全國高中數(shù)學(xué)青年教師展評(píng)課向量減法運(yùn)算其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)與點(diǎn)評(píng)(天津塘沽一中)

向量減法運(yùn)算及其幾何意義一、教課內(nèi)容分析《向量減法運(yùn)算及幾何意義》是高中數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量第二單元第二節(jié)的內(nèi)容。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是交流代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)質(zhì)背景。本節(jié)課的學(xué)習(xí)是成立在學(xué)生已經(jīng)掌握了平面向量的基本看法、相等向量，共線向量的特色，以及向量加法運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)于向量減法運(yùn)算及其幾何意義進(jìn)行研究。類比實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算，經(jīng)過相反向量將向量減法運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄考臃ㄟ\(yùn)算，體現(xiàn)了加法運(yùn)算與減法運(yùn)算的內(nèi)部聯(lián)系。向量減法的學(xué)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)中減法運(yùn)算的豐富與升華，是運(yùn)算認(rèn)識(shí)的又一次質(zhì)的飛騰。依據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特色以及學(xué)生的實(shí)質(zhì)狀況，在教課過程中讓學(xué)生自己去感覺向量減法的形成過程是這節(jié)課的打破口。向量的減法運(yùn)算及其幾何意義，及向量減法與向量加法的類比作為本節(jié)課的教課要點(diǎn)。本節(jié)課的學(xué)習(xí)在發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力的同時(shí)還需要培育學(xué)生運(yùn)用向量語言和方法表述和解決實(shí)質(zhì)問題的能力。此外，向量減法運(yùn)算及幾何意義與向量加法運(yùn)算及馬上學(xué)習(xí)的“向量數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義”都有著密不行分的關(guān)系，所以本節(jié)的內(nèi)容起到了承上啟下的重要作用；而且經(jīng)過本節(jié)內(nèi)容的教課還為培育學(xué)生邏輯推理能力和浸透數(shù)形聯(lián)合、類比、轉(zhuǎn)變的數(shù)學(xué)思想方法供給了重要的素材。二、教課目的設(shè)置新課標(biāo)指出教課目的應(yīng)表現(xiàn)學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)與技術(shù)的過程也同時(shí)成為學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，形成正確價(jià)值觀的過程。新課標(biāo)要求：借助向量加法運(yùn)算及相反向量的看法，理解向量減法的運(yùn)算其幾何意義。依據(jù)新課標(biāo)的理念及本節(jié)課的教課要求，擬訂了以下教課目的：掌握相反向量的看法，經(jīng)過類比數(shù)的運(yùn)算理解向量減法的定義，并掌握作兩個(gè)向量的差向量的方法。掌握向量減法的幾何意義并領(lǐng)會(huì)向量加減法的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而浸透轉(zhuǎn)變的數(shù)學(xué)思想方法。經(jīng)過學(xué)習(xí)，感知向量擁有數(shù)形兼顧的特色，同時(shí)向量是研究圖形的重要工具，進(jìn)而深入領(lǐng)會(huì)數(shù)形聯(lián)合的思想方法。經(jīng)過學(xué)習(xí)使學(xué)生經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，提高剖析實(shí)質(zhì)問題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)企圖識(shí)。創(chuàng)造和睦的講堂氛圍，經(jīng)過獨(dú)立思慮，合作交流使學(xué)生獲取學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功體驗(yàn)，培育優(yōu)秀的學(xué)習(xí)習(xí)慣及謹(jǐn)慎的思想方式。三、學(xué)生學(xué)情剖析本節(jié)課面對(duì)的是高一年級(jí)的學(xué)生，這個(gè)年紀(jì)段的學(xué)生思想活躍，求知欲強(qiáng)，但在思想習(xí)慣上還有待教師指引。經(jīng)過以前的學(xué)習(xí)學(xué)生已經(jīng)掌握了平面向量的基本看法、相等向量，共線向量的特色，以及向量加法運(yùn)算及其幾何意義。同時(shí)對(duì)于數(shù)形聯(lián)合、類比、轉(zhuǎn)變的數(shù)學(xué)思想方法也有了初步的認(rèn)識(shí)。為了更好的實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教課目的，需要學(xué)生從原有的知識(shí)和能力出發(fā)進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)向量加減法的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而深入感覺轉(zhuǎn)變、類比的數(shù)學(xué)思想方法。