考研知識點(diǎn)(下冊)

SECTIONSIX微分方程

—、基本概念

1.常微分方程含有自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)的

方程式稱為微分方程，而當(dāng)未知函數(shù)是一元函數(shù)

時(shí)就稱為常微分方程。

2.線性微分方程與非線性微分方程

以未知函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)作為總體是一次的就

稱為線性微分方程，否則就稱為非線性微分方程。

3.微分方程的階微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。

4.微分方程的解代人微分方程使之成為恒等式的函數(shù)(通常還

要求解具有和階數(shù)一樣的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如二階方程

的解應(yīng)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù))。

5.微分方程的通解和特解通解含有數(shù)目與微分方程的階數(shù)相

同的獨(dú)立常數(shù)，通解也可以稱為一般解；不含任

意常數(shù)或任意常數(shù)解定后的解稱為特解。

6.微分方程的初始條件能確定通解中的任意常數(shù)的條件稱為

定解條件，初始條件是定解件中最常見的類型，

初始條件的形式與方程的階數(shù)有關(guān)，?般說n階

微分方程的初始條件為：

y汽，山,.二%，…，兒-i，

其中先,必,是任意給定的常數(shù)。

二、一階微分方程

――階微分方程的一般形式為Z7。,》,y')=0或y'=/(x,y),

其中最基本的類型是變量分離的方程、一階線性方程和全微分方

程。齊次方程通過變量代換可化為變量可分離的方程，伯努利方

程通過變量代換可化為一階線性方程。除了齊次方程與伯努利方

程之外，還有一些一階方程能通過簡單的變量代換化為上述基本

類型?，F(xiàn)將幾種基本類型的解法列表如下:

類型通解的求法

變量可分離的方程分離變量法：

y'=/(x)g(y)兩邊同除g(y)(wO),把變量分離，并求積分

端邛⑶“x+c

一階線性方程1.積分因子法

y'+p(x)y=q(x)方程兩邊同乘積分因子〃=0"""

改寫成=

相應(yīng)的齊次方程

y'+p(x)y=0積分得ye」'""=k(x)e'"""dx+c

2.公式法

非齊次方程的通解為

y=e"""[c+

相應(yīng)的齊次方程的通解為y=Ce'^pMdx

3.常數(shù)變易法

先用分離變量法求相應(yīng)的齊次方程的通解

c_(P(x)dx

y=CeJ

將C改為c(x),然后令y=c(x)e代人原

非齊次方程得

c'(x)eJ"""'=4(x),積分求出c(x)

全微分方程求原函數(shù)法

p(x,y)dx4-若求得u(x,y)使得du=Pdx+Qdy(稱“(x,y)為

。(匕y)dy=0

Pdx+Qdy的原函數(shù))，則通解為“(x,y)=C

求原函數(shù)的方法有以下三種：

*、#中dQap

并滿足*=k1.特殊路徑積分法：

oxoy

xy

〃(x,y)=Jp(x,y())dx+J0(x,y)dy

X。>'o

2.不定積分法：

由學(xué)■=p(x,y)對X積分得

dx

〃(x,y)=Jp(x,y)dx+C(y)

對y求導(dǎo)得9業(yè)1+g)，

dydy

它應(yīng)等于。(x,y),由此求出C'(y)再積分求出

C(y)

3.湊微分法：P(x,y)dx+Q(x,y)dy-...=du

方程類型通解的求法變量代換可化

為的

基本

方程

令〃=),貝ijy'=〃+xu變

X里

于是原方程可化為可

齊次方程分

XU=f(u)—u

/=/(2)離

X其通解為X的

方

J上匚=隹+。=

程

/(W)-WX

In1x14-C

^u^ax+by+c,則原方程u=ax-Vby

y'=f(ax+by+c)+c

可化為/="+“(”)

即為變量可分離的方程

?1瓦

t普形1H0

a2b2

卓本線性方程組

qx+Ay+G=。

V

++c

y'=f(。/+姐+。2=()

u-x-a

a2x+b2y-^-c

設(shè)其解為Q,4)。v=y-P

貝|J令〃=x-a,v-=y-P

則原方,程可化為

dva{u、

duau+%叱

21

屬于齊,次方程

a,b,

情形21'=0

a2b2

即”=%=力貝1

?l仇

y+q、

V)+C2>Z=。/+

令Z=。［產(chǎn)+仿丁,方程化

(+C1]

Z=%+4/.

+。2，

屬于變量可積分小1方程

伯努利方程一階

令名=、~，原方程可化為z=y]~a

線性

y+p(x)y=q(x)ya

方程

￡+(l-a)p(x)z=

ax

(l-a)g(x)

屬于一階線性方程

dy__1dx

丁=p(y)x+q(y)(以y為自變量與■階

dxp(y)x+q(y)dy

因變量互線性

自變量，x為因變量的?階線換方程

性方程)

三、可降階的高階方程

類型通解的求法

經(jīng)n次積分，得：

]n2

y=^....^f(x)dxdx....dx+C}x"~+C2x~+....+C,?

