八年級(上)數(shù)學(xué)培優(yōu)專題-如何做幾何證明題(含答案)

-PAGE3-如何做幾何證明題【知識精讀】1.幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。2.掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。【分類解析】1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圖1所示，中，。求證：DE＝DF分析：由是等腰直角三角形可知，，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD，易得，。從而不難發(fā)現(xiàn)證明：連結(jié)CD說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長ED到G，使DG＝DE，連結(jié)BG，證是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。例2.已知：如圖2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠F證明：連結(jié)AC在和中，在和中，在和中，說明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。3、證明一線段和的問題（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長法）例5.已知：如圖6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O。求證：AC＝AE＋CD分析：在AC上截取AF＝AE。易知，。由，知。，得：證明：在AC上截取AF＝AE又即（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補(bǔ)短法）例6.已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。求證：EF＝BE＋DF分析：此題若仿照例1，將會遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長CB至G，使BG＝DF。證明：延長CB至G，使BG＝DF在正方形ABCD中，又即∠GAE＝∠FAE【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.已知：如圖11所示，中，，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥CD于D，交BC于E，且有。求證：2.已知：如圖12所示，在中，，CD是∠C的平分線。求證：BC＝AC＋AD3.已知：如圖13所示，過的頂點(diǎn)A，在∠A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：MP＝MQ【試題答案】1.證明：取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF又2.分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長補(bǔ)短”的手法?！敖亻L”即將長的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段