2020-2021蘇教版數(shù)學(xué)第二冊章末綜合測評4復(fù)數(shù)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材蘇教版數(shù)學(xué)必修第二冊章末綜合測評4復(fù)數(shù)含解析章末綜合測評（四）復(fù)數(shù)（滿分:150分時(shí)間：120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分,滿分40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知a,b∈C，下列命題正確的是()A．3i<5i B．a(chǎn)＝0?｜a|＝0C．若｜a|＝｜b|，則a＝±b D．a(chǎn)2≥0B［A選項(xiàng)中，虛數(shù)不能比較大小;B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)中,當(dāng)a，b∈R時(shí)，結(jié)論成立，但在復(fù)數(shù)集中不一定成立，如|i|＝eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2）＋\f(\r（3)，2)i)）,但i≠－eq\f(1，2）＋eq\f(\r(3），2）i或eq\f(1，2）－eq\f（\r(3),2）i；D選項(xiàng)中，當(dāng)a∈R時(shí)結(jié)論成立，但在復(fù)數(shù)集中不一定成立，如i2＝－1<0。]2．若復(fù)數(shù)z滿足（3－4i)z＝|4＋3i｜，則z的虛部為()A．－4B．－eq\f（4，5)C．4D．eq\f（4，5）D［因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足（3－4i）z＝｜4＋3i|,所以z＝eq\f（|4＋3i｜,3－4i)＝eq\f（5，3－4i）＝eq\f(53＋4i，25)＝eq\f(3，5)＋eq\f(4，5)i，故z的虛部等于eq\f(4,5）。]3．z1＝(m2＋m＋1）＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2"的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A［因?yàn)閦1＝z2，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m2＋m＋1＝3，,m2＋m－4＝－2，）)解得m＝1或m＝－2，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件．]4．如圖,在復(fù)平面上，一個正方形的三個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋2i，－2＋i,0，那么這個正方形的第四個頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（)A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3iD[eq\o(OC，\s\up8（→））＝eq\o（OA，\s\up8（→）)＋eq\o（OB,\s\up8(→）)＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i,所以C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋3i.］5．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(z－i）)＝1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（x，y)，則(）A．（x＋1）2＋y2＝1 B．（x－1）2＋y2＝1C．x2＋（y－1)2＝1 D．x2＋（y＋1)2＝1C[由題意得z＝x＋yi,z－i＝x＋（y－1)i，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z－i)）＝eq\r（x2＋y－12）＝1,則x2＋(y－1)2＝1.故選C．］6．若1＋x＋x2＝0，則1＋x＋x2＋…＋x100＝(）A．0 B．1C．－eq\f（1,2)±eq\f(\r(3），2）i D．eq\f（1,2)±eq\f（\r（3),2）iD［因?yàn)?＋x＋x2＝0，所以x＝－eq\f(1，2）±eq\f(\r(3）,2）i，又1＋x＋x2＋…＋x100＝1＋x＋x2（1＋x＋x2)＋…＋x98(1＋x＋x2)＝1＋x＝1＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2）±\f（\r（3），2）i））＝eq\f（1,2）±eq\f（\r(3)，2）i.］7．復(fù)數(shù)2＋i與復(fù)數(shù)eq\f（1，3＋i）在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)分別是A，B，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠AOB等于（)A．eq\f(π，6) B．eq\f（π，4)C．eq\f(π，3） D．eq\f(π,2）B［∵eq\f(1,3＋i）＝eq\f(3－i,3＋i3－i)＝eq\f(3,10）－eq\f(1,10）i，∴它在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，10），－\f（1，10））)，而復(fù)數(shù)2＋i在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)是A（2，1),顯然AO＝eq\r（5)，BO＝eq\f(\r(10),10）,AB＝eq\f（\r(410)，10)。由余弦定理得cos∠AOB＝eq\f（AO2＋BO2－AB2,2AO·BO）＝eq\f（\r（2),2），∴∠AOB＝eq\f（π，4）。故選B．]8．設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A．若zeq\o\al（2，1)＋zeq\o\al（2,2）＞0，則zeq\o\al(2，1）＞－zeq\o\al(2,2)B．｜z1－z2｜＝eq\r(z1＋z22－4z1z2）C．zeq\o\al（2，1)＋zeq\o\al(2，2)＝0?z1＝z2＝0D．z1－eq\x\to(z1）是純虛數(shù)或零D[舉例說明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，則zeq\o\al(2，1)＝15＋8i，zeq\o\al(2，2）＝－8i，zeq\o\al（2,1）＋zeq\o\al（2，2）＞0，但zeq\o\al（2,1)與－zeq\o\al(2,2)都是虛數(shù)，不能比較大小，故A錯；因?yàn)閨z1－z2|2不一定等于（z1－z2）2，故｜z1－z2｜與eq\r(z1＋z22－4z1z2)不一定相等，B錯；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，則zeq\o\al(2,1)＝3＋4i，zeq\o\al（2,2）＝－3－4i，zeq\o\al（2,1)＋zeq\o\al（2，2）＝0,但z1＝z2＝0不成立，故C錯;設(shè)z1＝a＋bi（a，b∈R），則eq\x\to（z）1＝a－bi,故z1－eq\x\to(z）1＝2bi，當(dāng)b＝0時(shí)是零,當(dāng)b≠0時(shí)，是純虛數(shù)．故D正確．]二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分,共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分,部分選對得3分，有選錯的得0分)9．