2022-2023學(xué)年江蘇省淮安市盱眙縣九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年江蘇省淮安市盱眙縣九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本題共8小題,每小題3分,共24分。每題的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題意,請把符合題意的選項(xiàng)填在下表中)1.方程x2﹣9=0的解是()A.x1=3,x2=﹣3 B.x=0 C.x1=x2=3 D.x1=x2=﹣32.拋物線y=2(x+1)2﹣的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(1,﹣) B.(﹣1,﹣) C.(﹣1,) D.(1,)3.在射擊訓(xùn)練中,某隊(duì)員的10次射擊成績?nèi)鐖D,則這10次成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是()A.9.3,9.6 B.9.5,9.4 C.9.5,9.6 D.9.6,9.84.若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0沒有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m<1 B.m>﹣1 C.m>1 D.m<﹣15.甲,乙,丙,丁四位同學(xué)本學(xué)期5次50米短跑成績的平均數(shù)(秒)及方差S2如下表所示.若選出一位成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學(xué)參加學(xué)校比賽,則應(yīng)選的同學(xué)是()甲乙丙丁777.57.5s20.450.20.20.45A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若∠B=108°,則∠D的大小為()A.54° B.62° C.72° D.82°7.用扇形紙片制作一個圓錐的側(cè)面,要求圓錐的高是4cm,底面周長是6πcm,則扇形的半徑為()A.3cm B.8cm C.6cm D.5cm8.如圖所示是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過A點(diǎn)(3,0),二次函數(shù)圖象對稱軸為直線x=1,給出五個結(jié)論:①bc>0;②a+b+c<0;③4a﹣2b+c>0;④方程ax2+bx+c=0的根為x1=﹣1,x2=3;⑤當(dāng)x<1時,y隨著x的增大而增大.其中正確結(jié)論是()A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①④⑤二、填空題(共8小題,每題3分,共24分)9.將拋物線y=2x2向上平移3個單位長度,所得拋物線的函數(shù)解析式為.10.天氣預(yù)報說某天最高氣溫是9℃,最低氣溫為﹣3℃,則該天氣溫的極差是.11.在一個不透明的口袋中裝有若干個只有顏色不同的球,如果已知袋中只有4個紅球,且摸出紅球的概率為,那么袋中的球共有個.12.已知扇形的圓心角為150°,它所對應(yīng)的弧長為20πcm,則此扇形的面積是cm2.13.拋物線y=﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示,若y>0,則x的取值范圍是.14.如圖所示,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,且OC⊥AB,過點(diǎn)C的弦CD與線段OB相交于點(diǎn)E,滿足∠AEC=65°,連接AD,則∠BAD=度.15.三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程x2﹣12x+35=0的根,則該三角形的周長為.16.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x與雙曲線y=交于A,B兩點(diǎn),P是以點(diǎn)C(2,2)為圓心,半徑長為1的圓上一動點(diǎn),連接AP,Q為AP的中點(diǎn).若線段OQ長度的最大值為2,則k的值為.三、解答題(本題共11小題,共102分。解答應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明)17.計(jì)算:(1)5x2﹣3x=0;(2)x2﹣4x+1=0.18.已知關(guān)于x的方程x2+mx+3=0的一個根是1,求m的值和另一個根.19.在一幅長8分米,寬6分米的矩形風(fēng)景畫(如圖①)的四周鑲寬度相同的金色紙邊,制成一幅矩形掛圖(如圖②).如果要使整個掛圖的面積是80平方分米,求金色紙邊的寬.20.在如圖的方格紙中,每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.(每個小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn))(1)畫出△ABC向下平移3個單位后的△A1B1C1;(2)畫出△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2,并求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所經(jīng)過的路線長.21.如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓O上不同于A,B的兩點(diǎn),AD=BC,AC與BD相交于點(diǎn)F.BE是半圓O所在圓的切線,與AC的延長線相交于點(diǎn)E.(1)求證:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求證:AC平分∠DAB.22.為進(jìn)一步開展“睡眠管理”工作,某校對部分學(xué)生的睡眠情況進(jìn)行了問卷調(diào)查.設(shè)每名學(xué)生平均每天的睡眠時間為x小時,其中的分組情況是:A組:x<8.5B組:8.5≤x<9C組:9≤x<9.5D組:9.5≤x<10E組:x≥10根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:(1)本次共調(diào)查了名學(xué)生;(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求D組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);(4)若該校有1500名學(xué)生,請估計(jì)該校睡眠時間不足9小時的學(xué)生有多少人?23.