函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)

函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)一、定義域是函數(shù)y＝f（x）中的自變量x的范圍。求函數(shù)的定義域需要從這幾個(gè)方面入手：（1）分母不為零（2）偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)。（3）對(duì)數(shù)中的真數(shù)部分大于0。（4）指數(shù)、對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0，且不等于1（5）y＝tanx中x≠kπ＋π/2；y＝cotx中x≠kπ等等。（6）中x二、值域是函數(shù)y＝f（x）中y的取值范圍。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）圖象法（數(shù)形結(jié)合）（3）函數(shù)單調(diào)性法（4）配方法（5）換元法（包括三角換元）（6）反函數(shù)法（逆求法）（7）分離常數(shù)法（8）判別式法（9）復(fù)合函數(shù)法（10）不等式法（11）平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終。三、典例解析1．定義域問(wèn)題例1求下列函數(shù)的定義域：①；②；③解：①∵x－2＝0，即x＝2時(shí)，分式無(wú)意義，而時(shí)，分式有意義，∴這個(gè)函數(shù)的定義域是.②∵3x＋2＜0，即x＜－時(shí)，根式無(wú)意義，而，即時(shí)，根式才有意義，∴這個(gè)函數(shù)的定義域是{|}.③∵當(dāng)，即且時(shí)，根式和分式同時(shí)有意義，∴這個(gè)函數(shù)的定義域是{|且}另解：要使函數(shù)有意義，必須：例2求下列函數(shù)的定義域：①②③④⑤解：①要使函數(shù)有意義，必須：即：∴函數(shù)的定義域?yàn)椋篬]②要使函數(shù)有意義，必須：∴定義域?yàn)椋簕x|}③要使函數(shù)有意義，必須：∴函數(shù)的定義域?yàn)椋孩芤购瘮?shù)有意義，必須：∴定義域?yàn)椋孩菀购瘮?shù)有意義，必須：即x＜或x＞∴定義域?yàn)椋豪?若函數(shù)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：∵定義域是R,∴∴例4若函數(shù)的定義域?yàn)閇1，1]，求函數(shù)的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須：∴函數(shù)的定義域?yàn)椋豪?已知f（x）的定義域?yàn)閇－1，1]，求f（2x－1）的定義域。分析：法則f要求自變量在[－1，1]內(nèi)取值，則法則作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]內(nèi)取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域；或者從位置上思考f（2x－1）中2x－1與f（x）中的x位置相同，范圍也應(yīng)一樣，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域。（注意：f（x）中的x與f（2x－1）中的x不是同一個(gè)x，即它們意義不同。）解：∵f（x）的定義域?yàn)閇－1，1]，∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，∴f（2x－1）的定義域?yàn)閇0，1]。例6已知f（x）的定義域?yàn)閇－1，1]，求f（x2）的定義域。答案：－1≤x2≤1x2≤1－1≤x≤1練習(xí)：設(shè)的定義域是[3，]，求函數(shù)的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須：得：∵≥0∴∴函數(shù)的定域義為：例7已知f（2x－1）的定義域?yàn)閇0，1]，求f（x）的定義域因?yàn)?x－1是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f（x）的定義域。已知f（3x－1）的定義域?yàn)閇－1，2），求f（2x＋1）的定義域。）（提示：定義域是自變量x的取值范圍）練習(xí)：已知f（x2）的定義域?yàn)閇－1，1]，求f（x）的定義域若的定義域是，則函數(shù)的定義域是 （）A． B C． D．已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，函數(shù)的定義域?yàn)锽，則 （）A． B．B C． D．2．求值域問(wèn)題利用常見(jiàn)函數(shù)的值域來(lái)求（直接法）一次函數(shù)y＝ax＋b（a0）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x0}，值域?yàn)閧y|y0}；二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)a＞0時(shí)，值域?yàn)閧}；當(dāng)a＜0時(shí)，值域?yàn)閧}.例1求下列函數(shù)的值域①y＝3x＋2（－1x1）②③（記住圖像）解：①∵－1x1，∴－33x3，∴－13x＋25，即－1y5，∴值域是[－1，5]②略③當(dāng)x＞0，∴＝，當(dāng)x＜0時(shí)，＝－∴值域是[2，＋）.（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：二次函數(shù)在區(qū)間上的值域（最值）：例2求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：①；②；③；④；解：∵，∴頂點(diǎn)為（2,－3），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.①∵拋物線的開(kāi)口向上，函數(shù)的定義域R，∴x＝2時(shí)，ymin＝－3,無(wú)最大值；函數(shù)的值域是{y|y－3}.②∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2[3,4]，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－2；x＝4時(shí)，y＝1；∴在[3,4]上，＝－2，＝1；值域?yàn)閇－2，1].③∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2[0,1]，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1；x＝1時(shí)，y＝－2,∴在[0,1]上，＝－2，＝1；值域?yàn)閇－2，1].④∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2[0,5]，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1；x＝2時(shí)，y＝－3,x＝5時(shí)，y＝6,∴在[0,1]上，＝－3，＝6；值域?yàn)閇－3，6].注：對(duì)于二次函數(shù),⑴若定義域?yàn)镽時(shí)，①當(dāng)a＞0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最小值；②當(dāng)a＜0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最大值.⑵若定義域?yàn)閤[a,b],則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)間[a,b].①若[a,b],則是函數(shù)的最小值（a＞0）時(shí)或最大值（a＜0）時(shí)，再比較的大小決定函數(shù)的最大（?。┲?②若[a,b],則[a,b]是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（小）值.注：①若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲担虎诋?dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.練習(xí)：1.求函數(shù)y＝3＋√（2－3x）的值域解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√（2－3x）≥0，故3＋√（2－3x）≥3?！嗪瘮?shù)的值域?yàn)?2、求函數(shù)的值域解：對(duì)稱軸例3求函數(shù)y＝4x－√1－3x（x≤1/3）的值域。解：法一：（單調(diào)性法）設(shè)f（x）＝4x,g（x）＝－√1－3x,（x≤1/3）,易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y＝f（x）＋g（x）＝4x－√1－3x在定義域?yàn)閤≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f（1/3）＋g（1/3）＝4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)椋鹹|y≤4/3｝。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y＝3＋√4－x的值域。（答案：｛y|y≥3｝）法二：換元法（下題講）例4求函數(shù)的值域解：（換元法）設(shè)，則點(diǎn)評(píng)：將無(wú)理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y＝√x－1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝例5（選）求函數(shù)的值域解：（平方法）函數(shù)定義域?yàn)椋豪?（選不要求）求函數(shù)的值域解：（三角換元法）設(shè)小結(jié)：（1）若題目中含有，則可設(shè)（2）若題目中含有則可設(shè)，其中（3）若題目中含有，則可設(shè)，其中（4）若題目中含有，則可設(shè)，其中（5）若題目中含有，則可設(shè)其中例7求的值域解法一：（圖象法）可化為如圖，觀察得值域-1-10134-4xy-103解法二：（零點(diǎn)法）畫(huà)數(shù)軸利用-103解法三：（選）（不等式法）同樣可得值域練習(xí)：的值域呢？（）（三種方法均可）例8求函數(shù)的值域解：（換元法）設(shè)，則原函數(shù)可化為10xy10xy例9求函數(shù)的值域解：（換元法）令，則由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域?yàn)槔?0求函數(shù)的值域解：（圖象法）如圖，值域?yàn)槔?1求函數(shù)的值域解法一：（逆求法）解法二：（分離常數(shù)法）由，可得值域小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對(duì)變量的要求）內(nèi)，值域?yàn)?；如果是條件定義域（對(duì)自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來(lái)求值域。例12求函數(shù)的值域0011解法一：（逆求法）小結(jié)：如果自變量或含有自變量的整體有確定的范圍，可采用逆求法。解法二：（換元法）設(shè)，則001練習(xí)：y＝；（y∈（－1，1））.例13函數(shù)的值域解法一：（逆求法）2解法二：（換元法）設(shè)，則2解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為時(shí)不成立時(shí)，綜合1）、2）值域解法四：（三角換元法）設(shè)，則原函數(shù)的值域?yàn)?10例14求函數(shù)的值域5解法一：（判別式法）化為51）時(shí)，不成立2）時(shí)，得綜合1）、2）值域解法二：（復(fù)合函數(shù)法）令，則所以，值域例15函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為解法二：（不等式法）1）當(dāng)時(shí)，時(shí)，綜合1）2）知，原函數(shù)值域?yàn)槔?6（選）求函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故值域?yàn)槔?7（選）求函數(shù)的值域解：（換元法）令，則原函數(shù)可化為。。。小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為（選）的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解。練習(xí)：1、；解：∵x0，，∴y11.另外，此題利用基本不等式解更簡(jiǎn)捷：（或利用對(duì)勾函數(shù)圖像法）2、0＜y5.3、求函數(shù)的值域①；②解：①令0,則,原式可化為,∵u0，∴y，∴函數(shù)的值域是（－，].②解：令t＝4x0得0x4在此區(qū)間內(nèi)（4x）＝4，（4x）＝0∴函數(shù)的值域是{y|0y2}4.求函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的值域.解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫(huà)出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是{y|y3}.解法2：∵函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)－1，2的距離之和，∴易見(jiàn)y的最小值是3，∴函數(shù)的值域是[3，＋].如圖5、求函數(shù)的值域解：設(shè)則t0x＝1代入得∵t0∴y46、（選）求函數(shù)的值域方法一：去分母得（y1）＋（