廈門大學(xué)《應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析》第08章-相應(yīng)分析

第八章相應(yīng)分析第一節(jié)引言

第二節(jié)列聯(lián)表

第三節(jié)相應(yīng)分析的基本理論

第四節(jié)相應(yīng)分析中應(yīng)注意的問題

第五節(jié)實(shí)例分析與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

第一節(jié)引言相應(yīng)分析(correspondenceanalysis)也叫對(duì)應(yīng)分析，其特點(diǎn)是它所研究的變量可以是定性的。通常意義下的相應(yīng)分析，是指對(duì)兩個(gè)定性變量（因素）的多種水平進(jìn)行相應(yīng)性研究，因而它的應(yīng)用越來越廣泛，現(xiàn)在這種方法已經(jīng)成為常用的多元分析方法之一。在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)以及其他領(lǐng)域中，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)經(jīng)常要處理因素與因素之間的關(guān)系，及因素內(nèi)部各個(gè)水平之間的相互關(guān)系。例如，評(píng)價(jià)某一個(gè)行業(yè)所屬企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，我們不僅要研究因素A，即企業(yè)按照經(jīng)濟(jì)效益好壞的分類情況，以及要研究因素B，即經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)之間的關(guān)系，還要研究哪些企業(yè)與哪些經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)更密切一些。這就需要相應(yīng)分析的方法，將經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)和企業(yè)狀況放在一起進(jìn)行分類、作圖，以便更好的描述兩者之間的關(guān)系，在經(jīng)濟(jì)意義上做出切合實(shí)際的解釋。相應(yīng)分析的思想首先由理查森（Richardson）和庫德（Kuder）于1933年提出，后來法國統(tǒng)計(jì)學(xué)家讓-保羅?貝內(nèi)澤（Jean-PaulBenzécri）等人對(duì)該方法進(jìn)行了詳細(xì)的論述而使其得到了發(fā)展。為了把握相應(yīng)分析方法的實(shí)質(zhì)，本章將從列聯(lián)資料入手，介紹一些基本概念和相應(yīng)分析的基本理論，并讓讀者理解相應(yīng)分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)系，進(jìn)一步明確對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行相應(yīng)分析研究的必要性所在。一、列聯(lián)表的概念在實(shí)際中經(jīng)常要了解兩組或多組因素(或變量)之間的關(guān)系。設(shè)有兩組因素A和B，其中因素A包含r個(gè)水平，即A1，A2，…，Ar；因素B包含c個(gè)水平，即B1，

B2，

…，Bc。又設(shè)有受制于這兩個(gè)因素的載體(或客體)的集合總體￥。我們希望通過對(duì)總體￥關(guān)于這兩組因素的有關(guān)資料(或抽樣資料)，來分析這兩組因素的關(guān)系。例如，要考查在某個(gè)人群中關(guān)于吸煙或不吸煙(因素A)與得肺癌或不得肺癌(因素B)兩組因素之間的關(guān)系。通常的作法是，隨機(jī)地從該人群中抽樣，對(duì)這兩種因素進(jìn)行調(diào)查，設(shè)調(diào)查了k個(gè)人，得到一個(gè)二維列聯(lián)表，見表8.1。其中，kij為調(diào)查的k人中出現(xiàn)因素A的第i個(gè)水平和因素B的第j個(gè)水平的人數(shù)。這樣，我們就得到一個(gè)兩因素，即吸煙與是否得肺癌的22列聯(lián)表。表8.1二維列聯(lián)表

二、有關(guān)記號(hào)為了敘述方便，先引進(jìn)一些基本概念和記號(hào)。設(shè)K=(kij)rc為一個(gè)rc的列聯(lián)表(表8.2)，稱元素kij為原始頻數(shù)。將列聯(lián)表K轉(zhuǎn)化為頻率矩陣，記為F=(fij)rc，見表8.3。表8.3一般的二維頻率表

