全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法

全等三形題中常的助線的法有答案)總：等角問最要是造等角，造條之間相，造個之的等1.腰角“線一法線合一”的性質解題

遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三2.長線

倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形3.平線三添助4.直分聯(lián)線兩5.“長”“短”

遇有條段之等第條段長6.形全：

有個為度度的把角線構等三形7.度為、60的垂法

遇三形的個為度或度，可從一上點角另邊垂，的構30-60-90特直三形然后算的度角度，樣以到數(shù)上等二邊或個。而證全三形造、之的等件8.算值：

遇等直三形正形，的特直三形或40-60-80的特直角角,計邊長與的數(shù)這可以到數(shù)上等的條或個，而證全三形造、之的等條。常輔線作有下種最要是造等角，造二邊間相，個之的等1)2)3)

遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”構造等角．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”法造等角．遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊1/20

4)5)6)

作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．（2）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。（3）以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構造一對全等三角形。過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．一倍中（段造等例1、（希望杯”試題）已知如圖△ABC中，AB=5，則線AD的取范圍是_________.

DC例2、如圖，△ABC中，E、F分在AB上，DE⊥DF，D中點，試比較BE+CF與EF的大小.

AEB例3、如圖，△ABC中BD=DC=AC，E的中，求證AD平分BAE.2/20

D

FC

ABCABCACEB

ADEC應：1、09崇文二模）以的邊、AC為分別向外作等腰Rt和腰Rt，

BAD90

連接DEN分別是B、的點探究：AMDE的位置關系及數(shù)量關系．（1如圖①當為直角三角形時AMDE的位置關系是，線段AMDE的數(shù)量關系是；（將圖①中的等腰t

ABD

繞點A沿時針方向旋轉(0<<90)，如圖②所示，（1問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由．/

二截補1、如圖，ABC中，，AD分且AD=BD，求證：⊥AC2、如圖，，EA,EB分平分DAB,∠CBA，CD過點，求證AB＝AD+BC。A

DEB

C3、圖，已知在內BAC，C

分在上并AP分別是

BAC

，

ABC

的角平分線。求證：

ABQP4、如圖，在四邊形ABCD中BC＞BA,AD＝CD平分求證：

ABC

，

C5、如圖在△ABC中AB＞AC，∠1∠2，P為AD上意4/20

一點，求證AB-ACA12B

PD

C應：三平變例1AD為ABC的平分線，直線MN⊥AD于為MN上點eq\o\ac(△,，)ABC周長為，A△EBC周記為.求證＞P.BBA5/20

例2如圖在△ABC的上取兩、E且BD=CE，證：AB+AC>AD+AE.

四借角分造等1、如圖，已知在ABC中，∠B=60°△ABC的平分線AD,CE相交點O，求證：OE=ODEO

2、如圖，△ABC中，平∠，DG⊥BC平分BC，DE于E⊥AC于F.（1）說明BE=CF的由；（2）果AB=

，AC=

，求AE、BE的長AB

E

F6/20

應：、如圖①，是∠MON的分線，請你利用該圖形畫一對以OP所直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1如圖②，在△中，∠ACB是直角，∠B=60°，、CE分是BAC∠平分線、CE交于點F。請你判斷并出FD之的數(shù)量關系；（2如圖③，在△中如ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若立，請證明；若不成立，請說明理由。BM

BO

P

E

F

E

F

D圖①

N

A

圖②

C

A

圖③

C(第23題圖)五旋例1正方ABCD中，E為BC上一點FCD上一點BE+DF=EF，∠EAF的數(shù)

例2D為腰斜的中，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1）當MDN繞轉時，求證。（2）若AB=2，求四邊形DECF面積。

BAEM

C

AN/

例3如圖，ABC是邊長為3的等邊三角，是等腰三角形，且BDC

0

，以D為頂做一個0角使其兩邊分別交于點M交AC于，連接MN，則

AMN

的周長為；AMNB

CD應：、已知四中，AB，CD，BC，∠ABC120

，∠，∠MBN繞點轉，它的兩邊分別交，（它們的延長線）于

E，F(xiàn)

．當∠MBN繞點旋轉到CF時如圖1），易證

AECFEF

．當∠MBN繞點旋轉到時在圖2和圖3兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，，EF又怎的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明．AAEMBB

E

BC

F

D

C

F

D

F

C

D

EM（圖）（2

（圖）8/20

、（西城年模）已:PA=在直線AB的兩側.

