高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)選修41圓進(jìn)一步認(rèn)識教案新人教A版

2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)選修4-1圓的進(jìn)一步認(rèn)識教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版考情剖析考點(diǎn)新知①理解圓的切線的判斷定理和性質(zhì)定理，圓周角定理，弦切角定理，訂交弦定理，割線掌握圓的切線的判斷定理和性質(zhì)定理，弦切定理，切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判斷定角定理割線定理，切割線定理和圓內(nèi)接四邊理與性質(zhì)定理.形的判斷定理與性質(zhì)定理，能用這些定理解②能應(yīng)用圓的切線的判斷定理和性質(zhì)定理，決相關(guān)圓的問題．圓周角定理，弦切角定理，訂交弦定理，割.線定理，切割線定理和圓內(nèi)接四邊形的判斷定理與性質(zhì)定理解決與圓相關(guān)的問題如圖，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延伸線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，求PC和CD的長．2解：由切割線定理得PC＝PB·PA＝12，∴PC＝23，連接OC，1則OC＝2OP，∠P＝30°，1CD＝2PC＝3.如圖，AC為圓O的直徑，弦BD⊥AC于點(diǎn)P，PC＝2，PA＝8，求tan∠ACD的值．解：由訂交弦定理和垂徑定理得BP2＝PC·PA＝16，BP＝4.∵AP8∠ACD＝∠ABP，∴tan∠ACD＝tan∠ABP＝BP＝4＝2.如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝45°，求圓O的面積．解：(解法1)連接OA、OB，則∠AOB＝90°.AB＝4，OA＝OB，∴OA＝22，則S圓＝π×(22)2＝8π.42(解法2)2R＝sin45°＝42R＝22，則S圓＝π×(22)8π.如圖，點(diǎn)B在圓O上，M為直徑AC上一點(diǎn)，BM的延伸線交圓