體育課上,小明、小強(qiáng)、小華三人在學(xué)習(xí)訓(xùn)練踢足球,足球從一人傳到另一人就記為踢一次.(1)如果從小強(qiáng)開始踢,經(jīng)過兩次踢后,用樹狀圖表示或列表法求足球踢到了小華處的概率是多少(2)如果從小明開始踢,經(jīng)過踢三次后,球踢到了小明處的概率.24.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),∠CAB的平分線AD交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長線于點(diǎn)E.(1)求證:DE是⊙O的切線;(2)過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,連接BD.若OF=1,BF=2,求BD的長度.25.某商場將每件進(jìn)價為160元的某種商品原來按每件200元出售,一天可售出100件,后來經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品每降低2元,其銷量可增加10件.(1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元?(2)設(shè)后來該商品每件降價x元,商場一天可獲利潤y元.①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤4320元,則每件商品售價應(yīng)降價多少元?②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)x取何值時,商場獲利潤最大?并求最大利潤值.26.閱讀理解:小明熱愛數(shù)學(xué),在課外數(shù)學(xué)資料上看到平行四邊形一個性質(zhì)定理:任意平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在平行四邊形ABCD中,AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.由此,他探究得到三角形的一個性質(zhì):三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.(1)說理證明:如圖2,在△ABC中,若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則有:AB2+AC2=2AD2+2BD2.請你證明小明得到的三角形性質(zhì)的正確性.(2)理解運(yùn)用:①在△ABC中,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),AB=4,AC=3,BC=6,則AD=;②如圖3,⊙O的半徑為6,點(diǎn)A在圓內(nèi),且OA=4,點(diǎn)B和點(diǎn)C在⊙O上,且∠BAC=90°,點(diǎn)E、F分別為AO、BC的中點(diǎn),則EF的長為;(3)拓展延伸:如圖4,已知⊙O的半徑為2,以A(2,2)為直角頂點(diǎn)的△ABC的另兩個頂點(diǎn)B,C都在⊙O上,D為BC的中點(diǎn),則AD長的最大值為.27.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),連接AC、BC.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),在線段AC上以每秒個單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動;同時,動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),在線段BA上以每秒1個單位長度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動,當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動,連接PQ,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.(1)求b、c的值.(2)在P、Q運(yùn)動的過程中,當(dāng)t為何值時,四邊形BCPQ的面積最小,最小值為多少?(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題(本題共8小題,每小題3分,共24分。每題的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題意,請把符合題意的選項(xiàng)填在下表中)1.方程x2﹣9=0的解是()A.x1=3,x2=﹣3 B.x=0 C.x1=x2=3 D.x1=x2=﹣3【分析】將方程常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊,利用平方根的定義開方即可得到方程的解.解:x2﹣9=0,變形得:x2=9,開方得:x1=3,x2=﹣3;故選:A.【點(diǎn)評】本題主要考查直接開平方法解一元二次方程,熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.2.拋物線y=2(x+1)2﹣的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(1,﹣) B.(﹣1,﹣) C.(﹣1,) D.(1,)【分析】根據(jù)題目中的拋物線,可以直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).解:∵拋物線y=2(x+1)2﹣,∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣),故選:B.【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.3.在射擊訓(xùn)練中,某隊(duì)員的10次射擊成績?nèi)鐖D,則這10次成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是()A.9.3,9.6 B.9.5,9.4 C.9.5,9.6 D.9.6,9.8【分析】將折線統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)按照從小到大排列,然后即可得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).