全等三角形經(jīng)典題型-輔助線問(wèn)題

全三經(jīng)題—助線題

全等三形題中常的助線的法含答案)總論：全三角形問(wèn)題最主要的構(gòu)造全等三角形，造二條邊之間的相等，構(gòu)二個(gè)角之間的相等【三角輔助線做法圖有分，兩作。也將對(duì)，稱關(guān)現(xiàn)角分行，三形。角分加，線試看線垂分，兩把。要線倍，長(zhǎng)可驗(yàn)三形中，則中。三形有，長(zhǎng)等線1.腰角“線一法

遇等角可底邊的利“合”質(zhì)題2.倍長(zhǎng)中：

倍中使長(zhǎng)與中相等構(gòu)等角3.平線三添助4.直分聯(lián)線兩5.“長(zhǎng)”“短：于三段長(zhǎng)

遇有線長(zhǎng)等

遇遇三中一6.形全：

有個(gè)60度120度該添后等三7.度為30、60度的垂法為3060可以一上向的一作，的成30-60-90的殊三形，計(jì)邊度角數(shù)樣以到值相二邊個(gè)從而證全角創(chuàng)、之相條8.算值：

遇等角角正形，30-60-90的殊直三形，或的殊角形,算的與的，樣以在值等二或個(gè)，而證等角造、間相件常輔的法下種：主是造全三，構(gòu)二條之的相，角間相1)

遇等角，底上，用“線”性題思式全

2)3)4)5)

變中對(duì)”造等形遇三的線長(zhǎng)線延線段原長(zhǎng)等造等形利的維是等中“”法構(gòu)全三．遇角線三輔線法）可自分上一向兩作線利思模三形變中“折，考點(diǎn)常平線質(zhì)定或理（2）在平上一點(diǎn)該分的與的相，成對(duì)三形（3）可在的邊上距的點(diǎn)長(zhǎng)的上取點(diǎn)然這點(diǎn)角分的點(diǎn)邊，一全角。過(guò)形一作的分構(gòu)全等角利的模是變中“移“轉(zhuǎn)”截法短，做是條段上取線與線相或?qū)l段，之定段，利

CC6)

三形的關(guān)加說(shuō)．作，適于線的差倍等的目已某的直線那以垂直分的點(diǎn)線的端作線出全三。特方：有三的值的題常把點(diǎn)三形點(diǎn)線接來(lái)利角面知解一倍線線造等例1已，△ABC中，，AC=3，則線AD值圍________.解延E連，三性知AB-BE

故的取范1<AD<4D例如△ABC中E別AB、AC上，DE中試較EF大.AEFB

D

C

解(倍長(zhǎng)線腰角三合)長(zhǎng)FD使連顯，在注到DE⊥DF，腰角三線一EG在由角質(zhì)EG<BG+BE故例如，BD=DC=AC，EDC中點(diǎn)求AD平分BAE.C解延至G使AG＝2AE連BG顯DG＝AC，∠GDC=由DC=AC，故∠ADC=

在ADG中BD＝AC=DG∠ADC+∠GDC∠ADG故≌△ADG故∠，AD∠BAE應(yīng)：1以兩AB、為腰

ABC

別外等Rt和腰tACEBAD90

連DE，M、C的點(diǎn)究與E的置及量．（1）如①為角形，與的置系是，線與的關(guān)是；（將①的等Rt繞A沿時(shí)針向轉(zhuǎn)(0<，圖示（問(wèn)得到兩論否改？明由

解（1）

，EDAMAMED證：到G，，，則MGAMABGC平四邊∴ACBG

D又

DAEBAC

A

N

H

E∴再：ABG

B

G

M

C∴

，DEAMEDA延MNH∵∴∴

90HDADAH90AMED

D

F（）論仍成．

PA

N

EBM

C

證：，長(zhǎng)至F，F(xiàn)AAC交點(diǎn)P并接BF∵，DABA∴

90∵和中FABEAD

∴

（SAS）∴BFDEAEN∴∴

APEAEN90FB又

CA

，

CM∴

AMFB

，

AM

FB∴，AMDE

12二截短1如圖中AB=2ACAD平且，BAC求：⊥AC

解（長(zhǎng)法在取點(diǎn)，F(xiàn)D△ADB等腰角F底點(diǎn)三合一DF，∠△ADF△ADC∠ACD＝∠AFD＝90°：CDA2如圖，EA,EB分平CD過(guò)點(diǎn)E，證;AB＝AD+BC解（長(zhǎng)法在AB上點(diǎn)F使AF＝AD，F(xiàn)E△ADE△AFEA