O于N，∠BNA＝45°，若圓

O的半徑為23，OA＝3OM，求MN的長．解：∵∴BM＝4.∵

∠BNA＝45°，∴BM·MN＝CM·MA＝

∠BOA＝90°.(23＋2)(2

∵OM＝2，BO＝23，3－2)＝8，∴MN＝2.如圖，已知P是圓O外一點(diǎn)，PD為圓O的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過圓心O，若PF＝12，PD＝43，求圓O的半徑長和∠EFD的大?。?16×32PD解：由切割線定理，得PD＝PE·PFPE＝PF＝12＝41EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝2PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∴∠PDE＝∠EFD＝30°.圓周角定理圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對弧度數(shù)的一半．推論1：同弧(或等弧)上的圓周角相等．同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．半圓(或直徑)上的圓周角等于90°.反之，90°的圓周角所對的弦為直徑．圓的切線圓的切線的性質(zhì)與判斷①切線的定義：當(dāng)直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓訂交；當(dāng)直線與圓有且只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)直線是圓的切線，公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)；當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相離．②切線的判斷定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．③切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．④切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長相等．弦切角①弦切角的定義：極點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓訂交的角稱為弦切角．②弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半．③推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．訂交弦定理訂交弦定理：圓的兩條訂交弦，被交點(diǎn)分紅的兩段的積相等．切割線定理割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等．切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線與一條切線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段的等比中項(xiàng)．圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)．圓內(nèi)接四邊形判斷定理：假如四邊形的對角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓．[備課札記]題型1探究角的關(guān)系例1如圖，AB是圓O的直徑，弦BD、CA的延伸線訂交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延伸線于點(diǎn)F.求證：∠DEA＝∠DFA.證明：連接AD，由于AB為圓的直徑，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四點(diǎn)共圓．所以∠DEA＝∠DFA.備選變式（教師專享）(2011·南通三模)如圖，圓O的直徑AB的延伸線與弦CD的延伸線訂交于點(diǎn)P，E為圓O上一點(diǎn)，AE＝AC，求證：∠PDE＝∠POC.證明：由于AE＝AC，AB為直徑，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC＋∠OAE＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.題型2求線段長度例2如下圖，圓O的兩弦AB和CD交于點(diǎn)E，EF∥CB，EF交AD的延伸線于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓O于點(diǎn)G.求證：△DEF∽△EFA；假如FG＝1，求EF的長．證明：由于EF∥CB，所以∠BCE＝∠FED.又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FED.又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFA.EFFD解：由(1)得FA＝EF，即EF2＝FA·FD.由于FG是切線，所2以FG＝FD·FA，所以EF＝FG＝1.變式訓(xùn)練如圖，圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB＝AC，延伸BC到點(diǎn)D，使CD＝AC，連接AD交圓O于點(diǎn)E，連接BE與AC交于點(diǎn)F.判斷BE能否均分∠ABC，并說明原因；若AE＝6，BE＝8，求EF的長．解：(1)BE均分∠ABC.CD＝AC，∴∠D＝∠CAD.AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∠EBC＝∠CAD，∴∠EBC＝∠D＝∠CAD.∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB＝∠D＋∠CAD，∴∠ABE＝∠EBC，即BE均分∠ABC.由(1)知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE.∵∠AFE＝∠ABE，AEEF∴△AEF∽△BEA.∴＝.BEAEAE＝6，BE＝8，AE2369EF＝BE＝8＝2.題型3證明線段相等例3如圖，在△ABC中，已知CM是∠ACB的均分線，△AMC1的外接圓交BC于點(diǎn)N.若AC＝2AB，求證：BN＝2AM.ACAM證明：在△ABC中，由于CM是∠ACB的角均分線，所以＝.BCBM1AB2AM又已知AC＝AB，所以＝.①2BCBM又BA與BC是圓O過同一點(diǎn)B的割線，所以BM·BA＝BN·BC，即BABN＝.②BCBM由①②可知，2AMBN＝，所以BN＝2AM.BMBM備選變式（教師專享）如圖，圓O的直徑AB＝25，C是圓O外一點(diǎn)，AC交圓O于點(diǎn)E，BC交圓O于點(diǎn)D，已知AC＝AB，BC＝4，求△ADE的周長．解：∵AB是圓O的直徑，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴AD是△ABC的中線．又BC＝4，∴BD＝DC＝2，2AD＝AB－BD＝4.45由CE·CA＝CD·CB，得CE＝5.456∴AE＝25－5＝55.由∠DEC＝∠B＝∠C，所以DE＝DC＝2.5則△ADE的周長為6＋5.題型4證明線段成比率例4如圖，在△ABC中，∠B＝90°，以AB為直徑的圓O交AC于D，過點(diǎn)D作圓O的切線交BC于E，AE交圓O于點(diǎn)F.求證：E是BC的中點(diǎn)；AD·AC＝AE·AF.證明：(1)連接BD，由于AB為圓O的直徑，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圓O于點(diǎn)B且ED切圓O于點(diǎn)D，所以EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，所以EB＝EC，即E是BC的中點(diǎn)．連接BF，明顯BF是Rt△ABE斜邊上的高，可得ABAE△ABE∽△AFB，于是有AF＝AB，即AB2＝AE·AF，同理可得AB2＝AD·AC，所以AD·AC＝AE·AF.備選變式（教師專享）如圖，PA切圓O于點(diǎn)A，割線PBC交圓O于點(diǎn)B、C，∠APC的角均分線分別與AB、AC訂交于點(diǎn)D、E，求證：AD＝AE；AD2＝DB·EC.證明：(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.由于PE是∠APC的角均分線，所以∠EPC＝∠APD.又PA是圓O的切線，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.所以AD＝AE.(2)∠PCE＝∠PAD，△PCE∽△PADEC∠CPE＝∠APDAD＝PC∠PEA＝PDB，△PAE∽△PBDAEPA.∠APE＝∠BPD＝.又PA是切線，PBCPADBPB2PAPCECAE2是割線PA＝PB·PCPB＝PA.故AD＝DB.又AD＝AE，所以AD＝DB·EC.(2013·廣東)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延伸BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的值．解：依題意易知△ABC∽△CDE，所以ABBC＝，又BC＝CD，所CDDE2以BC＝AB·DE＝12，進(jìn)而BC＝23.2.(2013·重慶)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，求DE的長．解：延伸BA交切線CD于M.由于∠C＝90°，所以AB為直徑，所以半徑為10.連接OC，則OC⊥CD，且OC∥BD.由于∠OAC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE＝60°，即BE＝OB＝10且∠M＝30°.所以O(shè)M＝2OC＝20，所以AM＝10.110＋20所以BD＝2(AM＋AB)＝2＝15，即DE＝BD－BE＝15－10＝5.(2013·江蘇)如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D、C，AC經(jīng)過圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.證明：連接OD，∵AB、BC分別與圓O相切于點(diǎn)D、C，∴∠ADO＝∠ACB＝90°.∵∠A＝∠A，Rt△ADO∽Rt△ACB.BCAC∴＝.ODADBC＝2OC＝2OD，∴AC＝2AD.(2013·新課標(biāo)Ⅰ)如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角均分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D.證明：DB＝DC；設(shè)圓的半徑為1，BC＝3，延伸CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．證明：連接DE，交BC與點(diǎn)G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.DB⊥BE，DE是直徑，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，BD＝DC，故DG是BC的中垂線，3BG＝2.設(shè)DE中點(diǎn)為O，連接BO，則∠BOG＝60°，∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，∴CF⊥BF，3∴Rt△BCF的外接圓半徑等于2.如圖，圓O與圓O′內(nèi)切于點(diǎn)T，點(diǎn)P為外圓O上隨意一點(diǎn)，PM與內(nèi)圓O′切于點(diǎn)M.求證：PM∶PT為定值．證明：設(shè)外圓半徑為R，內(nèi)圓半徑為r，作兩圓的公切線TQ.2設(shè)PT交內(nèi)圓于C，連接OP，O′C，則PM＝PC·PT，2PMPC·PTPC所以PT2＝PT2＝PT.由弦切角定理知∠POT＝2∠PTQ，∠CO′T＝2∠PTQ，則∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′，PC所以PT＝