第三節(jié)相應(yīng)分析的基本理論一原始資料的變換

二基于矩陣的分析過程

我們知道相應(yīng)分析的主要目的是尋求列聯(lián)表行因素A和列因素B的基本分析特征和它們的最優(yōu)聯(lián)立表示。為了實(shí)現(xiàn)行因素A與列因素B最優(yōu)聯(lián)立表示，進(jìn)一步剖析行因素A內(nèi)部之間，列因素B內(nèi)部之間，以及因素A和列因素B之間的關(guān)系，這里將介紹原始的列聯(lián)資料K=(kij)rc變換成矩陣Z=(zij)rc的具體過程，這樣使得zij對(duì)因素A和列因素B具有對(duì)等性，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)分析。

二、基于矩陣的分析過程

（8.14）式表明Zuj為相對(duì)于特征值λj的關(guān)于因素A各水平構(gòu) 成的協(xié)差陣∑r的特征向量。這樣我們就建立了相應(yīng)分析中R型因子分析和Q型因子分析的關(guān)系。也就是說，我們可以從R型因子分析出發(fā)而直接得到Q型因子分析的結(jié)果。這里需要強(qiáng)調(diào)的是，由于∑r和∑c有相同的特征根，而這些特征根又表示各個(gè)公共因子所提供的方差。那么，在因素B的c維空間Rc中的第一公共因子，第二公共因子直到第m個(gè)公共因子與因素A的r維空間Rr中相對(duì)于的各個(gè)主因子在總方差中所占的百分比就完全相同。這樣就可以用相同的因子軸同時(shí)描述兩個(gè)因素各個(gè)水平的情況，把兩個(gè)因素的各個(gè)水平的狀況同時(shí)反映到具有相同坐標(biāo)軸的因子平面上。一般情形，我們?nèi)蓚€(gè)公共因子，這樣就可以在一張二維平面圖上繪出兩個(gè)因素各個(gè)水平的情況，即可以直觀地描述兩個(gè)因素A和因素B以及各個(gè)水平之間的相關(guān)關(guān)系。

一、利用SPSS進(jìn)行相應(yīng)分析——

實(shí)例1數(shù)據(jù)來自SPSS軟件自帶數(shù)據(jù)集voter.sav，為1992年美國大選的部分?jǐn)?shù)據(jù)。要求對(duì)選民的最高學(xué)歷水平（degree）和所支持的總統(tǒng)候選人（pres92）進(jìn)行相應(yīng)分析。 （一）操作步驟 1.正確打開數(shù)據(jù)集voter.sav后，由Analyze→DataReduction→CorrespondenceAnalysis可進(jìn)入相應(yīng)分析的主對(duì)話框（圖8.1）。圖8.1相應(yīng)分析主界面 2.從左側(cè)變量列表中選擇兩個(gè)變量作為相應(yīng)分析的兩個(gè)維度。這里我們選擇pres92作為行維度，點(diǎn)擊Row左側(cè)的三角箭頭就可以看到在Row項(xiàng)下出現(xiàn)了pres92(??)，這時(shí)用鼠標(biāo)選中該變量，其下方的DefineRange子對(duì)話框激活，點(diǎn)擊后出現(xiàn)變量水平設(shè)置窗口（圖8.2）。分為上下兩個(gè)部分：Categoryrangeforrowvariable:pres92和CategoryConstraints。這里要分析所有的三位總統(tǒng)候選人和選民的學(xué)歷水平的關(guān)系，所以在Minimumvalue中填入1，在Maximumvalue中填入3，之后點(diǎn)擊Update按鈕。就可以在下方的CategoryConstraints欄中看到，后續(xù)分析中的行變量僅包含3個(gè)類目，分別是1、2和3。圖8.2DefineRowRange子對(duì)話框在右側(cè)還有三個(gè)單選項(xiàng)：None表示沒有任何約束；Categoriesmustbeequal可用于指定某些類目的得分必須相同，最多可以設(shè)置有效類目的個(gè)數(shù)減1個(gè)得分相等的類目，如本例中最多可以設(shè)置2個(gè)類目得分相等；Categoryissupplemental表示某些類目不參加相應(yīng)分析但是會(huì)在圖形中標(biāo)示。這里我們不對(duì)分類進(jìn)行任何約束，點(diǎn)擊Continue按鈕后回到主對(duì)話框。類似的可以指定degree的有效類目最小值為0，最大值為4。 3.點(diǎn)擊Model按鈕，指定相應(yīng)分析結(jié)果的維數(shù)。（圖8.3）

