高中數(shù)學(xué)411定積分背景-面積和路程問(wèn)題(一)教案北師大選修22

定積分的背景——面積和行程問(wèn)題教課過(guò)程:一、問(wèn)題引入師：1.求下列圖中暗影部分的面積：師：關(guān)于哪些圖形的面積，大家會(huì)求呢？（學(xué)生回想，回答）師：關(guān)于x0，x1，y0，yx2圍成的圖形（曲邊三角形）的面積如何來(lái)求呢？（一問(wèn)激起千層浪，直截了當(dāng)，讓學(xué)生明確本節(jié)課的所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，關(guān)于學(xué)生未知的東西，學(xué)生常常比較好奇，激發(fā)他們的求知欲）今日我們一同來(lái)研究這種曲邊圖形的面積的求法。二、學(xué)生活動(dòng)與意義建構(gòu)1、讓學(xué)生自己研究，議論（3—4分鐘）2、讓學(xué)生說(shuō)出自己的想法希望學(xué)生說(shuō)出以O(shè)AB的面積近似取代曲邊三角形的面積，但偏差很大，如何減小偏差呢？希望學(xué)生議論得出將曲邊三角形進(jìn)行切割，形成若干個(gè)曲邊梯形。（在議論的過(guò)程中浸透分割的思想）師：如何計(jì)算每個(gè)曲邊梯形的面積呢？（經(jīng)過(guò)議論希望學(xué)生能出以下三種方案，在議論的過(guò)程中，讓學(xué)生想到以直代曲，給學(xué)生創(chuàng)新的時(shí)機(jī)）方案一方案二方案三方案一：用一個(gè)矩形的面積近似取代曲邊梯形的面積，梯形切割的越多，三角形的面積越小，小矩形的面積就能夠近視取代曲邊梯形的面積。方案二：用一個(gè)大矩形的面積來(lái)近似取代曲邊梯形的面積，梯形切割的越多，三角形的面積越小，大矩形的面積來(lái)近似取代曲邊梯形的面積。方案三：以梯形的面積來(lái)近似取代曲邊梯形的面積。（關(guān)于此中的隨意一個(gè)曲邊梯形，我們能夠用“直邊”來(lái)取代“曲邊”（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲），這三種方案是本節(jié)課內(nèi)容的核心，故多花點(diǎn)時(shí)間指引學(xué)生研究，議論得出，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)“以曲代直”的思想，從近似中認(rèn)識(shí)精準(zhǔn)，給學(xué)生研究的時(shí)機(jī)）師：這樣，我們就能夠計(jì)算出隨意一個(gè)小曲邊梯形的面積的近似值，進(jìn)而能夠計(jì)算出整個(gè)曲邊三角形面積的近似值，（乞降），而且切割越細(xì)，面積的近似值就越精準(zhǔn)，當(dāng)切割無(wú)窮變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)窮迫近所求的曲邊三角形的面積。如何求這個(gè)曲邊三角形的面積，以方案一為例：⑴切割細(xì)化將區(qū)間0,1平分紅n個(gè)小區(qū)間0,1，1,2，，i1,i，，n1,n，每個(gè)nnnnnnn區(qū)間的長(zhǎng)度為ii11x軸的垂線，進(jìn)而獲得nxn（學(xué)生回答），過(guò)各個(gè)區(qū)間端點(diǎn)作nn個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作S1，S2，，Si，，Sn。⑵以直代曲1,ifi1i2對(duì)區(qū)間i上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點(diǎn)i1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值1為nnnnn一邊的長(zhǎng)，以x1為鄰邊的長(zhǎng)的小矩形的面積近似取代小曲邊梯形的面積。即nfi2S1xi11innn（當(dāng)切割很細(xì)時(shí)，在i1,i上任一點(diǎn)的函數(shù)值作為矩形的一邊長(zhǎng)都能夠，常取左右端點(diǎn)nn或中點(diǎn)，這樣為此后定積分的定義埋下了伏筆，為學(xué)生的解題供給了方法）⑶作和因?yàn)槊總€(gè)小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，因此n個(gè)小矩形面積之和就是所求曲邊三角形面積S的近似值：nSi（復(fù)習(xí)符號(hào)的運(yùn)用）i1⑷迫近當(dāng)切割無(wú)窮變細(xì)時(shí)，即x無(wú)窮趨近于0（n趨勢(shì)于）當(dāng)n趨勢(shì)時(shí)，11無(wú)窮趨近于1，21無(wú)窮趨近于2，故上式的結(jié)果無(wú)窮趨近于1，nn31，即所求曲邊三角形面積是1。（在迫近的過(guò)程中，難點(diǎn)是求3n213122232nn12n1在此應(yīng)給學(xué)生一些時(shí)間研究自然數(shù)的平方和，6最幸虧講數(shù)列知識(shí)時(shí)增補(bǔ)進(jìn)去。新教材有好多知識(shí)點(diǎn)前后次序編排的有所不當(dāng)，有好多知識(shí)應(yīng)當(dāng)先有伏筆，而不是要用到什么就增補(bǔ)什么，在研究分析幾何中直線部分時(shí)，這個(gè)問(wèn)題也有所表現(xiàn)）3、分紅兩組，分別以方案二、方案三按上述四個(gè)步驟從頭計(jì)算曲邊三角形的面積，并將操作過(guò)程和計(jì)算結(jié)果與方案一進(jìn)行比較。（設(shè)計(jì)的目的是培育學(xué)生的合作溝通的能力，優(yōu)化解題方案）師：請(qǐng)用流程圖表示求曲邊三角形面積的過(guò)程4、反省在求曲邊梯形面積過(guò)程中，你以為最讓你感覺(jué)困難的是什么？（如何切割，乞降迫近是兩大難點(diǎn)）（在新課程的講堂教課過(guò)程中，常常性地問(wèn)學(xué)生一些這樣的問(wèn)題，能夠讓學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程起到一個(gè)自查作用，查漏補(bǔ)缺，對(duì)培育學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自查意識(shí)是一個(gè)很好的門(mén)路，也能夠活躍講堂氛圍）三、數(shù)學(xué)應(yīng)用1、典型例題師：在方案一中，和式fx1xfx2xfxnx（*）表示曲邊梯形的面積的近似值，這一和式不單是有直觀的幾何意義，還有豐富的實(shí)質(zhì)背景。例1：火箭發(fā)射后ts的速度為vt（單位m/s），假設(shè)0t10，對(duì)函數(shù)vt按（*）式所作的和擁有如何的意義？解：將區(qū)間0,10平分紅n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為t，在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，挨次為t1,t2,,ti,,tn，固然火箭的速度不是常數(shù)，但在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)其變化很小，能夠用vt1來(lái)取代火箭在第一個(gè)小區(qū)間上的速度，這樣，vt1t火箭在第一個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)的行程同理