讓學(xué)生充分感覺向量減法法例的研究方法和生成過程，進(jìn)而深入領(lǐng)會(huì)數(shù)形聯(lián)合的思想方法。從數(shù)形聯(lián)合、類比、轉(zhuǎn)變的數(shù)學(xué)思想方法的初步具備到本節(jié)課的深入增強(qiáng)，從向量基本看法、加法運(yùn)算及其幾何意義的知識(shí)貯備到加減法及幾何意義的內(nèi)在聯(lián)系，可經(jīng)過實(shí)質(zhì)教課中踴躍的雙邊活動(dòng)讓學(xué)生自主追求解決問題的門路。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱忱，提高講堂效率，使知識(shí)獲取螺旋式的穩(wěn)固與提高。而對(duì)于增強(qiáng)學(xué)生自己對(duì)于數(shù)學(xué)的應(yīng)企圖識(shí)及實(shí)質(zhì)問題的剖析能力方面，還有待于教師的指導(dǎo)幫助。依據(jù)本節(jié)課的教課內(nèi)容及學(xué)生的實(shí)質(zhì)狀況，我將本節(jié)課的教課難點(diǎn)擬訂為：對(duì)向量減法幾何意義的深入理解，向量減法運(yùn)算的實(shí)質(zhì)應(yīng)用。學(xué)生依據(jù)教師供給的情境，采納察看、剖析、抽象、歸納等方式研究知識(shí)，歸納知識(shí)。經(jīng)過創(chuàng)建情境疑問，指引學(xué)生展開獨(dú)立思慮、主動(dòng)研究、合作交流，研究解決問題的方法。鼓舞學(xué)生創(chuàng)新思慮，增強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐，培育學(xué)生的理性思想，同時(shí)著重培育學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。四、教課策略剖析按照教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位相一致的教課原則，本節(jié)課我采納指引起現(xiàn)式的教課方法并充分利用多媒體協(xié)助教課，達(dá)到提高教課成效和教課質(zhì)量的目的。從教與學(xué)的實(shí)質(zhì)狀況出發(fā)在教課過程中深入發(fā)掘課本資源，經(jīng)過“假如沒有運(yùn)算，向量不過一個(gè)’路標(biāo)’，由于有了運(yùn)算，向量的力量無窮?！敝厣晗蛄窟\(yùn)算的重要性，類比實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算提出能否存在向量減法運(yùn)算的疑問，調(diào)換學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教課的核心內(nèi)容為向量減法的作圖方法及幾何意義，向量加減法在幾何問題中的應(yīng)用，課后思慮題表現(xiàn)了向量減法在實(shí)質(zhì)生活中的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了講堂知識(shí)在課外的延長。整節(jié)課教課資料的選擇安排切合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)思想的參加度，幫助學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)思慮。依據(jù)本課特色及學(xué)生狀況，教課中教師經(jīng)過創(chuàng)建情境，設(shè)置問題，啟迪學(xué)生經(jīng)過主動(dòng)察看、主動(dòng)思慮、自主研究、合作交流，實(shí)現(xiàn)動(dòng)眼、著手、動(dòng)腦操作來達(dá)到對(duì)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和接受。環(huán)繞本節(jié)課的教課要點(diǎn)，教課過程中以問題為驅(qū)動(dòng)，逐層遞進(jìn)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的研究由表及里，逐漸深入。經(jīng)過思慮題，以“問題串”形式組織教課，經(jīng)過研究，指引學(xué)生思慮、歸納、總結(jié)。例題、練習(xí)、變式題的設(shè)置從淺入深，課后作業(yè)分層部署，設(shè)置為穩(wěn)固型、思想拓展型兩個(gè)階段，為不一樣認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生供給相應(yīng)的學(xué)習(xí)時(shí)機(jī)。在教課過程中，反應(yīng)應(yīng)表此刻學(xué)生對(duì)于講堂所學(xué)知識(shí)的反應(yīng)，同時(shí)也表此刻教師對(duì)于學(xué)生解題過程中的診療性評(píng)論。例題的自主達(dá)成要給學(xué)生足夠的時(shí)間，經(jīng)過學(xué)生板演反應(yīng)知識(shí)內(nèi)化狀況。經(jīng)過反應(yīng)教師賜予學(xué)生更有針對(duì)性的指導(dǎo)幫助，進(jìn)而真實(shí)實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化。五、教課過程溫故復(fù)習(xí)，增強(qiáng)看法提出問題，創(chuàng)建情境研究新知，深入研究穩(wěn)固雙基，發(fā)掘內(nèi)涵提高認(rèn)識(shí)，學(xué)致使用小結(jié)升華，部署作業(yè)

