(浙江專版)高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理121第二課時(shí)排列綜合應(yīng)用學(xué)案新人教A版選修23

第二課時(shí)擺列的綜合應(yīng)用數(shù)字?jǐn)[列問題[典例]用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字能夠構(gòu)成多少個(gè)切合以下條件的無重復(fù)的數(shù)字？六位奇數(shù)；個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；不大于4310的四位偶數(shù)．1[解](1)第一步，排個(gè)位，有A3種排法；第二步，排十萬位，有A14種排法；4第三步，排其余位，有A4種排法．114個(gè)六位奇數(shù)．344(2)法一：(直接法)十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不一樣，所以需分兩類．第一類，當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有5個(gè)；A5第二類，當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，有114A4A4A4個(gè)．故切合題意的六位數(shù)共有5114個(gè))．A5＋A4A4A4＝504(法二：(清除法)0在十萬位和5在個(gè)位的擺列都不對(duì)應(yīng)切合題意的六位數(shù)，這兩類擺列中都含有0在十萬位和5在個(gè)位的狀況．故切合題意的六位數(shù)共有654＝504(個(gè))．654分三種狀況，詳細(xì)以下：112①當(dāng)千位上排1,3時(shí)，有A2A3A4個(gè)．12②當(dāng)千位上排2時(shí)，有A2A4個(gè)．1③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40××，42××的各有A3個(gè)；11形如41××的有A2A3個(gè)；形如43××的只有4310和4302這兩個(gè)數(shù)．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(個(gè))．[一題多變]1．[變?cè)O(shè)問]本例中條件不變，能構(gòu)成多少個(gè)被5整除的五位數(shù)？解：個(gè)位上的數(shù)字一定是0或5.若個(gè)位上是0，則有A54個(gè)；若個(gè)位上是5，若不含0，4個(gè)；若含0，但0不作首位，則0的地點(diǎn)有13種排法，故共有則有A4A3種排法，其余各位有A44413整除的五位數(shù)．A＋A＋AA＝216(個(gè))能被5543412．[變?cè)O(shè)問]本例條件不變，若全部的六位數(shù)按從小到大的次序構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則240135是第幾項(xiàng)？解：因?yàn)槭橇粩?shù)，首位數(shù)字不可以為0，首位數(shù)字為52，萬位54240135的項(xiàng)數(shù)是54上為0,1,3中的一個(gè)有3A4個(gè)數(shù)，所以A5＋3A4＋1＝193，即240135是數(shù)列的第193項(xiàng)．3．[變條件，變?cè)O(shè)問]用0,1,3,5,7五個(gè)數(shù)字，能夠構(gòu)成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且5不在十位地點(diǎn)上的五位數(shù)．解：此題可分兩類：第一類：0在十位地點(diǎn)上，這時(shí)，5不在十位地點(diǎn)上，所以五位數(shù)4＝24；的個(gè)數(shù)為A4第二類：0不在十位地點(diǎn)上，這時(shí)，因?yàn)?不可以排在十位地點(diǎn)上，所以，十位地點(diǎn)上只1種)方法．3又因?yàn)?不可以排在萬位地點(diǎn)上，所以萬位地點(diǎn)上只好排5或1，3,7被選作十位上的數(shù)字后余下的兩個(gè)數(shù)字之一，有1A3＝3(種)．十位、萬位上的數(shù)字選定后，其余三個(gè)數(shù)字全擺列即可，3有A3＝6(種)．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，第二類中所求五位數(shù)的個(gè)數(shù)為113A3·A3·A3＝54.由分類加法計(jì)數(shù)原理，切合條件的五位數(shù)共有24＋54＝78(個(gè))．?dāng)?shù)字?jǐn)[列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)解題原則：擺列問題的實(shí)質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的擺列問題的限制條件主要表此刻某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類擺列問題的方法主假如按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特別元素或優(yōu)先知足特別位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類議論.常用方法：直接法、間接法．注意事項(xiàng)：解決數(shù)字問題時(shí)，應(yīng)注意題干中的限制條件，適合地進(jìn)行分類和分步，特別注意特別元素“0”的辦理．排隊(duì)問題[典例]3名男生，4名女生，依據(jù)不一樣的要求排隊(duì)，求不一樣的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．全體站成一排，此中甲只好在中間或兩頭；全體站成一排，此中甲、乙一定在兩頭；全體站成一排，此中甲不在最左端，乙不在最右端；2(4)全體站成兩排，前排3人，后排4人，此中女生甲和女生乙排在前排，還有2名男生丙和丁因個(gè)子高要排在后排．[解](1)先考慮甲有1種方案，再考慮其余六人全擺列，故16＝2160(種)．336(2)2種方案，再安排其余5人全擺列，故25＝240(種)．先安排甲、乙有A2N＝A2·A5(3)[法一特別元素優(yōu)先法]按甲能否在最右端分兩類：6第一類，甲在最右端有N1＝A6(種)，第二類，甲不在最右端時(shí)，甲有A51個(gè)地點(diǎn)可選，而乙也有A51個(gè)地點(diǎn)，而其余全擺列A55，115有N2＝A5A5A5，115故N＝N1＋N2＝A6＋A5A5A5＝3720(種)．