DEB

C

∠ADE∠AFE∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故＝∠EFB△FBE△CBE故BF＝BC從;AB＝AD+BCABQPC

3如已在ABC

，40

，P別在，AP，BQ別，角分求證BQ+AQ=AB+BPBACABC解（法,計(jì)算值法延AB，使＝BP連DP在腰可∠BDP從∠＝

△ADP△ACP故AD＝AC又＝40°BD從BQ+AQ=AB+BP

故BQ＝QC4如，在四邊ABCD，BC＞BA,AD＝CD，BD平分

ABC

，

求：A解（短法延BA至F使BF＝BC連△BDF△BDC故＝∠DCB，F(xiàn)D又AD＝CD故等BFD中∠DFB∠DAF

故∠5圖△ABC中AB＞AC∠1∠2，P為AD上任一求AB-AC＞PB-PCA1

2B

PD

C解（短法延至，使＝AB，PD△ABP△AFP故BP＝PF由角質(zhì)PB＝PF－PC<CF－AC＝AB應(yīng)：

分：連，梯的轉(zhuǎn)成等三的題，然利知件邊角的通證角全決們題解有

AE連，E作ACF點(diǎn)EF//則證為等角AEF

AD即

，

B

EF

C∴

又，AD//BC60∴

BAD又

DEC

AD∴

FECEB

在中EADCFE

，

，

FEC∴∴∴

ADBCAD點(diǎn)：的法新，形問(wèn)化等角的然利用等形性解三平換例1△角平線直線⊥AD于A.EMN一，周長(zhǎng)為EBC長(zhǎng)記.PA求.PPBA解（反法BAF，AF＝AC連FEAD為△角分MN⊥AD

知＝∠CAE故△FAE△CAE故EF＝CE在：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從

P

=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PB

A例2如在ABC的邊兩D、E，BD=CE證證明：點(diǎn)M,連AM延長(zhǎng)至N,使MN=AM,連∵∴∴△DMN≌△EMA(SAS),∴

同理BN=CA.延長(zhǎng)ND交AB于P,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,∴AB+AC>AD+AE。四借平線等1如，已知在△，∠B=60°，的角分AD,CE相于O，求：OE=ODDC+AEE證明(角分線在種添助線,算數(shù)值∠度,

O則∠BAC+∠度;

AD,CE均為角平分線則∠∠度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC截取線AF=AE,連接OF.又AO=AO;∠OAE=∠.則⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=.則∠COF=∠AOC-∠AOF=60度∠又OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.

OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2如，△ABC，AD平⊥BC且平BC，DE⊥AB于E，DF⊥ACF.（1）說(shuō)的由）如，AC=，b求AE、BE長(zhǎng).解(垂平聯(lián)線端連BD，DC

ADG垂直分故BD

B

E

F由AD平∠BACDE于E，DFF，故ED故RT）故BE＝CF。AB+ACAEBE=(a-b)/2

D應(yīng)：如，∠的分請(qǐng)利該形對(duì)所在為稱的等形請(qǐng)你這作三角的，答問(wèn)：（如②△ABC中∠角∠B°、分是∠BAC∠BCA平，AD、相于F。你并出FE與之?dāng)?shù)關(guān)（）圖③在△ABC中如不

是角(中它件，問(wèn)你中得論是仍立若A立請(qǐng)證；不成，圖①圖②圖③說(shuō)理(23題圖)

BB解（1）FD之的數(shù)關(guān)為

FE（）1）的結(jié)仍成。FEFD證一：圖，在AC上截，連AG∵

，AF為共∴∴

AGF，F(xiàn)EFG∵

，、分是、的平BAC線

∴

60

1

EF23

4

D∴∴

CFDAFG60CFG60

AGC圖1

∵

及公邊∴∴∴

CFDFEFD證二2過(guò)點(diǎn)F別于點(diǎn)，F(xiàn)GAB

于H∵

，、分是、BBAC

平線

E

G

F

DH∴得

60

，F(xiàn)是

1的心A

3

4

C∴

60

，

FG

圖2又

HDF∴

GEFHDF∴證

DHF∴

FEFD

五旋例1方ABCD中上的點(diǎn)為CD一BE+DF=EF的數(shù)