解:這10次射擊成績從小到大排列是:8.8,9.0,9.2,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.8,9.8,∴中位數(shù)是(9.4+9.6)÷2=9.5(環(huán)),9.6出現(xiàn)的次數(shù)最多,故眾數(shù)為9.6環(huán).故選:C.【點(diǎn)評】本題考查眾數(shù)與中位數(shù),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,會求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù).4.若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0沒有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m<1 B.m>﹣1 C.m>1 D.m<﹣1【分析】方程沒有實(shí)數(shù)根,則Δ<0,建立關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍.解:由題意知,Δ=4﹣4m<0,∴m>1故選:C.【點(diǎn)評】總結(jié):一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:(1)Δ>0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;(2)Δ=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;(3)Δ<0?方程沒有實(shí)數(shù)根.5.甲,乙,丙,丁四位同學(xué)本學(xué)期5次50米短跑成績的平均數(shù)(秒)及方差S2如下表所示.若選出一位成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學(xué)參加學(xué)校比賽,則應(yīng)選的同學(xué)是()甲乙丙丁777.57.5s20.450.20.20.45A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【分析】方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大,則平均值的離散程度越大,穩(wěn)定性也越?。环粗?,則它與其平均值的離散程度越小,穩(wěn)定性越好.解:∵丙的平均分最好,方差最小,最穩(wěn)定,∴應(yīng)選的同學(xué)是丙.故選:C.【點(diǎn)評】本題考查了方差,正確理解方差的意義是解題的關(guān)鍵.6.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若∠B=108°,則∠D的大小為()A.54° B.62° C.72° D.82°【分析】運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)計(jì)算即可.解:∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠B=108°,∴∠D=180°﹣∠B=180°﹣108°=72°,故選:C.【點(diǎn)評】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵.7.用扇形紙片制作一個圓錐的側(cè)面,要求圓錐的高是4cm,底面周長是6πcm,則扇形的半徑為()A.3cm B.8cm C.6cm D.5cm【分析】首先根據(jù)圓錐的底面周長求得圓錐的底面半徑,然后根據(jù)勾股定理求得圓錐的母線長就是扇形的半徑.解:∵底面周長是6πcm,∴底面的半徑為3cm,∵圓錐的高為4cm,∴圓錐的母線長為:=5(cm),∴扇形的半徑為5cm,故選:D.【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是了解圓錐的母線、高及底面半徑圍成一個直角三角形.8.如圖所示是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過A點(diǎn)(3,0),二次函數(shù)圖象對稱軸為直線x=1,給出五個結(jié)論:①bc>0;②a+b+c<0;③4a﹣2b+c>0;④方程ax2+bx+c=0的根為x1=﹣1,x2=3;⑤當(dāng)x<1時,y隨著x的增大而增大.其中正確結(jié)論是()A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①④⑤【分析】根據(jù)拋物線的開口方向得a<0,對稱軸在y軸右側(cè),得b>0,拋物線與y軸的正半軸相交,得c>0,故①正確;當(dāng)x=1時,y=a+b+c>0,故②錯誤;當(dāng)x=﹣2時,y=4a﹣2b+c<0,故③錯誤;根據(jù)對稱軸為x=1,與x軸交于點(diǎn)(3,0)可得與x軸的另一個交點(diǎn)(﹣1,0),故④正確;由拋物線的對稱性,得⑤正確.解:∵拋物線的開口向下,∴a<0,∵對稱軸x=1在y軸右側(cè),∴b>0,∵拋物線與y軸的正半軸相交,∴c>0,故①正確;當(dāng)x=1時,y=a+b+c>0,故②錯誤;當(dāng)x=﹣2時,y=4a﹣2b+c<0,故③錯誤;∵對稱軸為x=1,與x軸交于點(diǎn)(3,0),∴與x軸的另一個交點(diǎn)(﹣1,0),故④正確;由圖象得x<1時,y隨著x的增大而增大,故⑤正確;正確結(jié)論有①④⑤,故選:D.【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系,是二次函數(shù)的綜合題型,是一道數(shù)形結(jié)合題,要熟悉二次函數(shù)的性質(zhì),觀察圖形,得出正確結(jié)論.二、填空題(共8小題,每題3分,共24分)9.將拋物線y=2x2向上平移3個單位長度,所得拋物線的函數(shù)解析式為y=2x2+3.【分析】直接運(yùn)用平移規(guī)律“左加右減,上加下減”,在原式上加3即可得新函數(shù)解析式y(tǒng)=2x2+3.解:∵y=2x2向上平移3個單位長度,∴新拋物線為y=2x2+3.