專題十一概率與統(tǒng)計(jì)第三十四講古典概型與幾何概型十年高考數(shù)學(xué)理科真題題型分類匯編

專題十一概率與統(tǒng)計(jì)第三十四講古典概型與幾何概型2019年（2019全國(guó)I理6）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“一一”和陰爻“——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是5

A.—

16115

A.—

161121C.—32D.1116（2019江蘇6）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是 .（2019全國(guó)I理15）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主〃.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是.（2019全國(guó)II理18）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件"X=4且甲獲勝〃的概率.2010-2018年一、選擇題（2018全國(guó)卷I）如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.ABC

的三邊所圍成的區(qū)域記為i,黑色部分記為n,其余部分記為m.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自i,n,m的概率分別記為“2，p3,則D.p1=p2+p3A.P1=p2 B.P1=p3D.p1=p2+p3（2018全國(guó)卷n）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A.1121

B.A.1121

B.—

141

C.—

15D．118（2017新課標(biāo)I）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是D．（2017山東）從分別標(biāo)有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是A．518BA．518B．C．D．55.（2016年全國(guó)I）某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是6.（2016年全國(guó)II）6.（2016年全國(guó)II）從區(qū)間［0,1］隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)、,%2,…，yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)“,乂），（%2,y2），…，（%n,yn），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率冗的近似值為,4n

A.,4n

A.—mB.也mC.4mnD,也n7.5A—7.5A—2110B.—2111C.—21D.1（2015廣東）袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球.從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為8.（2014新課標(biāo)1）48.日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為35B.C.—8 89.（2014江西）9.（2014江西）1A—18擲兩顆均勻的骰子，1B.9則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于（）1D.—1210.（201410.（2014湖南）在區(qū)間［-2,3］上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X<1的概率為（）21C D一5 511.（2014遼寧）若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB=2,BC=1BC=1則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是（ ）（2014陜西）從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為（ ）12 3 4A.5B5C.5D.5

Ix+y<1確定的平面區(qū)域記為。］，不等式| 、寸1Ix+y<1確定的平面區(qū)域記為。］，不等式| 、寸1 Ix+y>-2y-x—2<0確定的平面區(qū)域記為。，在。中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在。內(nèi)的概率為（ ）14.（2013陜西）如圖在矩形區(qū)域ABCD的14.（2013陜西）如圖覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域圓網(wǎng)該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號(hào)來源，基站工作正常）.若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無信號(hào)的概率是*BBA1A13d.715.（15.（2013安徽）若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄3C.516.（2013新課標(biāo)1）從1,2,3,43C.516.（2013新課標(biāo)1）從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是（1A-21D.617.（2013湖南）已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使"PB的最大邊是1AB”發(fā)生的概率為5AD則一AB用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為9

D.—

10B.18.（2012遼寧）在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C,現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為A.B.19.（2012北京）CtA.B.19.（2012北京）CtC.D.bB設(shè)不等式組42表示的平面區(qū)域?yàn)椤?在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（ ）A.兀一A.兀一2B. 兀C.一64一兀D. （2011新課標(biāo)）有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為（）A.B.A.B.C.D.、填空題（2018江蘇）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為—.（2018上海）有編號(hào)互不相同的五個(gè)祛碼，其中5克、3克、1克祛碼各一個(gè)，2克祛碼兩個(gè)，從中隨機(jī)選取三個(gè)，則這三個(gè)祛碼的總質(zhì)量為9克的概率是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）（2017江蘇）記函數(shù)f（x）=\；6+x一x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間［一4,5］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則xeD的概率是_.（2016年山東）在［-1,1］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓（x-5）2+y2=9相交”發(fā)生的概率為 .（2015江蘇）袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為 .（2014新課標(biāo)）將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為.（2014重慶）某校早上8：00上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30-7:50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)間到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為（用數(shù)字作答）TOC\o"1-5"\h\z（2014新課標(biāo)2）甲、已兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為 .（2014浙江）在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張，另1張無獎(jiǎng)，甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎(jiǎng)的概率是 ;（2013山東）在區(qū)間［-3,3］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，使得|x+1|一|x—2|21成立的概率為—.（2013福建）利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0?1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為.（2013新課標(biāo)）從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是 .（2013湖北）在區(qū)間［-2,4］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足IxI<m的概率為5，則6m=t（2012江蘇）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是—.（2012浙江）從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中，隨機(jī)（等可能）取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)間的距離為-5-的概率是 。（2011湖南）已知圓C:x2+y2=12,直線l:4x+3y=25.（1）圓C的圓心到直線l的距離為.（2）圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為.（2011江蘇）從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)的兩倍的概率為三、解答題（2016年全國(guó)II）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)0123425保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)0123425概率0.300.150.200.200.100.05(I)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;(II)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；(III)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.(2015安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)果.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).(2014山東)海關(guān)對(duì)同時(shí)從A,B,C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如右表所示工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).地區(qū)ABC數(shù)量50150100(I)求這6件樣品中來自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量；(II)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.(2014天津)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z，其年級(jí)情況如下表：一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同)(I)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果(II)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率.(2013遼寧)現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.試求：（I）所取的2道題都是甲類題的概率；（II）所取的2道題不是同一類題的概率.（2013湖南）某人在如圖4所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米。（I）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好湘近”的概率;（II）從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望。（2012新課標(biāo)）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售。如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理。（I）若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，nN）的函數(shù)解析式。（II）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310⑴假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花，求這100天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)；（ii）若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率.（2012山東）袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1，2.（I）從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；（II）現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率.（2011陜西）如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：時(shí)間（分鐘）10~2020~3030~4040~5050~60L的頻率0.10.20.30.20