不顯含y的二階

令P=y',原方程化為P的未知函數(shù)，y為自變量的

方程

/=f(x,y)一階方程：p=f(x,p)

不顯含X的二階

令〃=/，原方程可化為以p為未知函數(shù)，y為自變

方程

/=/(>'，/)量的一階方程：p迎=/(y,p)

dy

四、線性微分方程解得性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

這里只限于討論二階線性方程,其結(jié)論可推廣到更高階的方

程，二階線性方程的一般形式為

y"+p(x))，+q(x)y=/(x)(6.1)

其中p(x),q(x),f(x)均為連續(xù)函數(shù),當(dāng)右端項(xiàng)/(x)三0時(shí)，稱為

二階線性齊次方程，否則稱為非齊次方程。

解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)：

1.若%(x),為")為齊次方程y"+p(x)y'+q(x)y=。(6.2)

的兩個(gè)特解，則其線性組合GM(X)+C2y2(組仍為(6.2)的解。

特別地，若y,(X)與%(X)線性無關(guān)(即H4)(常數(shù))，則(6.2)

>2(X)

的通解為y(x)=C]y1(x)+C2y2(x)

2.設(shè)％(x)與乃(x)為非齊次方程(6.1)的兩個(gè)特解，則其差

%(x)-%(x)為相應(yīng)齊次方程(6.2)的特解。

3.設(shè)y*(x)為非齊次方程(6.1)的一個(gè)特解，y(x)為齊次方程

(6.2)的任意特解，則其和y*(x)+y(x)為(6.1)的解。特

別的，若月(x),為(X)為(6.2)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則(6.1)

的通解為y(x)=y*(x)+G>i(x)+C2y2。)，其中G.g為任意

常數(shù)。

4.線性方程(6.1)的通解即所有解。

5.(疊加原理)設(shè)弘(x),當(dāng)(x)分別是方程

，

y"+p(x)y'+q(x)y=￡(x)，/+p(x')y+q(x)y=f2(x)的兩個(gè)特

解，則乂⑴+為⑴為方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)+/2(x)的特

解。

五二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程歐拉方程

(-)二階常系數(shù)齊次線性方程

二階常系數(shù)齊次線性方程的形式為)，"+py'+qy=O,其中p,q為

常數(shù)，其特征方程為k+〃/1+4=0

依據(jù)判別式的符號，其通解有三種形式：

(1)A=p2-4^>0,特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根4,幾2,通解的

形式為

xx

y(x)=Cie^+C2e^；

(2)A=p2—4q=。,特征方程有重根，即％通解為

x

y(x)=(G+C2x)e^；

(3)A=p2-4q<0,特征方程具有共甄復(fù)根a±i￡,通解為

y(x)=eax(Gcos做+C?sinfix)

(二)〃階常系數(shù)齊次線性方程

(n2)

方程的一般形式為嚴(yán)++p2y-+...+p,y=0

其中pg=l,2,…“）為常數(shù)，相應(yīng)的特征方程為

2

Z+pxX'-'+p2X'-+...+pn=0

特征根與通解的關(guān)系同二階方程的情形相類似.具體結(jié)果是：

（1）若4,4,…,兒是〃個(gè)相異實(shí)根，則方程的通解為

xAx

>,（%）=。產(chǎn)4,+C2e^+...+C,,e"；

（2）若；1=4為特征方程的機(jī)24重實(shí)根，則方程的通解中

含有：（G+。2工+…

（3）若a±3為特征方程的-2kW"）重共軻復(fù)根，則方程的通解

中含有：

e"'［（G+。2工+…+C*/1）cos/3x+（Z）1+D-,x+...+Df,x1'1）sin/3x\

由于我們不能求出一般的三次以上的代數(shù)方程的根，也就

是說對于三次以上的特征方程一般不能得到其特征根，自然也就

不能求出三階以上常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，能夠求出的

只是某些特殊情形

（三）歐拉方程

n{n},

形如xy+aRiyST+...+an_lxy+any=0,（6.5）

的方程稱為歐拉（Euler）方程.令x=e',即將自變量由x換成f,

則有蟲=在包=e-，蟲=，蟲，

dxdtdxdtxdt

0=包色（當(dāng)=e-，4-當(dāng)=e-*-e"心=士（咤—當(dāng)，

dx"dxdtdxdxdtdt2dtx~dt~dt

將這些關(guān)系代入，則（6.5）就化成了〃階常系數(shù)線性方程.