證明：三角形ADF繞點(diǎn)A順針旋轉(zhuǎn)90度，至三形ABG則又AE=AE，AF=AG，所以三形AEF全等于所以∠EAF=∠BAE+∠又∠EAF+∠所以∠EAF=45度

例2D等斜AB的中點(diǎn)ABCDN,DM,DN分交BC,CA于E,F。(1)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)時(shí)證DE=DF(2)四形DECF的。

解(計(jì)值（1連DCD等腰斜AB中，故CD⊥ABABCCDCD平0°，ECD＝DCA＝°由DM⊥DN，有＝由，∠A0°從∠∠FD＝故△（ASA故DE=DF（2

S=2,S=S=1△ABC四DECF△ACD例如，是邊長(zhǎng)3的邊三形

BDC是腰形且

120

，頂一個(gè)角，兩分于交AC600點(diǎn)N，連MN，的周；

解(圖形全,截法“短法”,算值A(chǔ)C的延與延線點(diǎn)F在段CF取，使CEBM∵ABC為等邊角eq\o\ac(△,，)等角，且BDC=120°，∴MBD=∠∠+30°=90°，∠-∠ACD=180°∠ABD=90°又，，∴≌BDM，∴CDE=∠BDM，DE=DM∠NDE=∠NDC+∠∠NDC+∠BDM=∠-60°=60°，∵△△中，∠∠EDN=60°

ABCDADABCDADCDBC∠MBN60∠，DCF∠MBNAE∠CF∴≌，∴∵△△DEF，∠--∠CDE=∠EDF(CDE=∠∠∠DFE=30°∴≌，∴的周為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應(yīng)：已邊中，，，∠120

o

，，旋，兩o邊別（們延）．當(dāng)點(diǎn)轉(zhuǎn)時(shí)如，易AE

．當(dāng)點(diǎn)轉(zhuǎn)時(shí)在和3這種下，述是成若立請(qǐng)給證若成線

AECF

，又樣EF

FCFC的量？寫的想需明A

A

AB

E

M

B

E

M

B

F

N

F

N

DN

E（（圖2）（圖3）

M解（1），，，ADCDABAE∴

（SAS∴

，

∵

，120MBN∴

ABECBF30

，為等角BEF∴

EF

，

CFAE

BE∴

CFEF（）成，不立證圖延長(zhǎng)點(diǎn)K，連AE

BK則BAEBCK∴，ABEKBC∵，60120

K

BC

AFN圖2

EMD∴∴∴∴∴∴即

ABEFBCKBC6060EBFKFEFEFEF圖3成CFEF關(guān)是

AECFEF（09一）知PA=,PB=4,為邊方ABCD,使P、D兩點(diǎn)在直的側(cè).(1)圖,時(shí)求AB及的;(2)∠APB變,且其條件變時(shí),PD

的大及∠APB的大.分）作助線，作

于E，在

中已

，AP的值，據(jù)角函可AE，PE的值出由PB的，BE的，中ABE根勾理將求；PD的值有兩解解一將繞順時(shí)旋轉(zhuǎn)90

得

，得

，求長(zhǎng)即為的長(zhǎng)在

Rt

中可值出PP

Rt

中根勾理將

的求解二點(diǎn)作的線，與延長(zhǎng)交F，PB于G在中，出AG的，而AEG可的值在中求中RtRtPDF根勾理將的值求（）繞點(diǎn)A順針旋，PAD90

，的最大即的大值故、三P點(diǎn)線取大

可的最值時(shí)

APB

．解（1）如圖作

PB

于E

DCP

AEB

∵中，，RtAPB

∴

AE

∵∴

在中，RtAEB∴

BE

②法如，四形ABCD為正D方可將繞時(shí)針90得到C可

，

PD

，

′

A∴

，，90

PEB∴

，PPPA

2∴

PD

5

；解二圖過(guò)P作行，DA的延線F設(shè)DA的線交于G在，得RtAEG

AEcosEAGcosABE3

，

1

，PGPEEG在可RtPFGFG

PFcosFPGcosABEGPF

，EB

C

ABCBDCABC在，得RtPF

FG

105（圖示將繞點(diǎn)A針轉(zhuǎn),90得

，PD最值，為的值∵

中

，

2

，且P、兩落線兩∴、P三共時(shí)，取最（圖此

P

，的最為6此

APB180在的兩、所在上別有兩點(diǎn)M、，D

V

外點(diǎn)，MDN60

,探究M、分在線、移時(shí)BM、NC、之間數(shù)系的與邊的周

L關(guān)圖

圖圖3（I），點(diǎn)M、N邊AB、上，且時(shí)，BM、之?dāng)?shù)關(guān)是；此時(shí)

