幾種插值法的應用和比較概述

插值法的應用與比較信科1302 萬賢浩 13271038格朗日插值法在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國十八世紀數(shù)學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值.這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）華華林于1779.1795拉格朗日插值多項式圖1已知平面上四個點：(?9,5),(?4,2),(?1,?2),(7,9)，拉格朗日多項式：L(x)（黑色）y

(x),y

(x),yl

(xy

(x)各穿過對應的00 11 22 一點，并在其它的三個點的x值上取零.對于給定的若n1個點(xy0 0

),(x,y1

),………(x,yn n

)，對應于它們的次數(shù)不超過n的拉格朗日多項式L只有一個.如果計入次數(shù)更高的多項式，則有無窮個，因為所有與L相差(xx0

)(xx1

)……(xxn

)的多項式都滿足條件.對某個多項式函數(shù)，已知有給定的k1個取值點：(x,y),……,(x,y),0 0 k k第1頁 共11頁xi

yi

對應著函數(shù)在這個位置的取值.假設任意兩個不同的xi式為：

都互不相同，那么應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項L(x)kj0

yl(x)，jj其中每個l(x為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函數(shù)），其表達式為：jx

(xx)

(xx ) (xx j1 j1

(xx)l(x) i 0 k ，j x xi0,ij j i

(x xj

) (xj

xj1

)(xj

xj1

) (xj

x)k拉格朗日基本多項式l的特點是在x 上取值為1，在其它的點x，ij 上取值為0.i j i例：設有某個多項式函數(shù)f，已知它在三個點上的取值為：f(4)10，f(5)5.25，f(6)1，要求f(18)的值.首先寫出每個拉格朗日基本多項式：lx0lx

(x5)(x6)；(45)(46)；(x4)(x6)；1lx2

(54)(56)；(x4)(x5)；(64)(65)p的表達式（pf的插值函數(shù)）：p(x)f(4)l0

(x)f(5)l1

f(6)l2

(x)10(x5)(x6)5.25(x4)(x6)1(x4)(x(45)(46) (54)(56) (64)(61 (x228x136)4第2頁 共11頁此時數(shù)值18f11.插值多項式的存在性與唯一性存在性對于給定的k1個點：(x,y), (x,y)拉格朗日插值法的思路是找到一個在一點x取值0 0 k k j為1，而在其他點取值都是0的多項式l(x).這樣，多項式y(tǒng)l(x)在點x取值為y ，j jj j j而在其他點取值都是0.而多項式Lxkj0

yl(x就可以滿足jjL(x)ki0

yl(x)00 yij

0y ，j在其它點取值為0的多項式容易找到，例如： (xx) (xx )(xx ) (xx) 0 jjk 它在點x取值為：(xx) (x x ) (x x).由于已經(jīng)假定x j i 0 j jj k i上面的取值不等于0.于是，將多項式除以這個取值，就得到一個滿足“在xj其他點取值都是0的多項式”：

取值為1，而在l

xx

(xx0

(xx ) (xx ) j1 j1

(xx)k ，j x xj i

(x xj

) (xj

xj1

)(xj

xj1

) (xj

x)k這就是拉格朗日基本多項式.唯一性次數(shù)不超過k的拉格朗日多項式至多只有一個，因為對任意兩個次數(shù)不超過k的拉格朗日多項式：p 和p1

pp1 2

在所有k1個點上取值都是0,因此必然是多項式(xx0

)(xx1

) (xxk

p1

p不等于0，次數(shù)就一定不小于2k1pp1 2

是兩個次數(shù)不超過k的多項式之差，它的次數(shù)也不超過kpp1

0p1

p2性質第3頁 共11頁l0

,l, ,l1

（由某一組x0

x x1 n確定可以看做是由次數(shù)不超過n

X的一組基底.首先，如n果存在一組系數(shù)：0

,, ,1

使得，Pl00

l1

lnn

0，那么，一方面多項式p是滿足P(x0

)0

,P(x1

)1

, ,P(xn

)n

的拉格朗日插值多項式，另一方面p是零多項式，所以取值永遠是0.所以 0 1

n

0，這證明了l0

,l, ,l1 n

是線性無關的.同時它一共包含n1個多項式，恰好等于

X的維數(shù).n所以l0

,l, ,l1 n

構成了

X的一組基底.n拉格朗日基本多項式作為基底的好處是所有的多項式都是齊次的（都是n次多項式）.優(yōu)點與缺點點增加或減少一個時，所對應的基本多項式就需要全部重新計算，于是整個公式都會變化，非常繁瑣.這時可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來代替.此外，當插值點比較多的時候，拉格朗日插值多項式的次數(shù)可能會很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點，也就是說盡管在重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進.在拉格朗日插值法中，運用多項式l(x)(xx0

