新教材高中數學第4章冪函數指數函數和對數函數本章達標檢測含解析湘教版必修第一冊

PAGEPAGE11本章達標檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.函數f(x)=ln(x+1)A.(-1,+∞) B.(-1,2)∪(2,+∞)C.(-1,2) D.[-1,2)∪(2,+∞)2.已知a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,則 ()A.b>a>c B.a>b>cC.b>c>a D.a>c>b3.由表格中的數據,可以判斷方程ex-3x-2=0的一個根所在的區(qū)間是 ()x01234ex12.727.3920.0954.603x+22581114A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)4.某種藥物的含量在病人血液中以每小時20%的比例遞減.現醫(yī)生為某病人注射了2000mg該藥物,那么x小時后病人血液中這種藥物的含量為 ()A.2000(1-0.2x)mg B.2000·0.8xmgC.2000(1-0.2x)mg D.2000·0.2xmg5.已知關于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的兩個實數根x1,x2滿足x1<32<x2,則實數m的取值范圍為 (A.m<4 B.-12<mC.72<m<4 D.-12<m6.函數y=2x+1x37.已知函數f(x)=lnx,x>0,-ln(-x),x<0,A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-e)∪(0,e) D.(-∞,-1)∪(0,1)8.若函數f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1,且滿足對任意的實數x1,x2(x1A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.若0<m<n<1,則 ()A.log4m<log4n B.3n<3mC.logm3<logn3 D.14m10.設函數f(x)=2x,對于任意的x1,x2(x1≠x2),下列式子成立的是 ()A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.f(D.fx1+11.設函數y=ln(x2-x+1),則下列命題中正確的是 ()A.函數的定義域為RB.函數是增函數C.函數的值域為RD.函數的圖象關于直線x=1212.已知函數f(x)的定義域為D,若對任意x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,則稱函數f(x)為“M函數”.下列所給出的函數中是“M函數”的有 ()A.y=x2 B.y=1C.y=2x-1 D.y=ln(x+1)三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.log233×log32=14.把物體放在冷空氣中冷卻,如果物體原來的溫度是θ1℃,空氣的溫度是θ0℃,tmin后物體的溫度θ(℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把溫度是100℃的物體,放在10℃的空氣中冷卻tmin后,物體的溫度是40℃,那么t的值約等于.(保留兩位小數,參考數據:ln3≈1.099)

15.已知x,y∈R,在實數集R中定義一種運算x⊕y=xy+x+y-1,則2⊕4=,函數f(x)=2x⊕42x的最小值為.(本小題第一空2分,第二空316.已知函數f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32內恒小于零四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)計算下列各式的值.(1)(32×3)6+(-2020)(2)log23×log34×log45×log254.18.(本小題滿分12分)已知冪函數f(x)=(m2-m-1)x-2m-1在(0,+∞)上單調遞增,函數g(x)=2x+m2(1)求實數m的值,并簡要說明函數g(x)的單調性;(2)若不等式g(1-3t)+g(1+t)≥0恒成立,求實數t的取值范圍.19.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=a12|x|+b的圖象過原點,且無限接近直線(1)求該函數的解析式,并判斷該函數的奇偶性;(2)若不等式m·[1-f(x)]>14x+1對任意的x∈[-2,2]恒成立,求m20.(本小題滿分12分)某食品廠對蘑菇進行深加工,每千克蘑菇的成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費為t元(t為常數,且2≤t≤5),設該食品廠每千克蘑菇的出廠價為x元(25≤x≤40),根據市場調查,日銷售量q(單位:千克)與ex成反比,每千克蘑菇的出廠價為30元時,日銷售量為100千克.(1)求該工廠的日銷售利潤y(單位:元)關于每千克蘑菇的出廠價x(單位:元)的函數關系式;(2)若t=5,當每千克蘑菇的出廠價x為多少元時,該工廠的日銷售利潤y為100e4元?21.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=x2-2ax+9.(1)當a≤0時,設g(x)=f(2x),證明:函數g(x)在R上單調遞增;(2)若?x∈[1,2],f(2x)≤0恒成立,求實數a的取值范圍;(3)若函數f(x)在(-3,9)上有兩個零點,求實數a的取值范圍.22.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)=f(x)x,且函數y=f((1)求g(x)的解析式;(2)若不等式g(lnx)-nlnx≥0在1e2,1上恒成立,(3)若函數y=g(log2(x2+4))+k·2log2(x2+4答案全解全析一、單項選擇題1.B由題意得x+1>0,x-2≠0,所以2.Ac=0.20.3<1<a=20.2<b=20.3,∴b>a>c.