特別令x=±e,，則f=InIxl,于是二階歐拉方程

x2y"+pxy'+qy=f（x）

化成二階線性常系數(shù)方程少+（p-1）蟲+分=/（士力.

drdt

六、二階常系數(shù)非齊次線性方程

/(X)的形式特解y*(x)的形式

0不是特征根：y*(x)=R“(x),

p“(x)為〃次多項(xiàng)式0是特征方程的單根：y*(x)=xR,(x),

0是特征方程的重根：y\x)=x2R?(x)

/(*)=P"(x)e"a不是特征根：y*(x)=R"(x)e",

，aI

a是特征方程的單根：y(x)=xRn(x)e,

2ax

a是特征方程的重根：y*(x)=xRn(x)e

ax

f(x)=pn(x)esinySra土i夕不是特征根：

或

y*(X)=e叫&(x)cosJ3x+Sn(x)sinpx\,

ax

f(x)=pn(x)ecospx

。土風(fēng)是特征根：

j*(x)=xe^[Rn(x)cos+Sn(x)sinfix],

七、含變限積分的方程

對某些含變限積分的方程，可通過對方程求導(dǎo)的方法，轉(zhuǎn)化

為求解相應(yīng)的微分方程的通解或微分方程初值問題的特解。

SECTIONSEVEN向量代數(shù)和空間解析幾何

一、空間直角坐標(biāo)系

為了確定空間點(diǎn)的位置，引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系。這樣，點(diǎn)與

三個(gè)有序?qū)崝?shù)所構(gòu)成的數(shù)組就有一一對應(yīng)的關(guān)系，進(jìn)而曲面可建

立方程，對曲面兒何性質(zhì)的研究就可轉(zhuǎn)化為對方程解析性質(zhì)的研

究。

從空間某定點(diǎn)。作三條互相垂直的數(shù)軸，他們都以。為原

點(diǎn)，具有相同的長度單位，三條軸分別為x軸(橫軸)、y軸(縱

軸)和z軸(豎軸)，三個(gè)坐標(biāo)軸的方向要符合右手定則，這樣就

建立了空間直角坐標(biāo)系。0Z,點(diǎn)。叫坐標(biāo)原點(diǎn)。

如果曲面S與三元方程=0有如下關(guān)系：

(1)曲面S上的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程

(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足此方程

則稱這三元方程是曲面S的方程，而曲面S稱為此方程的圖形。

空間曲線。可以看成兩個(gè)曲面號：F(x,y,z)=0和

52：尸(羽)")=0的交線，方程組稱為空間曲線C

[G(x,y,z)=0

的一般方程。

對于空間曲線C上任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y,z),若分別

X=x(f)

表示為參變量，的函數(shù)，即y=y(f),則稱此方程組是空間曲線C

_z=z(f)

的參數(shù)方程。

二、向量的概念

既有大小又有方向的向量稱為向量(或矢量)。通常用

a,00,6,第等形式表示向量，在建立空間直角坐標(biāo)系后，若向量

a=OM,點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y,z)就稱為向量a的坐標(biāo)，且有向量

a=xi+yj+zk,通常記為｛x,y,z｝。

起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。，終點(diǎn)是P的向量方稱為點(diǎn)P的向徑，

也常用r/o等形式表示。

向量a的大小(長度)稱為向量的模，記作冏，模為1的向

量叫做單位向量，模為零的向量叫做零向量。

方向相同或相反的向量稱為共線向量,平行于同一平面的向

量稱為共面向量。

向量a與三個(gè)坐標(biāo)向量a,j水的夾角a,夕,7稱為向量a的方

向向量，方向角的余弦cosa,cos夕,cosy稱為向量標(biāo)的方向余

弦，如a=xi+yj+zk則cosa=T—：=/

冏J/+y2+)

+y+Z

cos2a4-cos2(3+cos2/=1。且方向余弦cosa,cosAcos/就是單

位向量8的坐標(biāo)即a0=1^7={cosa,cosyff,cosy}。

囹冏

三、向量的運(yùn)算

（-）定義與計(jì)算公式

設(shè)（Xj=Xji+坊j+zjk={xj,yj,.Zj,],j=1,2,3.

1、加法由平行四邊形法則或三角形法則給出，用坐標(biāo)運(yùn)算則

有.+a2={%]+%2，乃+乃，石+22）-

2、數(shù)量相乘7a是一個(gè)向量，其模|/la|=風(fēng)冏，而方向規(guī)定

為：若4>0,則幾a與a同向，若4<0,則/la與a反向。

用坐標(biāo)運(yùn)算為：若。={》,）\z},則4a={雙卷，句。

【注】AO=0,0a=0o

3、向量的數(shù)量積（點(diǎn)積，內(nèi)積）是一個(gè)數(shù)，規(guī)定為

ava2=㈤同cos。,。是四，與鬼的夾角，用坐標(biāo)運(yùn)算則有

%%=xtx2+y1y2+ztz2，兩個(gè)向量的夾角是指不超過〃的

那個(gè)角。

4、向量的向量積（叉積，外積）6xa2是一個(gè)向量，其模

a”％=聞％加46是%,%的夾角，其方向規(guī)定為與

四，%都垂直且囚，%,a1xa2符合右手系，用坐標(biāo)作

iJk

運(yùn)算為%*。2=占％Z1

々

5、混合積三個(gè)向量/，%的混合積(，，%，%)是

a2,

一個(gè)數(shù)，規(guī)定為(四，%)=(①義%＞。3，用坐標(biāo)做運(yùn)