,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使、D點落(1)如圖,當∠時求AB及PD的;(2)當∠APB變化,且其它條件不,求PD最大值及相應∠APB的大小、在等邊ABC的邊、AC所在直線上分別有兩點M、，D為ABC外點，且MDN

BDC

,BD=DC.探究：當、N分在直線AB、上動時，BM、、MN之的數(shù)量關系及

的周長與邊

的周長L的系．圖

圖

圖（I）如圖，當點M、邊ABAC上且DM=DN時BM、NC之間的數(shù)量關系是；此

QL

；（II）如圖，點M、邊ABAC上且DM時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（III）如3當M、分在邊AB、延長線上時，若

x

，則Q=（用

x

、L表）．9/20

參考答案與示一倍中（段造等例1、（希望杯”試題）已知如圖△ABC中，AB=5，則線AD的取范圍是_________.解：延長AD至E使AE，BE，由三角形性質知

AB-BE<2AD<AB+BE

故AD的值范圍是1<AD<4D

C例2、如圖，△ABC中，E、F分在AB上，DE⊥DF，D中點，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍中,腰三角形“三線合一”)延長FD至G使＝2EF連BG，EG,E

A顯然BG＝FC，在△中注意到DE⊥DF，由腰三角形的三線合一知

B

D

FCEG＝EF在△中由三角形性質知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如圖，△ABC中BD=DC=AC，E的中，求證AD平分BAE.ABDEC解：延長AE至G使AG，BG，DG,顯然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC/

在△與△中BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC∠ADG故△ADB≌eq\o\ac(△,，)ADG故∠BAD=∠DAG即AD分∠BAE應：1、（09崇文二模）以的兩邊AB、腰分別向外作等

腰ABD和等腰t

ACE

，

BADCAE

連接D，、分別是C、的中點．探究：AM與的位置關系及數(shù)量關系．（1如圖①當為直角三角形時AMDE的位置關系是，線段AMDE的數(shù)量關系是；（將圖①中的等腰t

ABD

繞點A沿時針方向旋轉(0<<90)，如圖②所示，（1問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由．二截補1、如圖，ABC中AB=2AC，AD平分，AD=BD，求證：⊥AC解：（截長法）在AB上中，連FD/

△ADB是腰三角形，是底AB中點由三線合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC（SAS）∠ACD即CD⊥AC2、如圖，∥BC，EA,EB分平分DAB,∠CBA，CD過點，求證AB＝AD+BC解：（截長法）在AB上點F，AF＝AD連FEeq\o\ac(△,≌)ADE△AFE（SAS）∠ADE＝∠AFE，

A

DE∠ADE+∠AFE+故∠ECB＝∠EFBeq\o\ac(△,≌)FBE△CBE（AAS）故有BF＝BC從而;＝AD+BC

B

CABQP3、圖，已知在△ABC內BAC60

，

40

，Q分在BC上并且AP，BQ分別是

CBAC，ABC的角平分線。求證BQ+AQ=AB+BP解：（補短,計算值法）延長AB至D使BD＝BP連DP在等腰△中可得∠BDP＝40°從而∠BDP＝40°＝∠ACPeq\o\ac(△,≌)ADP△ACP（ASA）故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB

故BQ＝QC/

BD＝BP從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中BC＞BA,AD＝CD平分ABC，求證：

解：（補短法）延長BA至F，使BF＝BC，連FD

△BDF≌△BDC（SAS）故∠DFB＝∠DCB，F(xiàn)D又AD＝CD故在等腰△中

∠DFB＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD＝180°5、如圖在△ABC中，AB＞AC，＝∠2為AD上意一點，求;AB-AC＞PB-PC1PBD解：（補短法）延長AC至F，使AF＝AB連PDeq\o\ac(△,≌)ABP△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性質知PB－PC＝PF－PC<CF＝AF＝AB－AC應：