[法二間接法]無窮制條件的擺列數(shù)共有76，且甲在左端且乙在A7，而甲在左端或乙在右端的排法都有A6右端的排法有5765種)．A5，故N＝A7－2A6＋A5＝3720([法三特別地點(diǎn)優(yōu)先法]按最左端優(yōu)先安排分步．關(guān)于左端除甲外有A16種排法，余下六個(gè)地點(diǎn)全排有A66，但減去乙在最右端的排法A15A55種，1615故N＝A6A6－A5A5＝3720(種)．(4)將兩排連成一排后原問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕?、乙要排在?個(gè)地點(diǎn)，男生丙、丁要排在后4個(gè)地點(diǎn)，所以先排女生甲、乙有2種方法，再排男生丙、丁有2種方法，最后把節(jié)余的A3A43名同學(xué)全擺列有33223故N＝A3·A4·A3＝432(種)．排隊(duì)問題的解題策略合理歸類，要將題目大概歸類，常有的種類有特別元素、特別地點(diǎn)、相鄰問題、不相鄰問題等，再針對(duì)每一類采納相應(yīng)的方法解題．適合聯(lián)合，擺列問題的解決離不開兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解題過程中要適合聯(lián)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．正難則反，這是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)思想，奇妙應(yīng)用清除法可起到事半功倍的成效．[活學(xué)活用]排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單．任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔擺列的方法有多少種？解：(1)先排歌唱節(jié)目有5種，歌唱節(jié)目之間以及兩頭共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入A5舞蹈節(jié)目，共有4種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有54種方法．AA5·A＝43200663(2)先排舞蹈節(jié)目有4種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩頭共有5個(gè)空位，恰巧供5個(gè)歌A4唱節(jié)目放入．所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔擺列的排法有45880種方法．A4·A5＝2層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．6名學(xué)生排成兩排，每排3人，則不一樣的排法種數(shù)為()A．36B．120C．720D．240分析：選C因?yàn)?人排兩排，沒有什么特別要求的元素，故排法種數(shù)為6A6＝720.2．用0到9這十個(gè)數(shù)字，能夠構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有()A．900個(gè)B．720個(gè)C．648個(gè)D．504個(gè)分析：選C因?yàn)榘傥粩?shù)字不可以是0，所以百位數(shù)字的取法有1A9種，其余兩位上的數(shù)字212取法有A9種，所以三位數(shù)字有A9·A9＝648(個(gè))．3．?dāng)?shù)列{a}共有6項(xiàng)，此中4項(xiàng)為1，其余兩項(xiàng)各不同樣，則知足上述條件的數(shù)列{a}nn共有()A．30個(gè)B．31個(gè)C．60個(gè)D．61個(gè)分析：選A在數(shù)列的6項(xiàng)中，只需考慮兩個(gè)非1的項(xiàng)的地點(diǎn)，即可得不一樣數(shù)列共有26＝30個(gè)．4．6名同學(xué)排成一排，此中甲、乙兩人一定排在一同的不一樣排法有()A．720種B．360種C．240種D．120種分析：選C(捆綁法)甲、乙看作一個(gè)整體，有24人，共5個(gè)元素2全擺列，有525A種排法，故共有排法A2·A＝240種．555．把5件不一樣的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不一樣的擺法種數(shù)為()A．36B．42C．58D．64分析：選A將A，B捆綁在一同，有23件產(chǎn)品全擺列，有A2種擺法，再將它們與其余4243件在一同，且，相鄰，，相鄰有，A4種擺法，故共有A2A4＝48種擺法，而，，ABCABACCABBAC兩種狀況，將這3件與剩下2件全擺列，有3A，B相鄰，A，C不3相鄰的擺法有48－12＝36種．6．有5本不一樣的書，此中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本，若將其隨機(jī)地?cái)[成4一排，則同一科目的書均不相鄰的擺法有________種(用數(shù)字作答)．分析：依據(jù)題意，分2步進(jìn)行剖析：①將5本書進(jìn)行全擺列，有5A5＝120種狀況．②其中語文書相鄰的狀況有2424種，語文書，數(shù)學(xué)書同時(shí)2424223120－48－48＋24＝48種．相鄰的狀況有A2A2A3＝24種，則同一科目的書均不相鄰的擺法有答案：487．將紅、黃、藍(lán)、白、黑5種顏色的小球，分別放入紅、黃、藍(lán)、白、黑5種顏色的小口袋中，若不一樣意空袋且紅口袋中不可以裝入紅球，則有________種不一樣的放法．分析：(清除法)紅球放入紅口袋中共有A44種放法，則知足條件的放法種數(shù)為A55－A44＝96(種)．答案：968．用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，此中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的五位數(shù)有______種．分析：0夾在23種排法，0不夾在1,3之間又不在首位有12121,3之間有A2A3A2A2A2A2種排法．所231212以一共有A2A3＋A2A2A2A2＝28種排法．答案：289．一場(chǎng)晚會(huì)有5個(gè)演唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單．