經(jīng)過一道復(fù)習(xí)題，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)有關(guān)向量看法及向量加法運(yùn)算的掌握，為向量減法的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)固的基礎(chǔ)。經(jīng)過有關(guān)向量減法問題串的提出，引起學(xué)生思慮。創(chuàng)建位移、物理學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生興趣，引出新知。經(jīng)過合作和交流，從已有的知識(shí)構(gòu)造出發(fā)，獲取本課研究的兩個(gè)定義，并明確作向量減法的步驟。經(jīng)過例題增強(qiáng)向量減法運(yùn)算及其幾何意義，同時(shí)表現(xiàn)向量在平面幾何中的應(yīng)用。經(jīng)過例題向量減法的運(yùn)算規(guī)律，明確加減法的特色及兩者間的內(nèi)在聯(lián)系。引入實(shí)質(zhì)生活問題，學(xué)致使用，感覺數(shù)學(xué)的寬泛應(yīng)用。師生共同交流，感悟思想方法，提高學(xué)習(xí)內(nèi)容。經(jīng)過部署分層作業(yè)，達(dá)到知識(shí)在講堂之外的延長。1．溫故復(fù)習(xí)，增強(qiáng)看法BA[師]經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)，我們知道向量是既有大小又有方向的量，并掌握了相等向量和共線向CFO量的看法，認(rèn)識(shí)了向量能夠進(jìn)行加法運(yùn)算，請同學(xué)們與我一起看這樣一道復(fù)習(xí)題。DE如圖：O是正六邊形ABCDEF的中心。作出圖中的向量OA,DE,還可以作出哪些向量呢？找出DE的相等向量、共線向量OAAF_______,OAOC______,還可以舉出近似的例子嗎？[生]學(xué)生回答。復(fù)習(xí)過程中教師重申向量有關(guān)看法，并引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)向量加法的兩種法例及各自特色?！驹O(shè)計(jì)企圖】知識(shí)的復(fù)習(xí)融入一道題目之中，奇妙的安排設(shè)問，復(fù)習(xí)有關(guān)看法并穩(wěn)固了向量加法的兩種法例，為后續(xù)的教課做好準(zhǔn)備。2．提出問題，創(chuàng)建情境[師]正如教材的第二章扉頁上所說，“假如沒有運(yùn)算，向量不過一個(gè)‘路標(biāo)’，由于有了運(yùn)算，向量的力量無窮?！苯?jīng)過向量加法的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)初步感覺到了運(yùn)算賜予向量的力量，在此基礎(chǔ)上我們學(xué)習(xí)向量減法。問題串:如何定義向量減法？用如何的符號(hào)表示呢？如何理解向量的減法及其幾何意義？（讓我們共同開啟對(duì)于“向量減法”的發(fā)現(xiàn)之旅吧。）我們知道，在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。類比相反數(shù)，我們在學(xué)習(xí)向量減法時(shí)，能否也有這樣的相反的向量呢？[師]生活情境（1）：一架飛機(jī)由天津到香港,再由香港返回天津,飛機(jī)的兩次位移分別是什么?[生]學(xué)生回答[師]在物理學(xué)中我們學(xué)習(xí)過作使勁與反作使勁的看法，是如何定義的呢？[生]學(xué)生回答[師]兩個(gè)情境中波及的兩個(gè)量，擁有如何的關(guān)系呢？[生]學(xué)生齊答：大小相等，方向相反[師]聯(lián)合以上特色，你可否在正六邊形中，找到也擁有這類特色的兩個(gè)向量？知足這樣特色的兩個(gè)向量，我們就把它稱作相反向量。用如何的數(shù)學(xué)符號(hào)表示呢？[生]學(xué)生回答：a【設(shè)計(jì)企圖】問題串的引入切合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從加法到減法的過渡自然流利。問題從類比減法運(yùn)算方法的提出，為學(xué)生研究向量減法運(yùn)算供給了思慮方法，同時(shí)從生活、物理學(xué)情境引入新知能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教課過程中，相反向量的定義由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并總結(jié)，同時(shí)在正六邊形的復(fù)習(xí)題中得以應(yīng)用，形成響應(yīng)。知識(shí)的形成并不是強(qiáng)加給學(xué)生，而是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)研究，切合近來發(fā)展區(qū)原則。3．研究新知，深入研究[

師]

借助新知達(dá)成思慮

1。[

生]

