理論力學10九質(zhì)點動力學的基本方程

1第三篇動力學理論力學2引言一.研究對象：二.力學模型：研究物體的機械運動與作用力之間的關(guān)系2.質(zhì)點系：由有限或無限個有著一定聯(lián)系的質(zhì)點組成的系統(tǒng)。1.質(zhì)點：具有一定質(zhì)量而不考慮其形狀大小的物體。例如：研究衛(wèi)星的軌道時，衛(wèi)星質(zhì)點；剛體作平動時,剛體質(zhì)點。自由質(zhì)點系：質(zhì)點系中各質(zhì)點的運動不受約束的限制。

非自由質(zhì)點系：質(zhì)點系中的質(zhì)點的運動受到約束的限制。質(zhì)點系是力學中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。動力學引言3三.

動力學分類:質(zhì)點動力學質(zhì)點系動力學質(zhì)點動力學是質(zhì)點系動力學的基礎(chǔ)。四.

動力學的基本問題：大體上可分為兩類：

第一類：已知物體的運動情況，求作用力；第二類：已知物體的受力情況，求物體的運動。

綜合性問題：已知部分力，部分運動求另一部分力、部分運動。已知主動力，求運動，再由運動求約束反力。剛體是一個特殊的質(zhì)點系，由無數(shù)個相互間保持距離不變的質(zhì)點組成。又稱為不變質(zhì)點系。動力學引言4第九章質(zhì)點動力學的基本方程理論力學5§9–1動力學的基本定律

§9–2質(zhì)點的運動微分方程第九章質(zhì)點動力學的基本方程動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程6§9-1動力學的基本定律

質(zhì)點是物體最簡單、最基本的模型，是構(gòu)成復雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)，質(zhì)點動力學基本方程給出了質(zhì)點受力與其運動變化的關(guān)系，質(zhì)點動力學的基礎(chǔ)是三個基本定律，這些定律是牛頓在總結(jié)前人研究成果基礎(chǔ)上提出的，稱為牛頓三定律第一定律（慣性定律）不受力作用的質(zhì)點，將保持靜止或作勻速直線運動。不受力作用的質(zhì)點（包括受平衡力系作用的質(zhì)點），不是處于靜止狀態(tài)，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不變，這種性質(zhì)稱為慣性。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程7上式稱為質(zhì)點動力學的基本方程。建立了質(zhì)點的加速度、質(zhì)量與作用力之間的定量關(guān)系。當質(zhì)點受到多個力作用時，該式中的力F應為共點力系的合力。從該式還可以看出，質(zhì)點質(zhì)量越大，其運動狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點的慣性越大，因此，質(zhì)量是質(zhì)點慣性的度量；另外應注意公式中國際單位制（SI）的表示以及國際單位制和工程單位制的換算關(guān)系。第二定律（力與加速度之間的關(guān)系的定律）該定律的數(shù)學表達式為：動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程8第三定律（作用與反作用定律）兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時分別作用在這兩個物體上。這一定律就是靜力學的公理四，它不僅適用于平衡的物體，而且也適用于任何運動的物體。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程9上述三個定律適用的參考系稱為慣性參考系。今后，如無特別說明，我們?nèi)∨c地球固連的坐標系為慣性參考系；以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學，稱為古典力學。在此范疇，質(zhì)量、空間和時間是“絕對”的，與運動沒有關(guān)系，但近代物理已經(jīng)證明，質(zhì)量、時間和空間都與物體的運動速度有關(guān)，只是當物體的運動速度遠小于光速時，物體的運動對質(zhì)量、時間和空間的影響是微不足道的。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程10§9-2質(zhì)點的運動微分方程

質(zhì)點受到n個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n時，由質(zhì)點動力學第二定律，有

或

上式是矢量形式的微分方程，在計算實際問題時，需應用它的投影形式動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程11