（1）Dimensionsinsolution。默認(rèn)為2，最大可以設(shè)置為各變量中的最少類目數(shù)減1。 （2）選擇距離測度的方式DistanceMeasure。有Chisquare 和Euclidean兩種，定性變量應(yīng)該用Chisquare。 （3）標(biāo)準(zhǔn)化方法StandardizationMethod。圖8.3Model子對(duì)話框（4）正態(tài)化方法NormalizationMethod。需要比較行列變量的類目差異時(shí)選擇Symmetrical，需要比較行列變量中任意兩個(gè)類目的差異時(shí)選擇Principal，比較行變量的類目差異時(shí)選擇Rowprincipal，而比較列變量的類目差異時(shí)選擇Columnprincipal，也可以在Customize中指定[-1,1]之間的任意實(shí)數(shù)，特別的，如果輸入-1則為Columnprincipal，輸入1為Rowprincipal，輸入0為Symmetrical。而一般該對(duì)話框中的選項(xiàng)無需改動(dòng)。4.點(diǎn)擊Statistics按鈕，設(shè)定輸出的相應(yīng)分析統(tǒng)計(jì)量，如圖8.4?？梢灾付ㄝ敵鱿鄳?yīng)分析表Correspondencetable，行點(diǎn)總覽表Overviewofrowpoints，列點(diǎn)總覽表Overviewofcolumnpoints，行輪廓Rowprofiles，列輪廓Columnprofiles。默認(rèn)只輸出前三項(xiàng)。而Permutationsofthecorrespondencetable是用于指定前n個(gè)維度的行列得分表。如果該項(xiàng)選中，下方的Maximumdimensionforpermutations被激活，用于指定維度n。此外，還可以在ConfidenceStatisticsfor復(fù)選項(xiàng)中選擇計(jì)算行點(diǎn)和列點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差以及相關(guān)系數(shù)。

圖8.4Statistics子對(duì)話框 5.點(diǎn)擊Plots按鈕，設(shè)定輸出的統(tǒng)計(jì)圖，如圖8.5?？梢灾付ㄝ敵鱿鄳?yīng)分析的散點(diǎn)圖Scatterplots，默認(rèn)只輸出包含行列變量的雙變量散點(diǎn)圖Biplot。也可指定輸出行點(diǎn)圖Rowpoints和列點(diǎn)圖Columnpoints。而IDlabelwidthforScatterplots是指定散點(diǎn)標(biāo)簽的長度，默認(rèn)20。下方的Lineplots項(xiàng)中，可以輸出行/列點(diǎn)對(duì)應(yīng)于行/列得分的線圖，和散點(diǎn)圖類似。 6.我們在Model，Statistics，Plots三個(gè)子對(duì)話框中都使用默認(rèn)設(shè)定，點(diǎn)擊主對(duì)話框的OK按鈕，即得到相應(yīng)分析的結(jié)果。圖8.5Plots子對(duì)話框 （二）結(jié)果分析： SPSS運(yùn)行相應(yīng)分析后會(huì)產(chǎn)生以下四張表（表8.4到表8.7）。 1.CorrespondenceTable（相應(yīng)分析表），如表8.4，即列聯(lián)表。ActiveMargin為邊際頻數(shù)。大致可以看出Clinton在各個(gè)學(xué)歷層次都有最高的票數(shù)。表8.4列聯(lián)表