a2,

王必z,

算就是(四，。

a2,a3)=x2y2z2

尤31工3Q

(二)、運(yùn)算法則

1、加法與數(shù)乘

a+/3=/3+a(a+/)+/=&+(/+7)

〃〃a)=(4〃)a(A+〃)a=4a+

〃a+/)=4a+羽O+a=a

a+(-a)=0\a=a

2、數(shù)量積

(a+=a7+的(4a)4=4(明)

3、向量積

ax°=_°xa(A?)x(3=A(?x(3)

ax('+7)=ax〃+ax/axa=0

4、混合積

(a,B，/)=(/?,/,a)=(4a,價(jià)

(a,a,6)=(a,J3,a)=(a,4，尸)=0

(a,p,/)=Sa,7)(Aa,p,7)="a/,/)

a1+a2,/3,y)=(ofj,/3,a)+(a2,p,y)

(三)、幾何應(yīng)用

1、加法與數(shù)乘

（1）建立坐標(biāo)系；建立直線方程；建立平面方程。

（2）過點(diǎn)尸。,方向向量為S的直線的方程是廠-6=抬

（3）過點(diǎn)Po,與（4，4不平行）都平行的平面的方程是

r-r0=ttUt+t2U2

2、數(shù)量積

（1）求模冏=",進(jìn)而可求兩點(diǎn)距離；

（2）求兩個(gè)向量的夾角6,進(jìn)而可求兩條直線、直線與平面、兩

個(gè)平面之間的夾角；

（3）判定垂直：四_L4o%4=0,進(jìn)而可證兩條直線、兩個(gè)

平面的垂直關(guān)系，以及直線與平面的平行關(guān)系；

（4）建立平面方程（點(diǎn)法式）：萬.（7-4）=0

3、向量積

（1）求平行四邊形（三角形）面積，進(jìn)而可求點(diǎn)到直線的距離

xS

d=--7—.----------

間

（2）求兩個(gè)平面交線的方向向量S,從而可把直線的一般方程化

為直線的標(biāo)準(zhǔn)方程。設(shè)這兩個(gè)平面的法向量分別是々和〃2,則交

線L與〃I，〃2都要垂直，故可取S=〃[X〃2。

（3）判斷平行：

ajla2<=>?1xa2=0<=>—=—=—（坐標(biāo)成比例，

/y2Z2

%=（*八力，Zj），j=l，2）

=存在實(shí)數(shù)4，使得=4a2或%=4al

4、混合積

（1）判斷三個(gè)向量（或四個(gè)點(diǎn)）是否共面，進(jìn)而可建立平面方程

（2）判斷共面:

向量名={馬,弘,?},a2={x2,y2,z2},4={*3，％，為}共面

=混合積（?|,%，%）=0

xxx2x3

0%J2%=0

Z

Z]2Z3

=存在不完全為零的數(shù)號,心水3，使得曷/+k2a2+k3a3=0

（3）若q=｛X”匕,2）,力=｛豕2黑,22｝不平行，則過點(diǎn)

尸o（Xo，y0,Zo）與■，氏都平行的平面的方程是（晤,〃,力）=0,

x-Xoy-y0z-z0

用坐標(biāo)表示，則X\YxZ,=0

*2y2z2

（4）求平行六面體的體積（亦可求四面體），進(jìn)而可求點(diǎn)到平面

的距離及兩條異面直線公垂線的長.