【點(diǎn)評】此題比較容易,主要考查了函數(shù)圖象的平移,要求熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減,上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.10.天氣預(yù)報說某天最高氣溫是9℃,最低氣溫為﹣3℃,則該天氣溫的極差是12℃.【分析】根據(jù)極差的公式計(jì)算,即用9℃減去﹣3℃即可.解:這天氣溫的極差是9﹣(﹣3)=12℃.故答案為12℃.【點(diǎn)評】本題考查了極差的知識,極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小,求極差的方法是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.11.在一個不透明的口袋中裝有若干個只有顏色不同的球,如果已知袋中只有4個紅球,且摸出紅球的概率為,那么袋中的球共有12個.【分析】根據(jù)紅球的概率公式列出方程求解即可.解:設(shè)袋中的球共有m個,其中有4個紅球,則摸出紅球的概率為,根據(jù)題意有=,解得:m=12.故本題答案為:12.【點(diǎn)評】本題考查的是隨機(jī)事件概率的求法的運(yùn)用,如果一個事件有n種可能,而且這些事件的可能性相同,其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果,那么事件A的概率P(A)=.12.已知扇形的圓心角為150°,它所對應(yīng)的弧長為20πcm,則此扇形的面積是240πcm2.【分析】首先根據(jù)弧長公式求得扇形的半徑,然后利用扇形的面積公式即可求解.解:設(shè)扇形的半徑是R,由題意得:l==20π,解得:R=24cm,則扇形的面積S=lR=×20π×24=24×10π=240πcm2.故答案是:240π.【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積公式,正確掌握扇形的面積公式以及弧長公式是關(guān)鍵.13.拋物線y=﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示,若y>0,則x的取值范圍是﹣3<x<1.【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸為x=﹣1,一個交點(diǎn)為(1,0),可推出另一交點(diǎn)為(﹣3,0),結(jié)合圖象求出y>0時,x的范圍.解:根據(jù)拋物線的圖象可知:拋物線的對稱軸為x=﹣1,已知一個交點(diǎn)為(1,0),根據(jù)對稱性,則另一交點(diǎn)為(﹣3,0),所以y>0時,x的取值范圍是﹣3<x<1.故答案為:﹣3<x<1.【點(diǎn)評】此題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與對稱性,找出拋物線y=﹣x2+bx+c的完整圖象.14.如圖所示,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,且OC⊥AB,過點(diǎn)C的弦CD與線段OB相交于點(diǎn)E,滿足∠AEC=65°,連接AD,則∠BAD=20度.【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出∠OCE=25°,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODC=∠OCE=25°,求出∠DOC=130°,得出∠BOD=∠DOC﹣∠COE=40°,再由圓周角定理即可得出答案.解:連接OD,如圖:∵OC⊥AB,∴∠COE=90°,∵∠AEC=65°,∴∠OCE=90°﹣65°=25°,∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCE=25°,∴∠DOC=180°﹣25°﹣25°=130°,∴∠BOD=∠DOC﹣∠COE=40°,∴∠BAD=∠BOD=20°,故答案為:20.【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理;熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.15.三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程x2﹣12x+35=0的根,則該三角形的周長為12.【分析】先解一元二次方程,由于未說明兩根哪個是腰哪個是底,故需分情況討論,從而得到其周長.解:解方程x2﹣12x+35=0,得x1=5,x2=7,∵1<第三邊<7,∴第三邊長為5,∴周長為3+4+5=12.【點(diǎn)評】此題是一元二次方程的解結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)的應(yīng)用,注意分類討論.16.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x與雙曲線y=交于A,B兩點(diǎn),P是以點(diǎn)C(2,2)為圓心,半徑長為1的圓上一動點(diǎn),連接AP,Q為AP的中點(diǎn).若線段OQ長度的最大值為2,則k的值為﹣.【分析】確定OQ是△ABP的中位線,OQ的最大值為2,故BP的最大值為4,則BC=BP﹣PC=4﹣1=3,則(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2=32,即可求解.解:連接BP,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),則OQ是△ABP的中位線,當(dāng)B、C、P三點(diǎn)共線時,PB最大,則OQ=BP最大,而OQ的最大值為2,故BP的最大值為4,則BC=BP﹣PC=4﹣1=3,設(shè)點(diǎn)B(m,﹣m),則(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2=32,解得:m2=,∴k=m(﹣m)=﹣,故答案為﹣.【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,確定OQ是△ABP的中位線是本題解題的關(guān)鍵.三、解答題(本題共11小題,共102分。解答應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明)17.