已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，則下列關(guān)系中一定正確的是（)A．|eq\x\to（z）｜＝｜z| B．z·eq\x\to（z）≥0C．eq\x\to（z）＋z∈R D．若eq\x\to（z）＝z，則z2≥0ABCD[設(shè)z＝x＋yi，(x，y∈R），則eq\x\to（z)＝x－yi，所以，｜eq\x\to(z)|＝｜z|＝eq\r(x2＋y2)，z·eq\x\to(z)＝(x＋yi）(x－yi)＝x2＋y2≥0，eq\x\to（z)＋z＝2x∈R，所以ABC正確;因?yàn)閑q\x\to(z）＝z,所以y＝0,所以z2＝x2≥0，所以D正確，故選ABCD．]10．復(fù)數(shù)z＝a－1＋3ai（i為虛數(shù)單位，a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z可能經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限ABC［因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z(a－1,3a)始終在直線3x－y＋3＝0上，因?yàn)樵撝本€經(jīng)過第一、二、三象限，所以故選ABC．］11．如果復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i),則下面正確的是（)A．z的共軛復(fù)數(shù)為－1＋iB．z的虛部為－1C．|z|＝2D．z的實(shí)部為－1ABD[因?yàn)閦＝eq\f(2,－1＋i）＝eq\f(2－1－i，－1＋i－1－i）＝eq\f（－2－2i,2）＝－1－i，所以z的實(shí)部為－1，共軛復(fù)數(shù)為－1＋i，故選ABD．]12．在復(fù)平面內(nèi)，下列命題是真命題的是(）A．若復(fù)數(shù)z滿足eq\f（1,z）∈R，則z∈RB．若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈RC．若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2∈R，則z1＝eq\x\to（z2)D．若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\x\to(z）∈RAD［對于A．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R)，則eq\f（1,z）＝eq\f(1,a＋bi）＝eq\f（a－bi，a＋bia－bi）＝eq\f（a,a2＋b2)－eq\f（b,a2＋b2)i,若eq\f(1,z)∈R,則b＝0，所以z＝a∈R，故A真命題；對于B．若復(fù)數(shù)z＝i，則z2＝－1∈R，但z?R，故B假命題；對于C．若復(fù)數(shù)z1＝i，z2＝2i滿足z1z2＝－2∈R，但z1≠eq\x\to（z）2，故C為假命題；對于D．若復(fù)數(shù)z＝a＋bi∈R，則b＝0,eq\x\to（z）＝z∈R，故D為真命題.故選AD．］三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．設(shè)a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i，1－2i）（i為虛數(shù)單位）,則a＋b的值為________．8［a＋bi＝eq\f（11－7i，1－2i)＝eq\f（11－7i1＋2i，1－2i1＋2i)＝eq\f（25＋15i，5)＝5＋3i，依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得a＝5,b＝3。從而a＋b＝8.］14．已知復(fù)數(shù)z1＝1－i，z2＝4＋6i(i為虛數(shù)單位），則eq\f(z2，z1)＝________；若復(fù)數(shù)z＝1＋bi（b∈R)滿足z＋z1為實(shí)數(shù)，則|z｜＝________。(本題第一空2分,第二空3分）－1＋5ieq\r（2)[因?yàn)閦1＝1－i，z2＝4＋6i，所以eq\f(z2,z1）＝eq\f（4＋6i，1－i）＝eq\f(4＋6i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f（－2＋10i,2)＝－1＋5i。因?yàn)閦＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋（b－1)i,又因?yàn)閦＋z1為實(shí)數(shù)，所以b－1＝0，得b＝1.所以z＝1＋i，則|z|＝eq\r（2）。]15．向量eq\o（OZ,\s\up8（→））對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋i，把eq\o（OZ,\s\up8(→）)繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到eq\o（OZ1，\s\up8(→)）.則向量eq\o(OZ1,\s\up8（→））對應(yīng)的復(fù)數(shù)的幅角主值為__________eq\f（π,4)［向量eq\o(OZ1，\s\up8(→）)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為eq\f(－1＋i，cos90°＋isin90°)＝eq\f（－1＋i，i)＝－（－1＋i）i＝1＋i＝eq\r（2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f(π，4）＋isin\f(π,4）))。所以該幅角主值為eq\f(π,4).]16．若關(guān)于x的方程x2＋（2－i)x＋（2m－4)i＝0有實(shí)數(shù)根，則純虛數(shù)m＝________。4i[設(shè)m＝bi（b∈R且b≠0），則x2＋(2－i）x＋(2bi－4)i＝0，化簡得(x2＋2x－2b）＋(－x－4)i＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋2x－2b＝0，，－x－4＝0，））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－4，,b＝4,）)∴m＝4i。］四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(本小題滿分10分）計(jì)算：（1）（eq\r（2）＋eq\r（2）i）2（4＋5i）；(2）eq\f（2＋2i，1－i2)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r(2)，1＋i)））eq\s\up12（2020）；（3）eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π，6）＋isin\f(π,6)）)））eq\s\up12(－5)。［解］（1）（eq\r(2）＋eq\r(2)i)2(4＋5i）＝2（1＋i）2(4＋5i)＝4i（4＋5i)＝－20＋16i.(2）eq\f（2＋2i，1－i2)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2),1＋i）））eq\s\up12（2020）＝eq\f（2＋2i,－2i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2,2i)))eq\s\up12（1010）＝i（1＋i）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,i)））eq\s\up12（1010）＝－1＋i＋(－i）1010＝－1＋i－1＝－2＋i.