新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)2.2奇偶性課件新人教A版必修第一冊

1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.3.會利用奇、偶函數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題.3.2.2奇偶性1|奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義

偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且①

f(-x)=f(x)

,那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,且②

f(-x)=-f(x)

,那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)定義域特征關(guān)于原點對稱

1.如果一個函數(shù)是奇函數(shù),那么這個函數(shù)的圖象關(guān)于③

原點

對稱;反之,如果

一個函數(shù)的圖象關(guān)于④

原點

對稱,那么這個函數(shù)是奇函數(shù).2.如果一個函數(shù)是偶函數(shù),那么它的圖象關(guān)于⑤

y軸

對稱;反之,如果一個函數(shù)

的圖象關(guān)于⑥

y軸

對稱,那么這個函數(shù)是偶函數(shù).2|奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征1.已知f(x)是定義在R上的函數(shù).若f(-1)=f(1),則f(x)一定是偶函數(shù).

(

?)2.對于函數(shù)y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),則函數(shù)y=f(x)一定是奇函數(shù).

(

?)提示:對定義域內(nèi)任意x,都有f(-x)=-f(x),函數(shù)y=f(x)才是奇函數(shù).3.奇函數(shù)的圖象一定過原點.

(

?)4.函數(shù)f(x)=|x|,x∈[-1,1)是偶函數(shù).

(

?)提示:函數(shù)f(x)=|x|的定義域[-1,1)不關(guān)于原點對稱,所以函數(shù)f(x)不具有奇偶性.5.f

(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(0)=0.(√)提示:因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.6.存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù),且不止一個.(

√

)提示:存在f(x)=0,x∈D(定義域D關(guān)于原點對稱),f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),由于

D有無數(shù)個,因此這樣的函數(shù)也有無數(shù)個.7.若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a,b](0<a<b)上單調(diào)遞增,則f(x)在[-b,-a]上單調(diào)遞增,即

奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致.

(√)1|如何判斷函數(shù)的奇偶性1.判斷函數(shù)奇偶性的常見方法(1)定義法:

(2)圖象法:2.分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)f(x)奇偶性的一般方法是在一個區(qū)間上任取自變量,再向?qū)ΨQ區(qū)間

轉(zhuǎn)化,若函數(shù)在x=0處有定義,還要驗證f(0),即判斷分段函數(shù)的奇偶性時,必須判定

每一段上函數(shù)是否都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函數(shù)圖象,結(jié)合

對稱性判斷.判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=

;(2)f(x)=|x-2|+|x+2|;(3)f(x)=

思路點撥先求函數(shù)的定義域,必要時化簡函數(shù)解析式,再計算f(-x)并判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,

從而得出結(jié)論.解析

(1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,又|x+2|-2≠0,∴x≠0,且x≠-4,因此函數(shù)f(x)的定義域D={x|-1≤x≤1,且x≠0},∴函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,且x+2>0,∴f(x)=

=

,于是任取x∈D,都有f(-x)=

=-

=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).(2)函數(shù)f(x)=|x-2|+|x+2|的定義域為實數(shù)集R,關(guān)于原點對稱.∵f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),∴f(x)為偶函數(shù).(3)函數(shù)的定義域D=(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱.任取x∈D,當(dāng)x>0時,-x<0,則f(-x)=-

=

=f(x);當(dāng)x<0時,-x>0,則f(-x)=

=-

=f(x).綜上,可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù).2|函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1.由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)(1)函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)奇偶性的一種方法,也是在已知函數(shù)奇偶性

時可以運用的一個性質(zhì),要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用.(2)若函數(shù)解析式中含參數(shù),則根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系數(shù)法求參數(shù);

若定義域中含參數(shù),則根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱,利用區(qū)間的端點和為0求參數(shù).2.由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時,若函數(shù)具有奇偶性,則利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求

解;若所給的函數(shù)不具有奇偶性,一般需利用所給的函數(shù)來構(gòu)造一個奇函數(shù)或偶

函數(shù),然后利用其奇偶性求值.3.由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的一般步驟(1)在哪個區(qū)間上求解析式,x就設(shè)在哪個區(qū)間.(2)把x對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.(3)利用函數(shù)的奇偶性把f(-x)改寫成-f(x)或f(x),從而求出f(x).(1)若函數(shù)f(x)=

為奇函數(shù),則a=

(

)A.

B.

C.

D.1(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=10,那么f(2)=

.思路點撥(1)利用奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱即可求出a的值;(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+8,易得g(x)為奇函數(shù),由f(-2)=10依次求出g(-2),g(2),f(2)的

值.解析

(1)由f(x)=

知,(2x+1)(x-a)≠0,即x≠-

且x≠a,∴f(x)的定義域為

.又f(x)為奇函數(shù),其定義域關(guān)于原點對稱,∴a=

,故選A.(2)f(x)=x5+ax3+bx-8,令g(x)=f(x)+8,則g(x)=x5+ax3+bx,易得g(x)為奇函數(shù).∵f(-2)=10,∴g(-2)=10+8=18,∴g(2)=-g(-2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=

+1,求f(x)的解析式.思路點撥設(shè)x<0,則-x>0,結(jié)合f(-x)=-f(x),f(0)=0求f(x)的解析式.解析

設(shè)x<0,則-x>0,∴f(-x)=

+1,∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),即-f(x)=

+1,∴f(x)=-

-1,∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴f(x)=

3|函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用1.奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間

上的單調(diào)性相反.2.區(qū)間[a,b]和[-b,-a]關(guān)于原點對稱.(1)若f(x)為奇函數(shù),且在[a,b]上有最大值M,則f(x)在[-b,-a]上有最小值-M;(2)若f(x)為偶函數(shù),且在[a,b]上有最大值M,則f(x)在[-b,-a]上有最大值M.3.利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,關(guān)鍵是利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)

化到函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用單調(diào)性比較.4.解決不等式問題時一定要充分利用已知條件,把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式(組),要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)

的影響.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足:對任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,則當(dāng)n∈N*時,有(

B)A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)C.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)思路點撥根據(jù)已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判

斷即可.解析

∵對任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,∴若x2-x1>0,則f(x2)-f(x1)>0,即若x2>x1,則f(x2)>f(x1),若x2-x1<0,則f(x2)-f(x1)<0,即若x2<x1,則f(x2)<f(x1),∴f(x)在(-∞,0]上為增函數(shù).∵f(x)在R上是偶函數(shù),∴f(x)在[0,+∞)上為減函數(shù),f(-n)=f(n).∵n∈N*,∴n+1>n>n-1≥0,∴f(n+1)<f(n)<f(n-1),即f(n+1)<f(-n)<f(n-1),故選B.(1)定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),求實數(shù)m的取值范圍;(2)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),求實數(shù)m的

取值范圍.思路點撥(1)由奇函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,可得f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減,列滿足條件的關(guān)

系式求解即可;(2)兩個自變量1-m,m不一定屬于同一單調(diào)區(qū)間,根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)f(|x|)=f(x)結(jié)合

單調(diào)性列滿足條件的關(guān)系式求解即可.解析

(1)因為f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減,所以f(1-m)<f(m)等價于

解得-1≤m<

.所以實數(shù)m的取值范圍為

.(2)因為f(x)是偶函數(shù),所以f(x)=f(|x|),所以f