（思慮

1：逐個(gè)請學(xué)生回答）此中（

3）：教師要合時(shí)重申相反向量和共線向量的關(guān)系。[師]再次類比實(shí)數(shù)運(yùn)算，aba(b)，向量減法能否也有近似的運(yùn)算？[生]學(xué)生獨(dú)立得出向量減法的定義式：aba(b)[師]教師給出向量減法的定義。并重申：減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。思慮2：讓我們共同商討：對(duì)于已知非零向量a,b，借助減法的定義，（1）如何作圖獲取ab？[生]請兩位同學(xué)實(shí)物投影并解說作法，表現(xiàn)減法轉(zhuǎn)變?yōu)榧臃ǖ乃枷耄瑫r(shí)展現(xiàn)兩種向量加法的法例?！驹O(shè)計(jì)企圖】本環(huán)節(jié)增強(qiáng)了學(xué)生活動(dòng)，由定義獲取，作圖獲取向量減法的過程完好讓學(xué)生達(dá)成，進(jìn)而表現(xiàn)學(xué)生的主體地位，在學(xué)生參加的過程中，教師要合時(shí)夸獎(jiǎng)，合時(shí)提出新的問題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培育學(xué)生謹(jǐn)慎的科學(xué)習(xí)慣。[師]思慮2：（2）設(shè)OAa,OBb,研究：可否直接求ab，小組討論?！驹O(shè)計(jì)企圖】思慮2：（2）是本課的要點(diǎn)，表現(xiàn)向量減法的形成過程，教師把時(shí)間交給學(xué)生，小組議論，形成向量減法的運(yùn)算規(guī)律，并重申幾何意義。思慮3：讓我們一起總結(jié)作圖獲取ab的詳細(xì)步驟。[生]（請一位同學(xué)回答）同時(shí)教師板書規(guī)范達(dá)成求向量差的作圖操作。[師]我們已經(jīng)從圖形角度研究了向量的減法，再來從表達(dá)式的角度研究一下。（教師板演：abOAOBBA）并重申：一個(gè)完好的作圖應(yīng)表現(xiàn)出運(yùn)算結(jié)果，同時(shí)也更為清楚的表示差向量。經(jīng)過ba的變式，應(yīng)用口訣?！驹O(shè)計(jì)企圖】借助多媒體工具協(xié)助教課，增強(qiáng)對(duì)于減法幾何意義的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的聯(lián)合。作圖方法詳細(xì)步驟及運(yùn)算結(jié)果的呈現(xiàn)，為學(xué)生供給一種規(guī)范的解題作圖思路和詳細(xì)操作方法，做到事事有章可循，進(jìn)而培育學(xué)生謹(jǐn)慎的思想方式。4．穩(wěn)固雙基，發(fā)掘內(nèi)涵[師]下邊就讓我們試試運(yùn)用法例來達(dá)成第一個(gè)例題例1：（1）已知向量a,b,c,d,求作向量ab,cd，并寫出運(yùn)算結(jié)果。2）已知向量a,b,求作向量ab，并寫出運(yùn)算結(jié)果。3）已知向量a,b,求作向量ab，并寫出運(yùn)算結(jié)果。（1）（2）（3）（請三位同學(xué)在黑板上分別作出結(jié)果）【設(shè)計(jì)企圖】目的在于考察學(xué)生對(duì)于法例的理解程度。在教課過程中，要給學(xué)生足夠的時(shí)間達(dá)成，解說時(shí)合時(shí)重申3個(gè)小題中向量a,b的地點(diǎn)關(guān)系均有所不一樣，特別是對(duì)于共線的兩個(gè)向量，減法的法例仍合用，進(jìn)而完美了向量減法的合用范圍。此外，經(jīng)過本例重申規(guī)范的作圖方法及運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)。例2：已知平行四邊形ABCD，ABa,ADb，用a,b表示向量AC,BDDCb【設(shè)計(jì)企圖】本例的作答對(duì)于學(xué)生而言其實(shí)不困難，要討教師引AaBa，導(dǎo)學(xué)生提煉此題中所求向量的幾何意義。即為學(xué)生介紹了聯(lián)系b，ab，ab的一種幾何模型——平行四邊形。5．提高認(rèn)識(shí)，學(xué)致使用[師]我們前面接觸的向量減法均與圖像有關(guān)，那么我們能離開圖像，解決這組化簡的習(xí)題嗎？請同學(xué)們試一試。例3:化簡(1)OAOCAB________[生]（請三位學(xué)生回答）并指引學(xué)生給出一題多解。[師]教師總結(jié)解決本練習(xí)的精華：借助向量加法首尾相連，減法共起點(diǎn)的特色，搜尋題目的打破口。同時(shí)再次重申：借助相反向量實(shí)現(xiàn)加減法之間的轉(zhuǎn)變。