（3）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f（π,6)＋isin\f（π,6）)））)eq\s\up12(－5）＝eq\f(1，\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（2\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（cos\f(π，6）＋isin\f(π，6））)))eq\s\up12（5))＝eq\f（1，25\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos\f(5，6）π＋isin\f(5,6）π）))＝eq\f（cos0＋isin0,32\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f(5π，6)＋isin\f（5π，6)））)＝eq\f(1，32)eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（5π,6））)＋isin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6))）））＝－eq\f（\r（3),64)－eq\f（1,64)i。18．（本小題滿分12分)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝（k2－3k－4）＋(k2－5k－6)i是（1）實(shí)數(shù)；（2)虛數(shù)；(3）純虛數(shù)；(4)0。[解］（1)當(dāng)k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1時(shí)，z是實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)k2－5k－6≠0,即k≠6且k≠－1時(shí)，z是虛數(shù)．(3)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k2－3k－4＝0,,k2－5k－6≠0,))即k＝4時(shí)，z是純虛數(shù)．（4）當(dāng)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k2－3k－4＝0，,k2－5k－6＝0，）)即k＝－1時(shí)，z是0。19．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z＝3＋bi（b∈R），且(1＋3i)z為純虛數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z;(2）若ω＝eq\f（z,2＋i),求復(fù)數(shù)ω的模|ω｜.[解](1)（1＋3i）(3＋bi）＝(3－3b)＋（9＋b）i,∵(1＋3i)z是純虛數(shù)，∴3－3b＝0且9＋b≠0，則b＝1，∴z＝3＋i.（2）ω＝eq\f（z,2＋i)＝eq\f（3＋i，2＋i）＝eq\f（3＋i2－i,2＋i2－i）＝eq\f（7，5）－eq\f(1，5)i?！鄚ω｜＝eq\r(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（7，5))）eq\s\up12（2)＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1，5）))eq\s\up12(2））＝eq\r(2）。20．（本小題滿分12分）已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A,B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈（0，π），設(shè)eq\o(AB，\s\up8(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z。（1)求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)P在直線y＝eq\f（1，2）x上,求θ的值．[解](1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos2θ－1）＝－1－2sin2θ·i。(2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2sin2θ)．由點(diǎn)P在直線y＝eq\f(1,2)x上得－2sin2θ＝－eq\f(1，2），∴sin2θ＝eq\f（1,4），又θ∈(0，π),∴sinθ>0,因此sinθ＝eq\f(1，2），∴θ＝eq\f(π，6)或θ＝eq\f(5，6)π.21．（本小題滿分12分）已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i,向量eq\o(BA,\s\up8(→））對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i,向量eq\o(BC,\s\up8（→））對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i。(1)求點(diǎn)C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù);（2)求?ABCD的面積．［解]（1）∵向量eq\o（BA,\s\up8（→）)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量eq\o（BC，\s\up8（→））對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，∴向量eq\o(AC，\s\up8(→））對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（3－i）－（1＋2i)＝2－3i.又eq\o(OC,\s\up8(→））＝eq\o（OA,\s\up8(→））＋eq\o（AC，\s\up8(→）），∴點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（2＋i)＋（2－3i)＝4－2i.∵eq\o(AD，\s\up8(→))＝eq\o(BC，\s\up8(→）)，∴向量eq\o（AD,\s\up8（→)）對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，即eq\o(AD，\s\up8（→)）＝(3，－1)．設(shè)D（x，y），則eq\o（AD，\s\up8(→）)＝(x－2，y－1)＝（3,－1),∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2＝3,，y－1＝－1，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝0,)）∴點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5.（2）∵eq\o（BA，\s\up8(→）)·eq\o（BC，\s\up8（→））＝｜eq\o（BA，\s\up8(→))||eq\o（BC,\s\up8（→)）｜c(diǎn)osB，∴cosB＝eq\f(\o(BA，\s\up8(→)）·\o（BC,\s\up8(→））,｜\o（BA，\s\up8（→））｜|\o(BC,\s\up8(→））｜）＝eq\f(3－2，\r（5)×\r(10))＝eq\f(1,5\r(2））＝eq\f（\r（2),10).∴sinB＝eq\f(7\r(2),10），∴S?ABCD＝｜eq\o（BA，\s\up8(→)）||eq\o(BC,\s\up8（→)）｜sinB＝eq\r(5)