高等數學冪級數

高等數學冪級數第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日一、函數項級數的概念設為定義在區(qū)間I上的函數項級數

.對若常數項級數收斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域;若常數項級數為定義在區(qū)間I上的函數,稱收斂,發(fā)散

,所有為其

為其發(fā)散點,

發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域.第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日為級數的和函數

,并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數項級數前n項的和,即在收斂域上,函數項級數的和是x的函數

稱它第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日例如,

函數項級數它的收斂域是它的發(fā)散域是或寫作有和函數第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日二、冪級數及其收斂性1.定義:形如的函數項級數稱為冪級數,其中下面著重討論例如,冪級數冪級數的系數

.即是此種情形.的情形,即稱為第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日幾何說明收斂發(fā)散發(fā)散2.收斂性:第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日阿貝爾(1802–1829)挪威數學家,近代數學發(fā)展的先驅者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數研究中,他得到了一些判斂準則及冪級數求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數研究開拓了道路.數學家們工作150年.類代數方程,他是橢圓函數C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現這是一類交換群,第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日正數R稱為收斂半徑(-R,R)稱為收斂區(qū)間規(guī)定收斂發(fā)散發(fā)散(－R,R)

加上收斂的端點稱為收斂域.第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日1)當≠0

時,2)當＝0

時,3)當＝∞時,證:1)若≠0,則根據比值審斂法可知:當原級數收斂;當原級數發(fā)散.即時,即時,系數模比值法（系數模根值法）第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日2)若則根據比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意

x原級數因此因此的收斂半徑為說明:據此定理因此級數的收斂半徑第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日例1

求下列冪級數的收斂域解收斂發(fā)散(2)第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日解第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日發(fā)散收斂故收斂域為(0,1]解第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日級數收斂級數發(fā)散發(fā)散發(fā)散故原級數的收斂域為解:缺項不能應用定理2可直接利用修改后的比值判別法第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日練習

求下列冪級數的收斂域第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日三、冪級數的運算第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日解:第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日例2.

求級數的和函數解:第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日解法2:第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日解法1:第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日例4.

的和函數解:第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日解:

級數的收斂半徑R＝+∞.例5.則的和函數.因此得設第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日解:第二十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日內容小結1.求冪級數收斂域的方法1)對標準型冪級數先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用修改