)(xx1

) (xx)，k第4頁 共11頁圖（2）(2值可能會突然出現(xiàn)一個大的偏差（圖中的1415）可以將拉格朗日基本多項式重新寫為：l(x)j

l(x)xxj

1 k (xi0,ij

，x)i定義重心權

1 ，j k (x x)i0,ij j i上面的表達式可以簡化為：l

(x)l(x) j ，j xxj于是拉格朗日插值多項式變?yōu)椋?/p>

L(x)l(x)kj0

j yxx j

， （1）即所謂的重心拉格朗日插值公式（第一型）個數(shù)增加一個時將每個 都除以(x x )就可以得到新的重心權 計算復雜度為j j kk(n，比重新計算每個基本多項式所需要的復雜度(n2將以上的拉格朗日插值多項式用來對函數(shù)g(x)1插值，可以得到：第5頁 共11頁x,g(x)l(x)k j ，xxj0 j因為g(x)1是一個多項式.因此，將L(x)除以g(x)后可得到：k jL(x)

j0xxjk jj

， （2）j0xxj這個公式被稱為重心拉格朗日插值公式（第二型）（1）式容易計算的特點，并且在代入xL(x)l(x)它的另一個優(yōu)點是，結合切比雪夫節(jié)點進行插值的話，可以很好地模擬給定的函數(shù)，使得插值點個數(shù)趨分段線性插值對于分段線性插值，我們看一下下面的情況.問題的重訴g(x)插值誤差.

11x

,6x6用分段線性插值法求插值，繪出插值結果圖形，并觀察在[-6，65在[-6，611在[-6，621在[-6，641問題的分析在數(shù)值計算中，已知數(shù)據(jù)通常是離散的，如果要得到這些離散點以外的其他點的函數(shù)值，就需要根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)進行插值.而本題只提供了取樣點和原函數(shù)g(x).分析問題求解方法如下：g(x)

11x

X對應的函數(shù)值YX,Y作為兩個等長的（本題采用3次多項式插值30.56，6]，插值函數(shù)的取樣點.再根據(jù)插值函數(shù)計算所選取樣點的函數(shù)值.最后再利用所得函數(shù)值畫出相應的函數(shù)圖象，并與原函數(shù)g(x)的圖象進行對比.第6頁 共11頁問題的假設為了解決上述分析所提到的問題，本題可以作出如下假設：g(x)為了得到理想的對比函數(shù)圖象，假設g(x)0.5長劃分區(qū)間[-6，6]，分別計算插值函數(shù)和標準函數(shù)g(x)在該區(qū)間的取樣點的函數(shù)值.畫出函數(shù)圖象進行對比.分段線性插值原理給定區(qū)間a,b,將其分割成ax0結點的函數(shù)值為

x x1

b，已知函數(shù)yf(x)在這些插值y f(x)(kn)；求一個分段函數(shù)I (x),使其滿足：k k k(1)I (x)y，(kn)；h k k(2)在每個區(qū)間,x 上,I (x)是個一次函.k kh易知,I (x)是個折線函,在每個區(qū)間,x 上,(kn)h k kI(x)

xx

ky

xxk y ,h k xk

x k1

x xk

k1于是,Ih

在b于是即可得到如下分段線性插值函數(shù)：I(x)nni0

yl(x),ii其中xx

i1 ,

當x xx時，且i時舍;xixx

i1

i1 il i

i1 xxxi i1

當x xi

時，且in時舍去;i10 ,

其他.問題的求解在MATLAB中實現(xiàn)分段線性插值，最近點插值，3次多項式插值，3次樣條插值的命令第7頁 共11頁interp1,其調用格式為:Y1=interp1(XY,X1，’method’)XYX1X,Y11X1method是插值方法，包括：nearescubic：3次多項式插值.根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出一個3次多項式，然后根據(jù)多項式進行插值.spline：3次樣條插值.在每個分段（子區(qū)間）內構造一個3次多項式，使其插值函數(shù)除滿足插值條件外，還要求個節(jié)點處具有光滑條件.再根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出樣條函數(shù)后,按照樣條函數(shù)插值.運用Matlab工具軟件編寫代碼，并分別畫出圖形如下：(一)在[-6，6]中平均選取5個點作插值：1分段線性插值g(x)1次樣條插值g(x)0.8y1y20.60.50.400.20-10-5 0 510-0.5-10-50 510最近點插值 次多項式插值10.8g(x)y310.8g(x)y40.60.60.40.40.20.20-10 -5 0 5

0-10

0 5 10（二）在[-6，6]中平均選取11個點作插值：第8頁 共11頁分段線性插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y10.8y20.60.60.40.40.20.2

3次樣條插值10-10

-5

5

0-10

0 5 10最近點插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y30.8y40.60.60.40.40.20.2

3次多項式插值10-10 -5 0 5

0-10

0 5 10（三）在[-6，6]中平均選取21個點作插值：分段線性插值3次樣條插值10.8g(x)y110.8g(x)y20.60.60.40.40.20.20-10

-5

5

0-10 -5 0 5 10最近點插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y30.8y40.60.60.40.40.20.2

3次多項式插值10-10 -5 0 5

0-10 -5 0 5 10（四）在[-6，6]中平均選取41個點作插值第9頁 共11頁分段線性插值g(x)g(x)0.8g(x)g(x)0.8y10.8y20.60.60.40.40.20.2

3次樣條插值10-10

-5

5

0-10

0 5 10最近點插值g(x)g(x)g(x)g(x)0.8y30.8y40.60.60.40.40.20.2