計(jì)算:(1)5x2﹣3x=0;(2)x2﹣4x+1=0.【分析】(1)提公因式法因式分解,可得結(jié)論;(2)直接利用配方法解方程得出答案.解:(1)∵5x2﹣3x=0,∴x(5x﹣3)=0,∴x=0或5x﹣3=0,∴x1=0,x2=;(2)∵x2﹣4x+1=0,∴x2﹣4x=﹣1,∴x2﹣4x+4=﹣1+4,∴(x﹣2)2=3,∴x﹣2=±,解得:x1=2+,x2=2﹣.【點(diǎn)評】此題主要考查了因式分解法以及配方法解一元二次方程,熟練應(yīng)用因式分解法解方程是解題關(guān)鍵.18.已知關(guān)于x的方程x2+mx+3=0的一個根是1,求m的值和另一個根.【分析】先把x=1代入關(guān)于x的方程x2+mx+3=0求出m的值,再把m的值代入方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.解:∵關(guān)于x的方程x2+mx+3=0的一個根是1,∴12+m+3=0,∴m=﹣4,∴把m=﹣4代入方程x2+mx+3=0得x2﹣4x+3=0,設(shè)方程的另一個根為α,則1+α=4,∴α=3.【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,熟知x1,x2是方程x2+px+q=0的兩根時,x1+x2=﹣p,x1x2=q是解題的關(guān)鍵.19.在一幅長8分米,寬6分米的矩形風(fēng)景畫(如圖①)的四周鑲寬度相同的金色紙邊,制成一幅矩形掛圖(如圖②).如果要使整個掛圖的面積是80平方分米,求金色紙邊的寬.【分析】設(shè)金色紙邊的寬為x分米,關(guān)鍵題意列出方程,求出方程的解即可.解:設(shè)金色紙邊的寬為x分米,方程為(8+2x)(6+2x)=80,解方程得:x=﹣8或x=1,經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣8或1都是所列方程的解,但是寬不能為負(fù)數(shù),即x=1,答:金色紙邊的寬是1分米.【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,能根據(jù)題意列出方程是解此題的關(guān)鍵.20.在如圖的方格紙中,每個小方格都是邊長為1個單位的正方形,△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.(每個小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn))(1)畫出△ABC向下平移3個單位后的△A1B1C1;(2)畫出△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2,并求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所經(jīng)過的路線長.【分析】(1)根據(jù)平移的規(guī)律找到出平移后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),順次連接即可;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出旋轉(zhuǎn)后各個對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),順次連接即可.點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所經(jīng)過的路線是半徑為OA,圓心角是90度的扇形的弧長.解:(1)畫出△A1B1C1;(2)畫出△A2B2C2連接OA,OA2,,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所經(jīng)過的路線長為.【點(diǎn)評】本題考查的是平移變換與旋轉(zhuǎn)變換作圖.作平移圖形時,找關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步.平移作圖的一般步驟為:①確定平移的方向和距離,先確定一組對應(yīng)點(diǎn);②確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn);③利用第一組對應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn);④按原圖形順序依次連接對應(yīng)點(diǎn),所得到的圖形即為平移后的圖形.作旋轉(zhuǎn)后的圖形的依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),基本作法是①先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn);②利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn);③按原圖形中的方式順次連接對應(yīng)點(diǎn).要注意旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)方向和角度.21.如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓O上不同于A,B的兩點(diǎn),AD=BC,AC與BD相交于點(diǎn)F.BE是半圓O所在圓的切線,與AC的延長線相交于點(diǎn)E.(1)求證:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求證:AC平分∠DAB.【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°,根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E=∠BFE,根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABE=90°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義即可得到結(jié)論.【解答】(1)證明:∵AB是半圓O的直徑,∴∠ACB=∠ADB=90°,在Rt△CBA與Rt△DAB中,,∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL);(2)解:∵BE=BF,由(1)知BC⊥EF,∴∠E=∠BFE,∵BE是半圓O所在圓的切線,∴∠ABE=90°,∴∠E+∠BAE=90°,由(1)知∠D=90°,∴∠DAF+∠AFD=90°,∵∠AFD=∠BFE,∴∠AFD=∠E,∵∠DAF=90°﹣∠AFD,∠BAF=90°﹣∠E,∴∠DAF=∠BAF,∴AC平分∠DAB.