1.質(zhì)點運動微分方程在直角坐標軸上投影設(shè)矢徑r在直角坐標軸上的投影分別為x,y,z,力Fi在軸上的投影分別Fxi,Fxi,Fxi，則前式在直角坐標軸上的投影形式為動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程12

2.質(zhì)點運動微分方程在自然軸上投影由運動學知,點的全加速度在自然軸系的的投影為動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程13動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程

應用質(zhì)點運動微分方程，可以求解下面兩類質(zhì)點動力學的問題:第一類：已知質(zhì)點的運動，求作用在質(zhì)點上的力（微分問題）解題步驟和要點：

①正確選擇研究對象（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點）。

②正確進行受力分析,畫出受力圖(應在一般位置上進行分析)。

③正確進行運動分析（分析質(zhì)點運動的特征量）。

④選擇并列出適當形式的質(zhì)點運動微分方程（建立坐標系）。

⑤求解未知量。14

第二類：已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動（積分問題）解題步驟如下：①正確選擇研究對象。②正確進行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應放在一般位置上進行分析，對變力建立力的表達式）。③正確進行運動分析。(除應分析質(zhì)點的運動特征外，還要確定出其運動初始條件）。選擇并列出適當?shù)馁|(zhì)點運動微分方程。求解未知量。根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運動的初始條件，求出質(zhì)點的運動。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程15[例1]橋式起重機跑車吊掛一重為P的重物，沿水平橫梁作勻速運動，速度為，重物中心至懸掛點距離為l。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點O向前擺動，求鋼絲繩的最大拉力。解：①選重物(抽象為質(zhì)點)為研究對象

②受力分析如圖所示③運動分析，沿以O(shè)為圓心,l為半徑的圓弧擺動。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程16④列出自然形式的質(zhì)點運動微方程⑤求解未知量動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程17

討論①減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩子長度。②拉力FTmax由兩部分組成,一部分等于物體重量,稱為靜拉力一部分由加速度引起，稱為附加動拉力。全部拉力稱為動拉力。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程18[例2]

煤礦用填充機進行填充,為保證充填材料拋到距離為S=5米,H=1.5米的頂板A處。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

?(2)初速與水平的夾角j0？解：屬于已知力為常量的第二類問題。選擇填充材料M為研究對象，受力如圖所示，M作斜拋運動。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程19動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程微分方程列直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程并對其積分運算積分一次再積分一次20動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程代入最高點A處值，得：即將到達A點時的時間t,x=S,y=H代入運動方程，得發(fā)射初速度大小與初發(fā)射角為21[例3]

發(fā)射火箭，求脫離地球引力的最小速度。解：屬于已知力是位置的函數(shù)的第二類問題。取火箭(質(zhì)點)為研究對象,建立坐標如圖示?；鸺谌我馕恢脁處受地球引力F的作用。

即：動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程22

可見，v隨著x的增加而減小。若則在某一位置x=R+H時速度將減小到零，火箭回落。若時，無論x多大（甚至為∞）,火箭也不會回落。因此脫離地球引力而一去不返時（）的最小初速度（第二宇宙速度）動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程則在任意位置時的速度23

曲柄連桿機構(gòu)如圖所示。曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，OA=r，AB=l，當λ=r/l比較小時，以O(shè)為坐標原點，滑塊B的運動方程可近似寫為如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當和時，連桿AB所受的力。xyOABjβw動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程[例4]

24動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程25

以滑塊B為研究對象，當j=ωt

時，受力如圖。連桿應受平衡力系作用，由于不計連桿質(zhì)量，AB

為二力桿，它對滑塊B的拉力F沿AB方向。由題設(shè)的運動方程，可以求得

當時，且，得AB桿受的拉力xBmgFNFβ解：寫出滑塊沿x軸的運動微分方程動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程xyOABjβw26得

時，，AB桿受壓力。xBmgFNFβ則有動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程xyOABjβw27（a)(b)解以木箱為研究對象，作受力分析如圖所示。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程

[例5]