vt2

t

火箭在第二個(gè)時(shí)段內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)的行程進(jìn)而Sn

vt1

t

vt2

t

vti

t

vtn

t火箭在10s內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)的行程總和這就是函數(shù)

vt

在時(shí)間區(qū)間

0,10

上按（*）式所作的和的實(shí)質(zhì)背景。（因?yàn)閷W(xué)生首次碰到這種問(wèn)題，語(yǔ)言表達(dá)比較困難，故教師在教課過(guò)程中最好采納對(duì)話式教課，邊說(shuō)邊寫(xiě)，規(guī)范板書(shū)）例2：如圖，有兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B，電量分別為qA、qB，固定電荷A將電荷B從距A為a處移到距A為b處，求庫(kù)侖力對(duì)電荷B所做的功。先剖析，再讓學(xué)生試試書(shū)寫(xiě)，而后投影解題過(guò)程。（設(shè)計(jì)兩道例題的目的，一是培育學(xué)生的文字表達(dá)能力，二是讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)在物理上的應(yīng)用，也為后邊的定積分的物理意義變力所做的功，變速運(yùn)動(dòng)的位移埋下伏筆）學(xué)生練習(xí)：課本P46練習(xí)四、回首反省知識(shí)點(diǎn)：⑴求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟；⑵數(shù)學(xué)知識(shí)在物理上的應(yīng)用。反省消化：⑴對(duì)今日學(xué)習(xí)的內(nèi)容，你感覺(jué)有什么困難？