A2

C/

三平變例1AD為ABC的平分線，直線⊥AD于A.EMN上一eq\o\ac(△,，)ABC周長為

PA

，△EBC周記為

PB

.求證

PB

＞

PA

.解：（鏡面反射法）延長BA至F使AF＝AC連FEAD為△ABC的角平分線MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有eq\o\ac(△,≌)FAE△CAE（SAS）故EF＝CE在△中：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而

P

=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PB

A例2如圖在△ABC的上取兩、E且BD=CE，證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點M,連AM并延長至N,使MN=AM,連BN,DN.∵BD=CE,14/20

∴DM=EM,∴△DMN≌△∴DN=AE,同理BN=CA.延長ND交AB于BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。四借角分造等1、圖，已知在△ABC中∠，△ABC的角平分線AD,CE相于點O求證：OE=OD，DC+AE=AC

證明(角平分線在三種添輔助線,計算數(shù)值法)∠B=60

度,則∠BAC+∠BCA=120度;

EAD,CE均為角平分線則∠OAC+∠OCA=60=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,接OF.

O

又AO=AO;OAE=∠OAF.則⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.則∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖，△ABC中，平∠，DG⊥BC平分BC，DE于E⊥AC于F.（1）說明BE=CF的由；（2）果AB=

，AC=

，求AE、BE的長解(直平分線聯(lián)結線段兩連接BD，DCDG垂直平分BC，故

A由于平分BAC，⊥AB于，DF⊥AC，故有15/20

B

E

F

ED＝DF故eq\o\ac(△,RT)DBE≌RT△DFC（HL）故BE＝CFAB+AC＝2AEAE＝）/2應：、如圖①，是∠MON的分線，請你利用該圖形畫一對以OP所直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1如圖②，在△中，∠ACB是直角，∠B=60°，、CE分是BAC∠平分線、CE交于點F。請你判斷并出FD之的數(shù)量關系；（2如圖③，在△中如ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若立，請證明；若不成立，請說明理由。BM

BO

P

E

F

E

F

D圖①

N

A

圖②

C

A

圖③

C(第23題圖)五旋例1正方ABCD中，E為BC上一點FCD上一點BE+DF=EF，∠EAF的數(shù)證明：將三角形ADF繞點A順時針旋轉90度，至三角形ABG16/20

（2）（2）則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AEAF=AG所以三角形AEF全等于所以∠EAF=∠GAE=BAE+∠GAB=∠BAE+∠又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45例2D為腰斜AB的點DM⊥DN,DM,DN別交BC,CA于點E,F。(1)當繞轉動時，求證DE=DF(2)若AB=2，求四邊形DECF的積。解：(計算數(shù)值法（1）連接DCD為腰

Rt

斜邊AB的點，故有，CD＝DA平∠＝0°，CD＝∠DCA45由于DM⊥DN，有∠EDN＝9由于⊥AB，有∠A＝0°從而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DFS=2,S=S△ABCDECF例3如圖，ABC是邊長3的等邊三角，BDC是等腰三角形，且BDC

0

，以D為頂做一個

60

0

角，使其兩邊分別交于點M交AC于，連接MN，則

的周長為；17/20

EE解：圖形補全,“截長法”或“補短法,計算數(shù)值法)AC的延長線與BD的延長線交于點F在線段CF上取點E使CEBM∵△為邊三角形eq\o\ac(△,，)等腰三角形，且∠，∴∠MBD=MBC+DBC=60°=90°∠DCE=180°∠ACD=180°-ABD=90°又∵，BD=CD∴△≌BDM∴∠CDE=BDMDE=DM∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°∵在△DMN和DEN，DM=DE∠∠EDN=60°DN=DN≌△，∴MN=NE∵在△DMA和DEF，DM=DE∠MDA=60°-∠MDB=60°-∠CDE