；（II）2，MN邊AB、，當(dāng)DMDN時(shí)，（I）的兩結(jié)論成？出猜并證明（III）圖3當(dāng)MN分邊、的長(zhǎng)線時(shí)若AN=，Q=示．

（、L表

分果，DN

因?yàn)?，BD那

DBCDCB30

，就

NCD

，角角、NCD因，，BDDCDN根定兩角等那

BMNC

，DNC

，角中，

，

，在角中，

DN

，

60

，此形個(gè)三形，

MN2NCBM

，三形AMN的

QAMAMNCAB因．Q:L:

，形周

LAB

，（）果DN

，們過(guò)建三形實(shí)段轉(zhuǎn)延ACE，，連1）我經(jīng)出

MBD90

，那三MBD和ECD中，有一直角CE

，，此三全，DMCDE

，BDCMDN60

三和中有DM

，一共，此三全，，我把BM轉(zhuǎn)MN成CE，MN轉(zhuǎn)成因

CN

，因

MNBM

與L關(guān)的求法同（1，得出結(jié)一的

NN（3）我可構(gòu)全角來(lái)線段轉(zhuǎn)思同）D

CDHMDB

，角形BDM和CDH中由（1）中經(jīng)得的DCH

，們角

，，此兩角等ASA那，三BMCHDM角MDNNDH中已知的條，MD條共，要想得三角全就需知道

，為

CDHMDB

，此

MDH

，因

60

，么

，此

，樣成兩形等條三形MDN和就等那么，的周長(zhǎng)NMNHQANAMMNABBM．為ACBMAB的周2．Q

，

AB

L

，此形解（1）圖，BM、、MN之的數(shù)量系

；．L3（）想：論然成．證：2，長(zhǎng)AC至E，使

ACEBM

，接

B

CD圖1

∵且BDCDBDC∴DBCDCB30又是等角∴MBD90在與中

N

AMBDECDBDDC

M

B

C∴

（）

D圖2

E

N∴，DMCDE

A∴

MDN在

與

EDN

中

M

B

D

HC圖3MDN

DN∴

MDNEDN

（SAS）∴

MNNCBM故

AMN

的

周

長(zhǎng)QAMMNBMACAB

而邊的ABC

LAB∴

Q2ABL3AB（）圖3，M、N別AB、CA的延線，若則AN

Q

23

（x、L．L點(diǎn)：本考三形的定質(zhì)題中段換是全三來(lái)現(xiàn)當(dāng)中沒(méi)明的全三形時(shí)們根條過(guò)輔來(lái)建知所件關(guān)等角

D

DCC′

A

AP

B

P

P

B

ABC∠90【全等三形經(jīng)典題型明慎塊角玻摔如所示四即中1、4的四你為中哪塊去店，配塊原樣小角？帶A．塊

B

．

第

塊C．塊

D．第塊第4題23.（分）知，中

°

，，AC=點(diǎn)上中點(diǎn)在邊，在邊DACFBC上且試究條段的系CF、并明。

ACD、F第23題（8分用個(gè)全的三形和拼成邊，一角三尺個(gè)ABCD60邊疊使角角頂與重合A兩分重合將角點(diǎn)按時(shí)、方旋（1）當(dāng)三角尺于四邊形的BCCDBE、

相于（如通觀察測(cè)、的度，能什結(jié)并明。（2）當(dāng)三角尺與四邊形的BCCD

的長(zhǎng)較點(diǎn)（圖1中到論成？說(shuō)由

ABCDEAF⊥AMABCDEAF⊥AM⊥（（）圖（正形中為邊上，過(guò)點(diǎn)作交延CDCB線于

F

，

AE

與

的數(shù)關(guān)系為說(shuō)明由（2）圖（）的件下連，過(guò)點(diǎn)的長(zhǎng)，察想與ACBMMF

的量（說(shuō)理由

解問(wèn)①師一如示板料其

，。師想一∠∠=90=后它正形你王在（）畫(huà)剪示圖②師在兩樣小余能否每上一然后拼成大正呢若，畫(huà)剪示圖不，證明由

CMAEB20、本分6分如段經(jīng)段

CD的點(diǎn)，且.求：A

C

EB20題

D25、本分10如