三角形全等之截長補(bǔ)短(習(xí)題)

三角形全之截長補(bǔ)短習(xí)題）例示例1圖在四邊ABCD中AD∥BD⊥且BD=CD，∠DBC作⊥AB于對角BD于F．求證：ABAF．

DF

C【思路分析】題目中出現(xiàn)了線段的和差倍分（所求為一條線段是另外兩條線段之和所以考慮截長補(bǔ)短．①考慮截長的方法，如圖所示：

DF

H

C在線段CF截取=ABDH證明=HF即可．結(jié)合題目條件，先證明△HCD，再證明△ADF△HDF，從而得到AF=HF證明成立．②考慮補(bǔ)短的方法，如圖所示：H

DFC延長交CD延長線于點(diǎn)H，只需證明BH=，=AF即可．可結(jié)合題目條件，先證明△CDF≌△BDH，再證明ADF△ADH，從而得到BH=，AH=AF證明成立．1

【過程書寫】（截長的方法）在線段上截取CH=，連接DH．

DF

H∵BD⊥CD⊥∴∠=∠FDC=90°∴∠+∠EFB=90°∠FCD+∠DFC=90°∵∠=∠DFC∴∠=∠FCD在△ABD和△HCD中，

C

BDCD∴△ABD≌HCD（SAS）∴AD=HD，∠ADB∠HDC∵AD∥∴∠ADB=∠=45°∴∠HDC∴∠HDF∠BDC∠HDC=45°∴∠ADB=∠HDF在△ADF和△HDF中，ADHDF

DFDF∴△ADF≌△HDF（）∴AFHF∴+HF=+2

1.

鞏練如圖，在△ABC中，∠=60°，∠，AD是∠BAC的平分線．求證：AC+BD．

DDC2.

如圖，AC平分∠BAD，⊥AB于，∠D．求證：=AD+BE．DEBCDEB3

3.

如圖，在△ABC中，∠A=100°，∠=40°，BD是∠ABC的平分線，延長BD至，使=AD連接．求證：BC+．A

D

EBCA

D

EBC4.

已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，∠∠FAE．求證：+DF=．

DFC4

1.2.

思小證明線段或角相等時(shí)，可以考慮把線段或角放到兩個(gè)三角形中證明全等．如果題目中沒有可能全等的三角形，往往考慮通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形來證明．常見構(gòu)造輔助線的方法：①___________：當(dāng)已知條件中有中線中點(diǎn)）時(shí)，往往考慮延長中線構(gòu)造全等三角形．②_________當(dāng)題目中出現(xiàn)線段的和差倍分時(shí)往往考慮把多條線段間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩條線段的等量關(guān)系來處理．利用“截長補(bǔ)短”我們就可以證明直角三角形中非常重要的一個(gè)定理：30°角所對的直角邊是斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△，∠C，∠=30°．求證：BC

．

5

【考案固練習(xí)1.2.3.4.

證明略提示：方法一上截AE=AB△ABD≌△AED，再證明CEDE方法二：延長到，使BE=BD，連證明△ADE≌△ADC．證明略提示：在AE上取AFAD證明△CDA≌△CFA再證明=．證明略提示BC上截取BFBA接明△△FBD，再證明△DFC≌△DEC．證明略提示：延長CB至點(diǎn)，使BGDF，連接，證明△≌△ADF，再證明AE=GE即可．考小結(jié)1.