2.Summary（總覽表），如表8.5。表中從左到右依次是維度編號(hào)、奇異值、慣量、卡方統(tǒng)計(jì)量、顯著性、慣量所占總慣量比例、每個(gè)維度的奇異值的標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)。SingularValue為特征值的平方根，根據(jù)總慣量和特征值求和相等，有0.1392+0.0162=0.019+0.000=0.019。第一個(gè)維度慣量0.019，占總慣量的98.7%，第二個(gè)維度慣量接近0，僅占總慣量1.3%。因此可以認(rèn)為只要用一個(gè)維度就可以解釋行列變量之間所有的關(guān)系，但為了說明分析過程，仍然保留兩個(gè)維度?？倯T量35.867÷1844=0.19，滿足總慣量和卡方統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系式。同時(shí)卡方統(tǒng)計(jì)量的自由度8=(3-1)×(5-1)，數(shù)值為0.000，說明行列變量之間存在顯著的相關(guān)性，相應(yīng)分析是有意義的。表8.5總覽表 3.OverviewRowPoints與OverviewColumnPoints（行/列點(diǎn)總覽表），如表8.6，表8.7?，F(xiàn)以表8.6為例，Mass項(xiàng)表示行變量中每個(gè)類目的邊際概率。Scoreindimension下面則是行點(diǎn)在兩個(gè)維度的坐標(biāo)（SPSS稱為得分），即有坐標(biāo)點(diǎn)Bush（0.194,-0.156），Perot（0.663,0.198），Clinton（-0.346,0.053）。Inertia項(xiàng)為慣量，即每個(gè)行點(diǎn)與行重心的加權(quán)距離的平方。而行慣量為行點(diǎn)與行重心的加權(quán)距離平方和，即0.19=0.002+0.009+0.008。比較表8.6和表8.7的總慣量，可以發(fā)現(xiàn)行慣量與列慣量相等。Contribution項(xiàng)有兩個(gè)部分，分別是行變量的每個(gè)類目對(duì)維度（公共因子）特征值的貢獻(xiàn)，每一個(gè)維度對(duì)每個(gè)類目的特征值的貢獻(xiàn)。表8.6行點(diǎn)總覽表表8.7列點(diǎn)總覽表 4.相應(yīng)分析圖，如圖8.6。可以發(fā)現(xiàn)研究生層次的選民（Graduatedegree）傾向于具有實(shí)干精神的Clinton，而較Clinton更為激進(jìn)的Bush更受highschool和Bachelor層次的選民歡迎，Perot僅和juniorcollege層次的選民較近。圖8.6相應(yīng)分析的二維圖 5.如果在Statistics子對(duì)話框中選中了Rowpropro還會(huì)輸出以下兩張表（表8.8，表8.9）。表8.8行輪廓表表8.9列輪廓表 6.行/列點(diǎn)圖（圖8.7，圖8.8）。如果要單獨(dú)考察行/列變量的各個(gè)水平在兩個(gè)公共因子維度上的分布情況，可在Plots子對(duì)話框中選中Rowpoints和Columnpoints。運(yùn)行后即得下圖：圖8.7行點(diǎn)在兩個(gè)公共因子維度上的分布圖8.8列點(diǎn)在兩個(gè)公共因子維度上的分布二、利用SPSS進(jìn)行相應(yīng)分析——

實(shí)例2

表8.104只股票的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù) （一）操作步驟： 1.首先由SPSS的因子分析過程（詳細(xì)步驟參見因子分析一章），通過主成分法估計(jì)和最大方差旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)需要3個(gè)公共因子才能解釋83%以上的方差?？傻靡蜃拥梅值挠?jì)算公式為（加上*號(hào)的變量和因子表示都已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化）：因此factor1可以稱為股票規(guī)模因子，factor2稱為股票收益因子，factor3稱為個(gè)股價(jià)值因子。將這三個(gè)因子劃分為5個(gè)等級(jí)：低于-0.5，-0.5~0，0~0.5，0.5~1，大于1，分別編碼為1,2,3,4,5。這樣就可以利用相應(yīng)分析