故選A.3.C設f(x)=ex-3x-2,由題表知,f(0)、f(1)、f(2)均為負值,f(3)、f(4)均為正值,且f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,因此方程ex-3x-2=0的一個根所在的區(qū)間為(2,3),故選C.4.B由題意知,該種藥物的含量在病人血液中以每小時20%的比例遞減,給某病人注射了2000mg該藥物,x個小時后病人血液中這種藥物的含量為y=2000·(1-20%)x=2000·0.8x(mg),故選B.5.D設f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由題意可得,f32<0,即322-(2m-8)×32+m2-16<0,即4m2-12m-7<0,解得-12<m6.B易得函數y=2x+1x34x+1為奇函數,選項C錯誤;當x>0時,y>0,選項D錯誤;當x=4時,7.D當m>0時,-m<0,所以f(m)+2f(-m)=lnm-2lnm>0,即-lnm>0,解得0<m<1.當m<0時,-m>0,所以f(m)+2f(-m)=-ln(-m)+2ln(-m)>0,即ln(-m)>0,解得m<-1.綜上,實數m的取值范圍為(-∞,-1)∪(0,1),故選D.8.D∵對任意的實數x1,x2(x1≠x2),都有f(∴函數f(x)=ax∴a>1,4二、多項選擇題9.AD因為y=log4x在(0,+∞)上單調遞增,且0<m<n<1,所以log4m<log4n,故A正確;因為y=3x在R上單調遞增,且0<m<n<1,所以3n>3m,故B錯;取m=14,n=12,知logm3>logn3,故C錯;由指數函數的性質可知D正確.10.ACDf(x1+x2)=2x1+x2,f(x1)·f(x2)=2x1·2x2=2x1+x2=f(x1+x2),所以A成立;f(x1·x2)=2x1·x2,f(x1)+f(x2)=2x1+2x2≠2x1·x2=f(x11.ADA正確,∵x2-x+1=x-12∴函數的定義域為R;B錯誤,函數y=ln(x2-x+1)在x>12時是增函數,在x<1C錯誤,由x2-x+1=x-122+34≥34可得y=ln(x2-D正確,函數的圖象關于直線x=12對稱.12.BD依題意得,若b是f(x)的值域中的數,則-b也是值域中的數,即f(x)的值域關于原點對稱,選項A中函數的值域為[0,+∞),不是“M函數”;選項B中函數的值域為(-∞,0)∪(0,+∞),是“M函數”;選項C中函數的值域為(0,+∞),不是“M函數”;選項D中函數的值域為R,是“M函數”.故選BD.三、填空題13.答案1解析log233×log32=13log23×log32=14.答案4.58解析由題意可得40=10+(100-10)·e-0.24t,化簡可得e-0.24t=13∴-0.24t=ln13∴0.24t=ln3≈1.099,∴t≈4.58.15.答案13;7解析由已知得2⊕4=2×4+2+4-1=13.函數f(x)=2x⊕42x=4+2x+42x-1=3+2x+42所以函數f(x)=2x⊕42x16.答案1解析f(x)=x2-2x+logaax-1在1,32內恒小于零,即(x-1)2<loga(x-1)對于x∈1,32恒成立,畫出函數y=(x0<a<1,log四、解答題17.解析(1)(32×3)6=108+1-7+π-3 (4分)=99+π. (5分)(2)原式=log23×(2log32)×12log=lg3lg2×lg2lg3×lg5lg2×lg218.解析(1)因為f(x)是冪函數,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2. (2分)又因為f(x)在(0,+∞)上單調遞增,所以-2m-1>0,即m<-12所以m=-1,則g(x)=2x-12x因為y=2x與y=-12所以函數g(x)在R上單調遞增. (5分)(2)易知g(x)的定義域為R.因為g(-x)=2-x-12-x=-2x-所以g(x)是奇函數, (7分)所以不等式g(1-3t)+g(1+t)≥0可變?yōu)間(1-3t)≥-g(1+t)=g(-1-t). (10分)由(1)知g(x)在R上單調遞增,所以1-3t≥-1-t,解得t≤1. (12分)19.解析(1)依題意得b=1, (2分)由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1. (4分)因此f(x)=-12且f(-x)=-12|-x|+1=-12|x|+1=f((2)不等式m·[1-f(x)]>14x+1可化為m>依題意知m>14x+112令y=14x+1則m>ymax, (9分)令t=12當x∈[0,2]時,t∈14y=t2+1t=t+1t,當t=14時,當x∈[-2,0)時,t∈(1,4],y=t2+1t-1=當t=4時,y取得最大值,最大值為68. (11分)綜上,m的取值范圍為m>68. (12分)20.解析(1)設日銷售量q=kex(25≤x≤40,則ke30=100,∴k=100e30∴日銷售量q=100e30ex∴y=100e30(x-(2)當t=5時,y=100e30令y=100e4,則x-25=ex-26, (8分)畫出函數y=x-25與y=ex-26的圖象如圖所示,由圖可得方程x-25=ex-26的解為x=26, (11分)∴當每千克蘑菇的出廠價為26元時,該工廠的日銷售利潤為100e4元. (12分)21.解析(1)證明:g(x)=f(2x)=4x-2a·2x+9, (1分)任取x1,x2∈R,且x1<x2,則g(x2)-g(x1)=4x2-2a·2x2+9-(4x=4x2-4x1-2a(=(2x2-2x1)(2x2+2x=(2x2-2x1)(2x2∵函數y=2x在R上單調遞增,∴2x2>2x1,即又2x2+2x∴2x2+2x∴(2x2-2x1)(2x∴g(x2)>g(x1),∴函數g(x)在R上單調遞增. (4分)(2)設t=2x(1≤x≤2),則2≤t≤4,?x∈[1,2],f(2x)≤0恒成立,即?t∈[2,4],t2-2at+9≤0恒成立,即2a≥t+9t(t∈[2,4]),令h(t)=t+9t(t易得h(t)在[2,3]上單調遞減,在[3,4]上單調遞增,又h(2)=132,h(4)=25∴h(t)的最大值為132∴2a≥132,即a≥13∴實數a的取值范圍為134,(3)∵函數f(x)在(-3,9)上有兩個零點且f(x)=x2-2ax+9的圖象的對稱軸為直線x=a,∴-3解得3<a<5.∴實數a的取值范圍為(3,5). (12分)22.解析(1)∵f(x)=x2+(m-2)x-m,∴f(x-2)=(x-2)2+(m-2)(x-2)-m=x2+(m-6)x+8-3m. (2分)∵y=f(x-2)是偶函數,∴m-6=0,∴m=6,∴f(x)=x2+4x-6,∴g(x)=x-6x+4(x≠0).(2)令lnx=t,∵x∈1e2,∵不等式g(lnx)-nlnx≥0在1e∴g(t)-nt≥0在t∈[-2,0)