07年高考數(shù)學(xué)(理科)試卷及答案(湖南卷)

07年高考數(shù)學(xué)(理科)試卷及答案(湖南卷)LtD2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)等于（）A．B．C．D．2．不等式的解集是（）A． B．C． D．3．設(shè)是兩個(gè)集合，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件4．設(shè)是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有A．B．C．D．13．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是。14．設(shè)集合，，，（1）的取值范圍是；（2）若，且的最大值為9，則的值是。15．將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第次全行的數(shù)都為1的是第行；第61行中1的個(gè)數(shù)是。三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，。（I）設(shè)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，求的值；（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。17．（本小題滿分12分）某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響。（I）任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；（II）任選3名下崗人員，記為3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布列和期望。18．（本小題滿分12分）如圖2，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，，并連結(jié)，使得平面平面，，且。連結(jié)，如圖3。（I）證明：平面平面；（II）當(dāng)，，時(shí)，求直線和平面所成的角。19．（本小題滿分12分）如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點(diǎn)到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用。從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬(wàn)元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬(wàn)元/km．當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為km（）時(shí)，其造價(jià)為萬(wàn)元。已知，，，。（I）在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最??；（II）對(duì)于（I）中得到的點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最??；（III）在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論。20．（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)。（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。21．（本小題滿分13分）已知（）是曲線上的點(diǎn)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，…。（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增。2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C2．D3．B4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在橫線上。11．12．13．14．（1）（2）15．，32三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．（本小題滿分12分）解：（I）由題設(shè)知因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以，即（）。所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，（II）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）17．（本小題滿分12分）解：任選1名下崗人員，記“該人參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，．（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過(guò)一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是該人參加過(guò)兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是（II）因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，，，即的分布列是01230.0010.0270.2430.729的期望是（或的期望是）18．（本小題滿分12分）解：解法一：（Ｉ）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)由（I）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，故因?yàn)椋?，所以可在上取一點(diǎn)，使，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形由題設(shè)，，，則所以，，，因?yàn)槠矫?，，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（I）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，從而．又，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．（II）由（I）可知，平面．故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，，，則，，，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得故可取過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，于是點(diǎn)在軸上因?yàn)椋?，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是19．（本小題滿分12分）解：（I）如圖，，，，由三垂線定理逆定理知，，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設(shè)，．則記總造價(jià)為萬(wàn)元，據(jù)題設(shè)有當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)最小（II）設(shè)，，總造價(jià)為萬(wàn)元，根據(jù)題設(shè)有則，由，得當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)，即（km）時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬(wàn)元（III）解法一：不存在這樣的點(diǎn)，事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，為使總造價(jià)最小，顯然不能位于與之間，故可設(shè)位于與之間，且=，，，總造價(jià)為萬(wàn)元，則．類似于（I）、（II）討論知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)，，取得最小值，點(diǎn)分別與點(diǎn)重合，所以不存在這樣的點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)．解法二：同解法一得當(dāng)且僅當(dāng)且，即同時(shí)成立時(shí)，取得最小值，以上同解法一。20．（本小題滿分12分）解：由條件知，，設(shè)，．解法一：（I）設(shè)，則則，，，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即將代入上式，化簡(jiǎn)得當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，于是因?yàn)槭桥c無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以由①②③得④⑤當(dāng)時(shí)，，由④⑤得，，將其代入⑤有．整理得。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程。故點(diǎn)的軌跡方程是。（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，。以上同解法一的（II）。21．（本小題滿分13分）解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得因?yàn)椋寓儆谑洽谟散冢俚芒塾谑洽苡散埽鄣?，⑤所以，即?shù)列是常數(shù)數(shù)列（II）由①有，所以．由③有，，所以，而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，所以，，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)