同時(shí)：本例也是對(duì)于例4的鋪墊。例4：已知點(diǎn)O是四邊形ABCD所在平面上的隨意一點(diǎn)，且知足OAOCODOB，判斷四邊形ABCD的形狀?！驹O(shè)計(jì)企圖】從化精練習(xí)到例2的設(shè)計(jì)，均表現(xiàn)了不借助圖形直接進(jìn)行加減法運(yùn)算問題，這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)力爭經(jīng)過練習(xí)為學(xué)生搭建解決問題的腳手架。即：若無圖形，首尾相連則達(dá)成加法，共起點(diǎn)則想到減法，這也就是例2解題的要點(diǎn)所在。[師]在學(xué)習(xí)中我們發(fā)現(xiàn)向量的加法和減法是有機(jī)聯(lián)系的一個(gè)整體，密不行分。下邊我們來一起達(dá)成思慮4：總結(jié)對(duì)照向量加法和減法運(yùn)算?！驹O(shè)計(jì)企圖】本環(huán)節(jié)設(shè)置力爭讓學(xué)生較為系統(tǒng)掌握加減法的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系，提高認(rèn)識(shí)。[師]問題解決（1）：拔河競賽——場景：甲隊(duì)勝于乙隊(duì)。你能通過向量的知識(shí)來解說嗎？問題解決（2）：在向量加法的學(xué)習(xí)中，我們接觸一道有對(duì)于堤壩搶險(xiǎn)的實(shí)質(zhì)問題。江淮流域發(fā)生了大洪災(zāi)。一條自西向東流淌的大河，在其南岸發(fā)現(xiàn)對(duì)岸的堤壩處有險(xiǎn)情，救險(xiǎn)隊(duì)員坐船從A處出發(fā)垂直向?qū)Π恶側(cè)?，才能抵達(dá)險(xiǎn)情發(fā)生處。已知船速、水速，求船實(shí)質(zhì)航行速度的大小及方向。假如是正對(duì)岸出現(xiàn)險(xiǎn)情，該如何確立其航向？對(duì)你有何啟迪？DCV船V實(shí)V實(shí)AV水BAV水B【設(shè)計(jì)企圖】問題解決部分：從生活實(shí)例出發(fā)，拔河競賽的場景設(shè)置激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在向量加法運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，運(yùn)用向量加法的平行四邊形法例解決了堤壩搶險(xiǎn)的實(shí)質(zhì)問題。在向量減法運(yùn)算的教課中改變險(xiǎn)情地點(diǎn)，提出該如何確立航向的有關(guān)問題，表現(xiàn)向量減法運(yùn)算的實(shí)質(zhì)應(yīng)用，學(xué)致使用，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，有著寬泛的應(yīng)用，留作課后解決。6．小結(jié)升華，部署作業(yè)一種運(yùn)算方法三種思想本環(huán)節(jié)由學(xué)生講話，暢聊這節(jié)課的收獲與疑有轉(zhuǎn)類數(shù)圖化形向比形線思思結(jié)惑，并互相評(píng)論。最后形段想想合式形教師進(jìn)行歸納、總結(jié)、運(yùn)式算運(yùn)相數(shù)向是提高。算反的量研加的向究量減加圖法法形兩個(gè)定義的工具相向反量向的課后作業(yè)：【穩(wěn)固型】教材87頁練習(xí)1,2,3；91頁A組4,8.【思想拓展型】（1）類比加法中不等式ababab，試判斷ababab能否成立？若成立，給出相應(yīng)解釋。（2）向量是一種重要的運(yùn)算對(duì)象，從數(shù)、式的運(yùn)算到向量的運(yùn)算是一次飛騰。回首:數(shù)、式的運(yùn)算規(guī)律，和向量加、減法運(yùn)算。思慮：向量還會(huì)有其余運(yùn)算嗎？如何運(yùn)算呢？按照什么運(yùn)算律呢？板書設(shè)計(jì)：向量減法運(yùn)算及其幾何意義向量減法的定義例1：作圖區(qū)_____________aba(b)（1）（2）（3）_________________ba___________________________________步驟：_____________________________________教課評(píng)論評(píng)論人：王祥芬（天津市濱海新區(qū)塘沽教育中心）陳瑩老師是天津市濱海新區(qū)塘沽一中的青年教師。本節(jié)課的內(nèi)容是人教A版教材《數(shù)學(xué)（必修4）》向量減法運(yùn)算及其幾何意義，向量是