(1)3個(gè)舞蹈節(jié)目不排在開始和結(jié)尾，有多少種排法？前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？解：(1)先從5個(gè)演唱節(jié)目中選兩個(gè)排在首尾兩個(gè)地點(diǎn)有2個(gè)演A5種排法，再將節(jié)余的3唱節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目排在中間6個(gè)地點(diǎn)上有6種排法，故共有不一樣排法26種．656(2)先不考慮擺列要求，有85A8種擺列，此中前四個(gè)節(jié)目沒有舞蹈節(jié)目的狀況，可先從個(gè)演唱節(jié)目中選4個(gè)節(jié)目排在前四個(gè)地點(diǎn)，而后將節(jié)余四個(gè)節(jié)目擺列在后四個(gè)地點(diǎn)，有A54A44種排法，所從前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有844(A－AA)＝37440種．85410．從5名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100米接力賽，假如A不可以跑第一棒，那么有多少種不一樣的參賽方法？解：法一：當(dāng)A被選上時(shí)，共有131A3A4種方法，此中A3表示A從除掉第一棒的其余三棒中33人安排在其余三棒．4當(dāng)A沒有被選上時(shí)，其余四人都被選上且沒有限制，此時(shí)有4種方法．4故共有A31A43＋A44＝96(種)參賽方法．法二：接力的一、二、三、四棒相當(dāng)于有四個(gè)框圖，第一個(gè)框圖不可以填A(yù)，有4種填法，其余三個(gè)框圖共有3344法三：先不考慮43種A能否跑第一棒，共有A5＝120(種)方法．此中A在第一棒時(shí)共有A443方法，故共有A5－A4＝96(種)參賽方法．5層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．(四川高考)用數(shù)字1,2,3,4,5構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，此中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24B．48C．60D．72分析：選D第一步，先排個(gè)位，有13第二步，排前4種選擇．4由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知有14A3·A＝72(個(gè))．42．從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三種不一樣的工作，若這3人中起碼有1名女生，則選派方案共有()A．108種B．186種C．216種D．270種分析：選B可采納間接法解決：33A7－A4＝186(種)，應(yīng)選B．3．用數(shù)字0,1,2,3,4,5能夠構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字，而且比20000大的五位偶數(shù)共有()A．288個(gè)B．240個(gè)C．144個(gè)D．126個(gè)分析：選B個(gè)位上是0時(shí)，有13時(shí)，有113個(gè))．A4A4＝96(個(gè))；個(gè)位上不是0A2A3A4＝144(∴由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有96＋144＝240(個(gè))切合要求的五位偶數(shù)．4．(四川高考)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只好排甲或乙，最右端不可以排甲，則不一樣的排法共有()A．192種B．216種C．240種D．288種分析：選B當(dāng)最左端排甲時(shí)，不一樣的排法共有5A種；當(dāng)最左端排乙時(shí)，甲只好排在中5間四個(gè)地點(diǎn)之一，則不一樣的排法共有454454種．5．8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為________．分析：(插空法)8名學(xué)生的擺列方法有89個(gè)空位，在9個(gè)空位中擺列2位A種，分開了8老師，方法數(shù)為2，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的排法總數(shù)為82989答案：29030406．將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生疏到兩個(gè)不一樣的班，每個(gè)班起碼分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不可以分到同一個(gè)班，則不一樣的分法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．分析：甲、乙不可以分在同一個(gè)班，則不一樣的分組有甲單唯一組，只有1種；甲和丙或丁兩人一組，有2種；甲、丙、丁一組，只有1種．而后再把分紅的兩組分到不一樣班級(jí)里，則共有(1＋2＋21)A2＝8(種)．6答案：87．某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目，此中2個(gè)唱歌、3個(gè)舞蹈、3個(gè)曲藝節(jié)目，求分別知足以下條件的節(jié)目編排方法有多少種？一個(gè)唱歌節(jié)目開頭，另一個(gè)放在最后壓臺(tái)；(2)2個(gè)唱歌節(jié)目互不相鄰；(3)2個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰．解：(1)先排唱歌節(jié)目有2626種)2626排法．(2)先排3個(gè)舞蹈節(jié)目，3個(gè)曲藝節(jié)目有6種排法，再?gòu)拇酥?個(gè)空(包含兩頭)中選2A6262排法．個(gè)排唱歌節(jié)目，有A種插入方法，所以共有A·A＝30240(種)767(3)把2個(gè)相鄰的唱歌節(jié)目看作一個(gè)元素，與3個(gè)曲藝節(jié)目擺列共4個(gè)432個(gè)唱歌節(jié)目交換地點(diǎn)，有2種排法，故所求排舞蹈節(jié)目插入，共有A5種插入方法，最后將A2432法共有A4·A5·A