（5）設(shè)平面n經(jīng)過點(diǎn)尸“5與凡是平面n上兩個(gè)不平行的向量,

舄是平面n之外的一點(diǎn)，以I/”。2,而為棱構(gòu)造平行六面體，

則底面17”凡上的高就是點(diǎn)尸2到平面n的距離d.同時(shí)，若直線

4經(jīng)過點(diǎn)4，方向向量是心，直線心經(jīng)過點(diǎn)22，方向向量是鞏，

那么4,匕是異面直線，d是公垂線的長，且

（朋,兄,巴）

d=—；------；—（7.12）

小力|

（6）可建立異面直線公垂線的一般方程

1（^P,t71,￡71xtZ2）=O,

[（虧,l/2，U|XU2）=0

四、平面方程、直線方程

（-）平面方程

1、平面方程的基本形式

（1）點(diǎn)法式A（x-xo）+B（y-yo）+C（z-Zo）=0>

（2）一般式Ax+By+Cz+D=O（A,B,C不全為零）

(3)向量式r-r0=t}U}+t2U2,其中？=0M,r=OP,P是

平面II上任意一點(diǎn)；

x=X/]+X2t2+x0

（4）參數(shù)式<y=Y/]+Y2f2+先

z=Z11+Z2t2+z（）

2、確定平面方程的兩個(gè)基本思路

（1）如已知平面n上一點(diǎn)“（/,打，10）以及平面n的法向量

〃={A,B,C},則平面n被完全確定，它的方程是

/l（x-xo）+B（y-yo）+C（z-zo）=O

（2）如已知平面n上一點(diǎn)〃（丸,》0,4））以及平面n平行的兩個(gè)

不貢獻(xiàn)的向量q={x,y”zj,U2={X2,Y2,Z2},則平面n被完

全確定。

（-）直線方程

1.直線方程的基本形式

4]%+修7+C]Z+R=0,

（1）一般式（交面式）

A2X+B2y+C2z+￡>2=0,

其中（A，g,G）與（4，%。2）不平行;

x=x0+tl,

（2）參數(shù)式y(tǒng)=y0+tm,

z=z0+tn;

（3）對稱式（標(biāo)準(zhǔn)式）-也==-1

Imn

2.確定直線方程的兩個(gè)基本思路

（1）兩個(gè)不平行的平面相交于一條直線

（2）已知直線L上一點(diǎn)M（x0,yn,z0）以及直線L的方向向量

S=（/,〃?,〃）可確定直線

五、平面直線之間的相互關(guān)系與距離公式

（一）兩個(gè)平面間的關(guān)系

設(shè)n[：A]X+B]y+Gz+D|=0,fl2：&》+Jy+CzZ+O2=°，貝汁

A=旦=_G_工R

(1)口2宗

B2C2D2

(2)FI]_LFLo%.Ln20AA++Gg=°；

（3）幾與n?的夾角e（法向量間夾角，指不大于90°的）

cos0=卜+4層+℃|______

同國JA：+B：+C：E+&2+C；

（二）兩條直線間的關(guān)系

。一月二

設(shè)4:2出Z-Z]三"=01==1,則

11mx"i/2m2n2

(1)LJ/L,oSJ/S,即上="=五且(XQ”Z1)不滿足L,

l2tn2n2

的方程；

(2)L,±L2<=>S,±S2即/|，2+加〃2+〃l〃2=°；

(3)4與人間的夾角，(方向向量間夾角，指不大于90°的)

cos0==廠卬2+叱^+〃同

22

+〃?j+“j+m2+n2

(三)直線與平面的關(guān)系

設(shè)L:士&=匕&=匚且,口：—+為+。2+。=0,貝1」

Imn

(1)乙〃n=S_L〃,Al4-Bm4-CH=0,HAx04-By0+Cz0+￡>^0

ARC

(2)LJ_n=S〃〃，一=—=—；

Imn

(3)L與nD的夾角6=/-(S與〃的夾角)：

\AlBm+Cn\

sin0=/1—1.

dA2+B?+C?J產(chǎn)+〃?2+/

（四）平面束方程

通過直線“丁+%'+）+，］2的平面束方程是

gx++C2z+。2=0

+8|y+Gz+。］）+4（42%+斗丁+。2［+。2）=0,其中Z4是

不同時(shí)為零的任意常數(shù)。

（五）關(guān)于距離的坐標(biāo)計(jì)算公式

（1）兩點(diǎn)尸］（項(xiàng),月,芍）,鳥*2，力，22）間的距離

222

d=g=7（x2-X］）+（y2-^!）+（z2-z,）.

（2）點(diǎn)與“0，先為）到直線L：三也且的距離是

Imn

ijk

x「XoyfZ|-Zo

/J（X|yo，Z|-Zo）x（/,"2,〃）|_I〃z〃

|U，九,〃）|yll2+m2+n2

（3）點(diǎn)心（%,光心）到平面0：4+的+0+。=0的距離為：

|Ax0+By,,+Cz0+p\

^A2+B2+C2

六、常用二次曲面的方程及其圖形

（一）球面

設(shè)玲（Xo，yo，z（））是球心，R是半徑，P（x,y,z）是球面上任意

一點(diǎn)，則|耳目=凡即（》一彳0）2+3-凡）2+仁一名（））2=廢.

（二）旋轉(zhuǎn)曲面

設(shè)L是xOz平面上一條曲線，其方程是［/*，z）=0，，心繞名

y=0.

軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)P（x,y,z）是旋轉(zhuǎn)面上任一點(diǎn)，由點(diǎn)

玲(Xo，y()，Zo)旋轉(zhuǎn)而來(點(diǎn)M(O,O,Z)是圓心)。

22

由聞=|何外卜|MP|=yjx+y,za=z得旋轉(zhuǎn)面方程是

f(+y/x2+y2,z)=0;

或由參數(shù)方程x=/(f),y=g(f),z=〃0)?€(。,萬)),，得旋轉(zhuǎn)面的

X=⑺+g2?)cose

參數(shù)方程，y=J/2(f)+g2(f)sin6a<t</3,G<6<27r

Z=h(t)

(三)柱面

r是一條空間曲線，直線L沿「平行移動(dòng)所產(chǎn)生的曲面叫柱面,

「稱為柱面的準(zhǔn)線，工叫柱面的母線。

1、準(zhǔn)線方程是「:嚴(yán)?)=。

z=0

母線平行于z軸時(shí)，柱面方程是/(x,y)=0

/M4

母線的方向向量J=(/,機(jī),〃)時(shí)，柱面方程/(x—z,y—z)=0

nn

x=f(t)

2、準(zhǔn)線方程是「:，y=g?)tc(a,0)

Z=h(t)

母線的方向向量是8=(/,〃?,〃)，柱面方程是

-x=/(f)+/w

<y=g(t)+mu(a<t<￡,-8<f<+8)

z=h(t)+nu

(四)二次曲面

曲面方程方程曲面名稱方程

橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面

/+9+/-1

橢圓拋物面雙曲拋物面

單葉雙曲面雙葉雙曲面

二次錐面橢圓柱而

雙曲柱面拋物柱面

七、空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影

設(shè)「是一條空間曲線，n是一張平面，對于「上任意一點(diǎn)尸，

令n（p）是點(diǎn)P在平面n上的投影點(diǎn),所有投影點(diǎn)的集合稱為r在

平面n上的投影曲線。而垂線所構(gòu)成的曲面是以「為準(zhǔn)線的柱面,

稱為「到n的投影柱面。

1、O消去％得到例x,y）=。這是以「為準(zhǔn)線，母

g（x,y,z）=O

線平行于Z軸的柱面方程。而是「在xoy平面的投影

2=0

曲線方程。

x=f(t)x=/Q）

2、rJy=g(f)則y=g?）是「在my平面的投影曲線方

z=h(t)z=0

程。

SECTIONEIGHT多元函數(shù)微分學(xué)

一、多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

（一）多元函數(shù)概念

1、二元函數(shù)的定義

（定義8.1）設(shè)。是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對每個(gè)點(diǎn)

P（x,y）eD,按照某一對應(yīng)規(guī)則/,變量Z都有一個(gè)確定的值與之

對應(yīng)，則稱z是變量的二（或z=/（P））.。稱為該函數(shù)的

定義域，數(shù)集｛zlz=/(x,y),(x,y)e￡>｝稱為該函數(shù)的值域。

2、二元函數(shù)的幾何意義

空間點(diǎn)集｛(x,y,z)z=/(x,y),(x,y)e￡)｝為二元函數(shù)

z=/(x,y)的圖形,通常它是一張曲面。曲面z=/(x,y)與平面z=C

的交線在Oxy平面上的投影曲線：/(x,y=C)稱為z=的等

高線。

3、一元函數(shù)與多元函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

(1)一元函數(shù)是二元函數(shù)的特殊情形：讓一自變量變動(dòng)，另一自

變量固定，或讓(x,y)沿某曲線變動(dòng)，

(2)一元函數(shù)中，自變量x代表直線上的點(diǎn)，只有兩個(gè)變動(dòng)方向，

而二元函數(shù)中，自變量(x,y)代表平面上的點(diǎn)，它有無數(shù)個(gè)變動(dòng)方

向。

(3)一元函數(shù)y=/(x)(a<x<b),也可以看成二元函數(shù)，其定義

域是:a<x</?,-?<><y<+°°.

(-)二元函數(shù)的極限

1、二元函數(shù)極限定義

(定義&2)設(shè)函數(shù)/(X,)，)在開區(qū)或閉區(qū)域D有定義，M)(x0,y。)

是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)。lim/(x,y)=A或lim/(x,y)=A

人一而(x,y)T(S，)b)

即Ve>0J正數(shù)6當(dāng)(x,y)e。，0<『+(y_y°)2<3

時(shí),有|/(x,y)-A|<￡

注意：這里的極限過程是點(diǎn)(x,y)在D內(nèi)趨于點(diǎn)(%,%),它可以

按任何方式沿任意曲線趨于(%,凡)。

極限與無窮小的關(guān)系：

,Jim/(x,y)=AQ/(x,y)=A+a(x,y)((x,y)T(Xo，yJ),

其中a(x,y)=o(l)是無窮小((x,y)->Go，%)),即

limyr(x,y)=0

(x,yj(xo,九)

2、二元函數(shù)與一元函數(shù)有相同的極限原算法則與極限性質(zhì)