【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理,正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.22.為進(jìn)一步開展“睡眠管理”工作,某校對部分學(xué)生的睡眠情況進(jìn)行了問卷調(diào)查.設(shè)每名學(xué)生平均每天的睡眠時間為x小時,其中的分組情況是:A組:x<8.5B組:8.5≤x<9C組:9≤x<9.5D組:9.5≤x<10E組:x≥10根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:(1)本次共調(diào)查了100名學(xué)生;(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求D組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);(4)若該校有1500名學(xué)生,請估計(jì)該校睡眠時間不足9小時的學(xué)生有多少人?【分析】(1)根據(jù)B組人數(shù)和所占的百分比,可以計(jì)算出本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù);(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果、條形統(tǒng)計(jì)圖中的時間和扇形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù),可以計(jì)算出A組和E組的人數(shù),從而可以將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;(3)根據(jù)D組的人數(shù)和調(diào)查的總?cè)藬?shù),可以計(jì)算出D組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù);(4)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù),可以計(jì)算出該校睡眠時間不足9小時的學(xué)生有多少人.解:(1)20÷20%=100(名),即本次共調(diào)查了100名學(xué)生,故答案為:100;(2)選擇E的學(xué)生有:100×15%=15(人),選擇A的學(xué)生有:100﹣20﹣40﹣20﹣15=5(人),補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如右圖所示;(3)360°×=72°,即D組所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是72°;(4)1500×=375(人),答:估計(jì)該校睡眠時間不足9小時的學(xué)生有375人.【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.23.體育課上,小明、小強(qiáng)、小華三人在學(xué)習(xí)訓(xùn)練踢足球,足球從一人傳到另一人就記為踢一次.(1)如果從小強(qiáng)開始踢,經(jīng)過兩次踢后,用樹狀圖表示或列表法求足球踢到了小華處的概率是多少(2)如果從小明開始踢,經(jīng)過踢三次后,球踢到了小明處的概率.【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與經(jīng)過兩次踢后,足球踢到了小華處的情況,再利用概率公式求解即可求得答案.(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與經(jīng)過踢三次后,球踢到了小明處的情況,再利用概率公式求解即可求得答案.解:(1)畫樹狀圖得:∵共有4種等可能的結(jié)果,經(jīng)過兩次踢后,足球踢到了小華處的有1種情況,∴足球踢到了小華處的概率是:;(2)畫樹狀圖得:∵共有8種等可能的結(jié)果,經(jīng)過踢三次后,球踢到了小明處的有2種情況,∴經(jīng)過踢三次后,球踢到了小明處的概率為:=.【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,列表法適合于兩步完成的事件,樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.24.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),∠CAB的平分線AD交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長線于點(diǎn)E.(1)求證:DE是⊙O的切線;(2)過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,連接BD.若OF=1,BF=2,求BD的長度.【分析】(1)連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出∠ADO=∠DAE,從而OD∥AE,由DE∥BC得∠E=90°,由兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠ODE=90°,由切線的判定定理得出答案;(2)先由直徑所對的圓周角是直角得出∠ADB=90°,再由OF=1,BF=2得出OB的值,進(jìn)而得出AF和BA的值,然后證明△DBF∽△ABD,由相似三角形的性質(zhì)得比例式,從而求得BD2的值,求算術(shù)平方根即可得出BD的值.解:(1)連接OD,如圖,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∵AD平分∠CAB,∴∠DAE=∠OAD,∴∠ADO=∠DAE,∴OD∥AE,∵DE∥BC,∴∠E=90°,∴∠ODE=180°﹣∠E=90°,∴DE是⊙O的切線;(2)∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,∵OF=1,BF=2,∴OB=3,∴AF=4,BA=6.∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°,∴∠ADB=∠DFB,又∵∠DBF=∠ABD,∴△DBF∽△ABD,∴=,∴BD2=BF?BA=2×6=12.