OO′OT

＝

R－rR

PM，即PT＝

R－rR

，為定值．如圖，弦AB與CD訂交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延伸線訂交于點(diǎn)P.已知PD＝2DA＝2,求PE.解：∵BC//PE∴∠BCD＝∠PED.且在圓中∠BCD＝∠BADPEPD2∠PED＝∠BAD.△EPD∽△APEPA＝PEPE＝PA·PD＝3·2＝所以PE＝6.如圖，正三角形ABC外接圓的半徑為1，點(diǎn)M、N分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，延伸MN與△ABC的外接圓交于點(diǎn)P，求線段NP的長．x解：設(shè)正三角形ABC的邊長為x，由正弦定理，得sin60°＝2，所以x＝3.延伸PN交圓于Q，則NA·NC＝NP·NQ.設(shè)NP＝t，則t·t＋3＝3215－315－3.所以t＝，即NP＝.2244如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角均分線，DE⊥BE交AB于D，圓O是△BDE的外接圓．求證：AC是圓O的切線；假如AD＝6，AE＝62，求BC的長．證明：連OE，∵BE⊥DE，∴O點(diǎn)為BD的中點(diǎn)．∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE.∵∠OEC＝∠OEB＋∠CEB＝∠OBE＋∠CEB＝∠CEB＋∠CBE＝90°，即OE⊥AC.又E是AC與圓O的公共點(diǎn)，∴AC是圓O的切線．解：∵AE是圓的切線，∴∠AED＝∠ABE.又∠A共用，∴△ADE∽△AEB，ADAE662AE＝AB，即62＝AB，解得AB＝12，∴圓O的半徑為3.又∵OE∥BC，∴OEAO39＝，即＝，解得BC＝4.BCABBC12幾個(gè)重要定理的符號語言及圖形訂交弦定理：圓內(nèi)的兩條訂交弦，被交點(diǎn)分紅的兩條線段長的乘積相等．符號語言：∵在圓O中，弦AB、CD訂交于點(diǎn)P，PA·PB＝PC·PD.(圖①)圖形