求二元函數(shù)的極限常用方法：直接用極限運(yùn)算法則，或通過

適當(dāng)放大縮小法，變量替換法轉(zhuǎn)化為求簡單的極限或一元函數(shù)的

極限。

3、二元函數(shù)z=/(x,y)極限的不存在問題

證明lim/(x,y)不存在的方法：當(dāng)(x,y)沿不同路徑趨于

XT"。

(%0，>0)時(shí)/(x,y)趨于不同的值或(X,y)沿某路徑趨于人,凡)時(shí)

f(x,y)趨于8,則lim/(x,y)不存在。

y-?y0

(三)二元函數(shù)的連續(xù)性

1、二元函數(shù)連續(xù)性定義

(定義8.3)設(shè)z=/(x,y)定義在區(qū)域D上,po&,io)』。是D

內(nèi)一點(diǎn)或邊界點(diǎn)。若lim/(x,y)=/(x(),yo),則稱/(x,y)在

點(diǎn)々連續(xù)，若/(x,y)在D每一點(diǎn)上連續(xù)，則稱/(x,y)在D連續(xù)。

2、判斷二元函數(shù)連續(xù)性與一元函數(shù)有相同的方法

二元初等函數(shù)在其定義域上連續(xù)

3、二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)z=/(x,y)也有相應(yīng)的性質(zhì)：

定理&1(保號性)設(shè)1=/(元》)在加0(%,〉0)連續(xù)，/(xo,yo)>O,

22

則0,當(dāng)(x,y)et/(A/0,^)={(x,y)|(x-x0)+(y-y0)<〃}且

(x,y)e。時(shí),/(x,y)>0

定理8.2(最大值最小值定理)設(shè)z=/(x,y)在有界閉區(qū)域D

上連續(xù)，則它在D上一定有最大值和最小值，即三%,加26。，使

得對VMeD,有/(%)《/(〃)</(M)

其中,為f(x,y)在D上的最大值,/(加2)為/(3,)，)在。上

的最小值。

定理8.3(中間值定理)設(shè)z=/(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，

VM”也e。,/(限)<4</(%)，在D中至少存在一點(diǎn)Mo，使

得/M)=〃

二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分

(一)偏導(dǎo)數(shù)概念

1、偏導(dǎo)數(shù)的定義

定義8.4設(shè)有二元函數(shù)z=/(x,y),若存在，〃乂外1『

或，"與’刈產(chǎn)先稱它為1=/(元〉)在(%0，%)處對X3的偏導(dǎo)

數(shù)，記為中;中或第…||,,,,Z；(…)

或都%，"),條屋),Z；(%0.%)

按定義有

司(%，%)=Um/(/+—,％)/(x。,%),

dx-Ax

冽

/，>0_/(x0,y0+Ay)_/(x0,y0)

~-11III

dyAy—oAy

2、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

叫廣。)即曲面z=/(x,y)與平面y=打的交線在點(diǎn)

OX

加。(%,%,/(飛,%))處的切線斜對》軸的斜率；仆命即曲

dy

面與平面的交線在點(diǎn)處

z=/(x,y)x=x()M0(x0,y0,/(x0,y0))

的切線對軸的斜率。

3、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

（1）求偏導(dǎo)數(shù)，歸結(jié)為求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（2）求=［乎［尸飛在（…）處的偏導(dǎo)

1/（x,y）=（Xo，M））

數(shù)的方法：

方法1按定義：

寸（0'%）_I：一/（X+Ax,y）_g（Xo+Ar,%）_A

—nriioo—nm；

dx加TOAr-Ar

類似地求辿㈤

dy

方法2在連續(xù)的條件下求偏導(dǎo)數(shù)的極限

當(dāng)x=U。（X。⑶時(shí)，y）在/（x,y。）存在偏導(dǎo)數(shù)嗎⑷，

OX

/（x,y0）對x在x=x（）連續(xù)；若Hm?（：.'o）=§,則

X一廂dx

"（玉"。）=8,對嗎㈤有類似討論。

oxdy

（二）、可微性、全微分及其幾何意義

1、可微性于全微分的定義

定義&5若函數(shù)z=/（x,y）在點(diǎn)Moko，%）處的全增量

Az=/（x+Ax,y+Ay）-/（x0,y0）可表為Az=AAx++°（/?）

（/?->0）其中A,B不依賴于Ar,Ay,僅與有關(guān)，p=7Ar2+Ay2,則

稱函數(shù)Z=/（x,y）在點(diǎn)%（x。,%）可微，AAx+6Ay稱為

z=/（x,y）在點(diǎn)M）Ho，>o）的全微分,記作以1弧,v。）W|（而，打）等。

當(dāng)1=/（x,y）在點(diǎn)M）（x,凡）可微時(shí)

