4.2.1等差數(shù)列的概念（第2課時）（教學課件） 高二數(shù)學同步備課系列（人教A版2019選擇性必修第二冊）

第4章數(shù)列人教A版2019選修第一冊4.2.1等差數(shù)列的概念（第2課時）01等差數(shù)列實際問題02等差數(shù)列的性質(zhì)目錄學習目標1.能用等差數(shù)列的定義推導等差數(shù)列的性質(zhì).2.能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.3.能用等差數(shù)列的知識解決一些簡單的應用問題.1.等差數(shù)列的定義：2.通項公式：{an}為等差數(shù)列4.等差數(shù)列的判斷an+1-an=dan+1=an+d

an=pn+q(p、q是常數(shù))

an-an-1=d

（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)an

=a1+(n-1)d

由三個數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列,則稱A叫做a與b的等差中項.3.等差中項：這三個數(shù)滿足關(guān)系式：

知識回顧1.等差數(shù)列實際問題例3.某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少.經(jīng)驗表明，每經(jīng)過一年其價值會減少d(d為正常數(shù)）萬元.已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢.請確定d的范圍.

典例

解決等差數(shù)列實際問題的基本步驟(1)將已知條件翻譯成數(shù)學(數(shù)列)問題；(2)構(gòu)造等差數(shù)列模型(明確首項和公差)；(3)利用通項公式解決等差數(shù)列問題；(4)將所求出的結(jié)果回歸為實際問題.2.等差數(shù)列的性質(zhì)

分析：（1）

{an}是一個確定的數(shù)列，只要把a1，a2表示為{bn}中的項，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項公式；（2）設{an}中的第n項是{bn}中的第cn項，根據(jù)條件可以求出n與cn的關(guān)系式，由此即可判斷b29是否為{an}的項.典例

歸納總結(jié)

典例

例5是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，右圖是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？課本練習1.某體育場一角看臺的座位是這樣排列的：第1排有15個座位，從第2排起每一排都比前一排多2個座位.你能用an表示第n排的座位數(shù)嗎?第10排有多少個座位?nanO?1569121518?2????34633.在等差數(shù)列{an}中，an=m，am

=n，且n≠m，求am+n.4.已知數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,公差分別為d1,d2,數(shù)列{cn}滿足cn=

an

+2bn.

(1)數(shù)列{cn}是否是等差數(shù)列?若是,證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求數(shù)列{cn}的通項公式.5.已知一個無窮等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d.(1)將數(shù)列中的前m項去掉,其余各項組成一個新的數(shù)列,這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項和公差分別是多少?(2)依次取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項,組成一個新的數(shù)列,這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項和公差分別是多少?(3)依次取出數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項,組成一個新的數(shù)列,它是等差數(shù)列嗎?你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個猜想嗎?隨堂檢測1.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，則a13＝(

)A．9

B．12C．15D．18AC3.已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則數(shù)列{an＋bn}的第37項為(

)A．0B．37C．100D．－37C2.如果在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(

)A．14B．12C．28D．364.我國古代用日晷測量日影的長度，晷長即為所測量影子的長度．《周脾算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷長損益相同．二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示．相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復始．從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，若測得冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為25.5尺，則冬至日影的長為(

)A．11.5B．12.5C．13.5D．14.5C解：設冬至的日影長為a1，公差為d，則a1＋a4＋a7＝31.5,a3＋a6＋a9＝25.5,兩式相減得－6d＝6,解得d＝－1,∴a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故選C.解1：（1）依題意得

a1+4d=10

a1+11d=31

解得a1=-2,d=3∴a25=a1+24d=-2+24×3=705.在等差數(shù)列{an}中，a5=10，（1）若a12=31，求a25

；（2）若d=2，求a10.{

=10+20×3=70(2)a10=a5+(10-5)d=10+5×2=20解2：（1）依題意得

∴a25=a5+(25-5)d6.三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的積也為12，求此三數(shù).解：設這三個數(shù)分別為a-d，a，a+d,

則

(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12

∴a=4

又∵

(a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12

解得d=±2

∴當d=2時，這三個數(shù)分別為2，4，6;當d=-2時，這三個數(shù)分別為6，4，2.7.某公司購置了一臺價值為220萬元的設備,隨著設備在使用過程中老化,其價值會逐年減少.經(jīng)驗表明,每經(jīng)過一年其價值就會減少d(d為正常數(shù))萬元.已知這臺設備的使用年限為10年,超過10年,它的價值將低于購進價值的5%,設備將報廢.請確定d的取值范圍.

解:設使用n年后,這臺設備的價值為an萬元,則可得數(shù)列{an}是一個公差為-d的等差數(shù)列.

因為購進設備的價值為220萬元,所以a1=220-d,于是an=a1+(n-1)(-d)=220-nd根據(jù)題意,得

所以,d的取值范圍為19<d≤20.9.8.某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價10元，即最初的4km（不含4km）計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費.令a1

=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么當出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費

a11=11.2＋(11－1)×1.2=23.2答：需要支付車費23.2元。等差數(shù)列的性質(zhì)設{an}是公差為d的等