如圖所示得擺動輸送機，由曲柄帶動貨架AB輸送木箱M，兩曲柄等長，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，設(shè)在θ＝45°處由靜止開始運動，已知曲柄O1A的初角加速度。如啟動瞬時木箱不產(chǎn)生滑動，求木箱與貨架之間的靜滑動摩擦系數(shù)是多少？28由于O1A=O2B，O1O2=AB，故AB桿作平面曲線運動。

設(shè)木箱與貨架無相對滑動，木箱的加速度應與點A的加速度相同，由于啟動瞬時貨架各點的速度為零，故建立圖示坐標系，有根據(jù)靜滑動摩擦力的性質(zhì)有：(b)動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程29解方程組：可得：

為保證木箱與貨架在啟動瞬時不相對滑動，所需最小的靜滑動摩擦系數(shù)為：動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程30[例6]

l0mkv0

彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)，物塊的質(zhì)量為m,彈簧的剛度系數(shù)為k,物塊自平衡位置的初始速度為v0。求：物塊的運動方程動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程31xmkxO

解：這是已知力(彈簧力)求運動規(guī)律，故為第二類動力學問題。

以彈簧在靜載mg作用下變形后的平衡位置為原點建立Ox坐標系，將物塊置于任意位置x>0處。l0FP物塊在x方向只受有彈簧力

F＝kx

和重力P＝mg。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程32根據(jù)直角坐標系中的質(zhì)點運動微分方程動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程FPmkxOl0x33兩次積分得：動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程34

電梯的質(zhì)量m=3000kg,以勻速v=1.5m/s下降，若突然剎車停住。設(shè)鋼索的剛性系數(shù)k=27kN/cm,忽略鋼索質(zhì)量。求此后電梯的運動規(guī)律及鋼索最大拉力。解:將鋼索-電梯系統(tǒng)簡化為彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程[例7]

35FxmkxOl0P動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程36FxmkxOl0W鋼索最大拉力動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程37

質(zhì)量是

m

的物體

M

在均勻重力場中沿鉛直線由靜止下落，受到空氣阻力的作用。假定阻力FR

與速度平方成比例，即

FR=cv2

，阻力系數(shù)

c

單位取kg·m－1

，數(shù)值由試驗測定，試求物體的運動規(guī)律。xxFRmgvM動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程[例8]

38解：

取坐標軸Ox鉛直向下，原點在物體的初始位置。寫出物體

M的運動微分方程。以

m除式(1)兩端,并代入

v0

的值,得當時，加速度為零。這個v1就是物體的極限速度。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程xxFRmgvM39分離變量,并取定積分,有由上式求解v，得于是物體速度隨時間而變化的規(guī)律為th是雙曲正切。動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程40于是求得物體的運動方程為為了求出物體的運動規(guī)律，只需把(3)再積分一次，有動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程41

質(zhì)量為m的質(zhì)點帶有電荷e，以速度v0進入強度按E=Acoskt變化的均勻電場中，初速度方向與電場強度垂直，如圖所示。質(zhì)點在電場中受力F=-eE作用。已知常數(shù)A，k，忽略質(zhì)點的重力，試求質(zhì)點的運動軌跡。交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程[例9]

42動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程43

取質(zhì)點的初始位置O為坐標原點，取x，y軸如圖所示，而z軸與x

，y軸垂直。于是力在三軸上投影為Fx=Fz=0

因為力和初速度在z軸上的投影均等于零，質(zhì)心的軌跡必定在Oxy平面內(nèi)。寫出質(zhì)心運動微分方程在x軸和y軸上的投影式解：動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E44得按題意，時，以此為積分下限，式和的定積分分別為動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E45從以上兩式中消去時間t，得軌跡方程軌跡為余弦曲線，如圖所示。對以上兩式分離變量，并以t=0時，x=y=0為下限，做定積分得質(zhì)點運動方程動力學第九章質(zhì)點動力學的基本方程交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點運動軌跡E46()A．a(chǎn)、b都正確。

B．a(chǎn)、b都不正確。C．a(chǎn)正確，b不正