中（Xo，y0）Ar+中（3，%）△好句小O'%）dx+可（為,%）dy

dxdydxdy

其中規(guī)定自變量x與y的微分dx=Ax,dy=Ay

2、全微分的幾何意義

Z=f（x,＞,）在點(diǎn)（x（）,打）的全微分在兒何上表示全面

z=f（x,y）在點(diǎn)（%,%,/（小,%））處切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量。

（三）偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性-函數(shù)可微性-可偏導(dǎo)性與

函數(shù)連續(xù)性之間的關(guān)系

若Z="X,），）在（4，券）存在可（篇。）與嗎:。），稱

/（x,y）在（小,%）可偏導(dǎo)。

偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性-函數(shù)可微性-可偏導(dǎo)性與函數(shù)連續(xù)性之間的關(guān)

系如下：

定理&4察，學(xué)在〃。（二，光）連續(xù)nz=/（x，y）在“（）（,,先）

oxdy

可微，/（/+Ax,%+△）＞）-/（%,%）=AAr+B\y+o[p}

（p-?0）/?=J"+4/

偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

u

連續(xù)u可微二＞可偏導(dǎo)

（四）高階偏導(dǎo)數(shù)、混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)問題

設(shè)函數(shù)z=f（x,y）在區(qū)域。內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)：

生==八，它們在。內(nèi)均是x,y的函數(shù)。如果這兩函數(shù)的偏

dxdy

導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是z=/(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

按對變量求導(dǎo)次序的不同，有下列4個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):

‘次、

=/\(x,y),

dxdydx

其中票與M稱為混合偏導(dǎo)數(shù)。

oxoyoyox

類似可定義三階，四階以及〃階偏導(dǎo)數(shù)。對不同變量求導(dǎo)的高階

偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)。

定理&5若函數(shù)z=/(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)票，

oxdy

點(diǎn)在點(diǎn)(%,y。)均連續(xù)，則它們相等，即去=存

oyoxdxoy辦dx

對于其他高階混合偏導(dǎo)數(shù)，也有類似【定理8.5】的結(jié)論

(五)多元函數(shù)為常數(shù)的條件

1設(shè)/(x,y)在區(qū)域。上滿足4=02=OW(x,y)e。則在區(qū)域。

dxdy

為常數(shù)。

2設(shè)z=/(x,y)定義在全平面上。

若y=0,貝I」〃x,y)=0(y)；若"=0則/(x,y)=〃(x)；其中

axay

0(y),〃(x)均為任意的一元函數(shù)。

三、多元函數(shù)微分法則

(-)全微分四則運(yùn)算法則

u="(x,y),v=v(x,y)在(x,y)可微，d(u±v^=du+dv

d(MV)=vdu+udv;d(cu)=cd”,c為常數(shù)；

"D=-”dv)(nW0)。

(-)多元復(fù)合函數(shù)的微分法則

由于多元復(fù)合函數(shù)的情形是多種的，所以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

的形式也多種多樣。

1、多元函數(shù)與一元函數(shù)的復(fù)合

定理8.6設(shè)x=x(f),y=y(f),z=z(。在f可導(dǎo)，“=/(x,y,z)在

對應(yīng)點(diǎn)(x,y,z)=(x(f),y(f),z?))可微，則復(fù)合函數(shù)

“=小”刈,z(f))Q可導(dǎo)，且生篝+冬冬+翳，

v,dtdxdtdydtdzdt

這里也把也稱為全導(dǎo)數(shù)。

dt

2、多元函數(shù)與多元函數(shù)的復(fù)合

定理8.7設(shè)“=0(%,)，),丫=〃(羽》)在點(diǎn)(%,〉)有對的偏導(dǎo)

數(shù)，%=/(〃,=在對應(yīng)點(diǎn)(w,v)=(0(x,y),〃(x,y))可微,則

Z=/(夕(羽)),—(匕)))在點(diǎn)(》,〉，)有對工產(chǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，且

Hz_吊加+吊加dz_dfdu^dfdv

dxdudxdvdx'dydudy3vdy

設(shè)1==0(x,y),v=〃(x,y)都有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

z=〃0(x,y),〃(x,y))在點(diǎn)(x,y)出的全微分仍可表為

么=%八+學(xué)點(diǎn).(一階全微分形式的不變性)

duOV

類似地，z=="(x,y),u=v(x,y),w=w(x,y),

則它們的復(fù)合函數(shù)Z=/(〃億田^仁丁)卬仁丁力在點(diǎn)(x,y)的偏

導(dǎo)數(shù)為區(qū)=久西+理如+直1如次=/加?5、a、茍川

dxdudxdvdxdwdx'dydudydvdydwdy

設(shè)z=/（〃,％卬），為了方便，我們常用/I表示“〃,匕卬）

對第一個(gè)變量M的偏導(dǎo)數(shù)，類似地

產(chǎn)_曲廠_環(huán)產(chǎn)_a2