∴BD=2.解法二:利用勾股定理求出DF,再利用勾股定理求出BD即可.【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn),熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)及圓中的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.25.某商場將每件進(jìn)價為160元的某種商品原來按每件200元出售,一天可售出100件,后來經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品每降低2元,其銷量可增加10件.(1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元?(2)設(shè)后來該商品每件降價x元,商場一天可獲利潤y元.①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤4320元,則每件商品售價應(yīng)降價多少元?②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)x取何值時,商場獲利潤最大?并求最大利潤值.【分析】(1)根據(jù)總利潤=單件利潤×銷量即可列式計(jì)算;(2)①分別表示出銷量和單件的利潤即可表示出總利潤,從而列出方程求解;②列出二次函數(shù)關(guān)系式后配方即可確定最大利潤值.解:(1)原來一天可獲利潤是:(200﹣160)×100=4000元;(2)①,依題意,得(200﹣160﹣x)(100+5x)=4320解得:x=4或x=16則每件商品應(yīng)降價4元或16元;②y=(200﹣160﹣x)(100+5x)=﹣5(x﹣10)2+4500∴當(dāng)x=10時,y有最大值,最大值是4500元,【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是能夠表示出銷量和單件的利潤,難度不大.26.閱讀理解:小明熱愛數(shù)學(xué),在課外數(shù)學(xué)資料上看到平行四邊形一個性質(zhì)定理:任意平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在平行四邊形ABCD中,AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.由此,他探究得到三角形的一個性質(zhì):三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.(1)說理證明:如圖2,在△ABC中,若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則有:AB2+AC2=2AD2+2BD2.請你證明小明得到的三角形性質(zhì)的正確性.(2)理解運(yùn)用:①在△ABC中,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),AB=4,AC=3,BC=6,則AD=;②如圖3,⊙O的半徑為6,點(diǎn)A在圓內(nèi),且OA=4,點(diǎn)B和點(diǎn)C在⊙O上,且∠BAC=90°,點(diǎn)E、F分別為AO、BC的中點(diǎn),則EF的長為;(3)拓展延伸:如圖4,已知⊙O的半徑為2,以A(2,2)為直角頂點(diǎn)的△ABC的另兩個頂點(diǎn)B,C都在⊙O上,D為BC的中點(diǎn),則AD長的最大值為3.【分析】(1)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,設(shè)BD=CD=x,DE=y(tǒng),由AB2=AE2+BE2,AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2,可得AB2+AC2=2AE2+(x﹣y)2+(x+y)2=2AE2+2x2+2y2,即得AB2+AC2=2AE2+2BD2+2DE2=2(AE2+DE2)+2BD2=2AD2+2BD2;(2)解:①由B2+AC2=2AD2+2BD2可得42+32=2AD2+2×32,故AD=;②連接OC,OF,OB,AF,由AF是△ABC的中線,EF是△AFO的中線,可得BF2=AB2+AC2﹣AF2,OF2=2EF2+2AE2﹣AF2,而OF2=OB2﹣BF2,可推得4EF2=2OB2﹣OA2,故EF=;(3)連接OA,取OA的中點(diǎn)E,連接DE,AD,由(2)的②可知:DE2=OB2﹣OA2=8,有DE=2,當(dāng)A,E,D共線時,AD長的最大值為3.【解答】(1)證明:過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,如圖,設(shè)BD=CD=x,DE=y(tǒng),在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2,同理可得:AC2=AE2+CE2,AD2=AE2+DE2,∴AB2+AC2=2AE2+CE2+BE2=2AE2+(x﹣y)2+(x+y)2=2AE2+2x2+2y2,∵BD2=x2,DE2=y(tǒng)2,∴AB2+AC2=2AE2+2BD2+2DE2=2(AE2+DE2)+2BD2=2AD2+2BD2;(2)解:①由(1)知AB2+AC2=2AD2+2BD2,∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),BC=6,∴BD=3,∵AB=4,AC=3,∴42+32=2AD2+2×32,∴AD=;故答案為:;②連接OC,OF,OB,AF,如圖,∵AF是△ABC的中線,EF是△AFO的中線,∴2AF2+2BF2=AB2+AC2,2EF2+2AE2=AF2+OF2,∴BF2=AB2+AC2﹣AF2,OF2=2EF2+2AE2﹣AF2,∵OB=OC,OF是△BOC的中線,∴OF⊥BC,∴OF2=OB2﹣BF2,∴2EF2+2AE2﹣AF2=OB2﹣(AB2+AC2﹣AF2),∴4EF2=2OB2﹣AB2﹣AC2+4AF2﹣4AE2,∵∠BAC=90°,∴AB2+AC2=BC2=(2AF)2=4AF2,∴4EF2=2OB2﹣4AE2,∵OA=2AE,∴4AE2=OA2,∴4EF2

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