1,yi),8(g,%)，4為線段PQ的中點(diǎn)，則4&1AF2，

AFAF

由尸式一1,0),尸2(1,0),1=(-1-%1，-%)，2=(1-x1,=y1),

2

■‘?o2x1-L21

所以AF|?AF2=4+y，l=0,/r+y「l

解得％1=0,%=1或-1,

若為=1,則力(0,1),直線E的方程為y=x+1,

聯(lián)立y=x+l和橢圓方程/+2y2=2,可得33,

所以A班的面積s+lFF2l?|yL2號(hào)X2X^4

若以=-1,同理可求得△ABF?的面積3.

三

綜上，△ABF2的面積為3.

【考點(diǎn)】

圓與圓錐曲線的綜合問題

【解析】

(1)求得橢圓的2a,c,運(yùn)用橢圓的定義，結(jié)合圓的定義，可得圓的半徑r；

(2)設(shè)4Q1，yi),B(x2,y2),運(yùn)用圓的性質(zhì)，結(jié)合向量垂直的條件，結(jié)合橢圓方程，

求得A的坐標(biāo)，可得直線/的方程，聯(lián)立橢圓方程，可得B的坐標(biāo)，再由三角形的面積公

式，計(jì)算可得所求值.

【解答】

由,2得長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2&,半焦距c=i,

因?yàn)辄c(diǎn)M在c上，所以1叫|+|MF2k2a=2近，

試卷第18頁，總25頁

因?yàn)閨M&|=|MP|,所以

r=|PF2|=|MP|+|MF2|=|MF1|+|MF2|=272；

設(shè)丫2)，4為線段PQ的中點(diǎn)，則/&，4尸2，

AFAH

由F1(-1,0),尸2(L。)，1=(一1一%，一%)，2=(i-％i,=yi),

2

■‘?o2X],21

所以AF]?AF2=x*i-l=0,又三+￥廣1

解得%1=0,%=1或一1,

若為=1,則4(0,1),直線[的方程為y=%+1,

B(4，

聯(lián)立y=x+l和橢圓方程/+2y2=2,可得33,

所以△的2的面積S,“2I?M飛I卷乂2X點(diǎn)等

若什％=—1,同理可求、,得△ABF2的面積3.

_4

綜上，的面積為3.

blnx

已知函數(shù)/'(%)=/—ax+X(a,be/?).

(1)若a>b>0,證明f(a)>f(b)；

(2)若對(duì)任意x6(0,+8),be(-e,0),都有f(x)>-e,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】

要證f(a)>f(b),

blna

需證軟>h2—aZ?+Inb,

in^>b-a4nb

即證ab,

Inalnb

b+~b~

即證Q+a>

lnx

設(shè)g(x)=x+X,需證g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

2

lTnx_x+lTnx

2-=2

g'(%)=l+XX,設(shè)九(%)=%2+i-Mx,

1二2*2-1返

則/i'(%)=2%-XX,令〃(%)=0,得％=2,

返

當(dāng)工€(0,2)時(shí)，h!(x)<0,h(%)單調(diào)遞減；

返

當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

—+ln2

2>0,即g'(x)>0在(0,+8)上恒成立,

g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故原問題得證；

2blnx2blnx

x-ax+-----+ex+-----+e

由/(x)+e=X>0,得ax<X,

blnxe

x>0,a<x+X.

blnxe

~~^x.

設(shè)尸(x)=x+X,

b(l-21nx)ex2-eb(l-21nx)

---------------------4--—-------

3223

則F'(x)=l+XXXX,

-b<o,當(dāng)％e(o,Ve)時(shí)，r(x)<o,F(X)單調(diào)遞減;

當(dāng)#6(VW，K。)時(shí)，F(xiàn)z(x)>0,F(x)單調(diào)遞增.

F(x)mm=F(VD=2爪臉

試卷第20頁，總25頁

2Ve-^

a<Ne,

又一胡b

2e對(duì)任意匕e(-e(o)都成立,

aW2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,2vH.

【考點(diǎn)】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

【解析】

(1)將有問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題，然后利用導(dǎo)數(shù)解決；

(2)分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，求得新函數(shù)的單調(diào)性及最值，進(jìn)一步求解即可得答案.

【解答】

要證/'(a)>f(b),

blna

需證a>b2-ab+Inb,

ln^>b-a4nb

即證ab,

Ina,lnb

-----b+

即證a+a>b,

lnx

設(shè)g(x)=x+X需證g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

lTnxx2+l-lnx

2

g'(x)=l+XX,設(shè)九(x)=%2+i—|n%,

12X2-1返

則”(%)=2%—X，令//(%)=o,得％=2,

返

當(dāng)工G(0,2)時(shí)，hf(x)<0,h(%)單調(diào)遞減；

返

當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

3+1n2

(-

hx)minh2>0,即g'(x)>0在(0,+8)上恒成立,

g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故原問題得證;

2blnx2blnx

x-ax+----+ex+----+e

由f(%)+e=X>0,得Q%<X

blnxe

%>0,.1.a<x+X.

blnxe

-廠底

設(shè)尸(x)=x+X,

b(l-21nx)ex2-eb(l-21nx)

-------------------I----------

3223

則F'(x)=l+XXXX

b<0,：.當(dāng)x€(0,Ve)時(shí),Ff(x)<0,F(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xG(Ve?+。°)時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增.

F（x）min=F（VD=2爪吟

又臉對(duì)任血…⑼都成立,

a〈2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,2vH.

選考題：（請(qǐng)考生在第22、23兩道題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

記分。作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑）.［選修4-4:坐標(biāo)系與

參數(shù)方程］

在直角坐標(biāo)系久Oy中，直線，1的方程為y=V5x,曲線C的參數(shù)方程為

卜=1+支8s8。是參數(shù)，owes兀）.以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極

（y=V3sin<p

坐標(biāo)系.

（1）分別寫出直線k與曲線C的極坐標(biāo)方程;

（2）若直線L2psin（0+"+3^=0,直線匕與曲線C的交點(diǎn)為A,直線。與A的交

點(diǎn)為B,求|4B|.

【答案】

解：（1）直線匕的方程為y=V^c,

可得：tan?=-=V3,

X

試卷第22頁，總25頁

直線，1的極坐標(biāo)方程為p=］.

曲線C的普通方程為(x—1)2+y2=