2018高考·數(shù)學(xué)-第14章第三講離散型隨機變量與其分布列、均值與方差

2018高考·數(shù)學(xué)-第14章第三講離散型隨機變量與其分布列、均值與方差第一頁，共43頁。目錄Contents考情精解讀考點1考點2A.知識全通關(guān)B.題型全突破考法1考法2考法4考法3C.能力大提升專題1專題2第二頁，共43頁?？记榫庾x第三頁，共43頁?？季V解讀命題趨勢命題規(guī)律考情精解讀1考試大綱011.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程,并能進行簡單的應(yīng)用.3.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題.高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差第四頁，共43頁。考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀2命題趨勢

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考點2016全國2015全國2014全國自主命題區(qū)域離散型隨機變量及其分布列、均值與方差【100%】全國Ⅰ,19,12分

·全國Ⅱ,18,12分2016天津,16(Ⅱ)2016山東,19(Ⅱ)2015山東,19,12分2015天津,16(Ⅱ)2014山東,18,12分2014江蘇,22,10分2014浙江,12,4分2014天津,16(Ⅱ)第五頁，共43頁?？季V解讀命題規(guī)律考情精解讀3返回目錄1.熱點預(yù)測

本講內(nèi)容通常與古典概型、二項分布、計數(shù)原理、事件的互斥等知識綜合考查,以解答題為主,分值5~12分.2.趨勢分析

預(yù)測2018年,以實際問題為背景,求解離散型隨機變量的分布列、均值與方差仍是高考對本講內(nèi)容考查的熱點和重點.命題趨勢

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差第六頁，共43頁。知識全通關(guān)第七頁，共43頁。知識全通關(guān)1考點1

離散型隨機變量的分布列繼續(xù)學(xué)習(xí)高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差1.隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量.隨機變量常用字母X,Y,ξ,η,…表示2.離散型隨機變量所有取值可以一一列出的隨機變量,稱為離散型隨機變量...【說明】若X是隨機變量,Y=aX+b,a,b是常數(shù),則Y也是隨機變量第八頁，共43頁。知識全通關(guān)2

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)【辨析比較】隨機變量和函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系:隨機變量和函數(shù)都是一種映射,隨機變量是隨機試驗結(jié)果到實數(shù)的映射,函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的映射;隨機試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域,隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域.區(qū)別:隨機變量的自變量是試驗結(jié)果,而函數(shù)的自變量是實數(shù)x.第九頁，共43頁。知識全通關(guān)3繼續(xù)學(xué)習(xí)

高考幫數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差3.離散型隨機變量的分布列的表示一般地,若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則下表稱為隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列.為了簡單起見,也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.4.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì),離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì):(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤x≤xj)=Pi+Pi+1+…+Pj(i<j且i,j∈N*).Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn第十頁，共43頁。知識全通關(guān)4高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)【說明】分布列的性質(zhì)（2）的作用：可以用檢查所寫出的分布列是否有誤，還可以求分布列中的某些參數(shù)。【名師提醒】1.求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是分析清楚隨機變量的取值有多少，并且正確求出隨機變量所取值對應(yīng)的概率.2.在求解隨機變量概率值時，注意結(jié)合計數(shù)原理，古典概型等知識求解。第十一頁，共43頁。知識全通關(guān)4

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)1.兩點分布如果隨機變量X的分布列為,稱X服從兩點分布,并稱p=P(X=1)為成功概率.X01P1-pp考點2常見的離散型隨機變量的概率分布模型第十二頁，共43頁。知識全通關(guān)4

高考幫·數(shù)學(xué)第一講隨機事件的概率繼續(xù)學(xué)習(xí)【說明】(1)兩點分布的實驗結(jié)果只有兩種可能,且其概率之和為1;(2)兩點分布又稱0—1分布,其應(yīng)用十分廣泛.2.超幾何分布一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,稱分布列

為超幾何分布列,如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,則稱隨機變量X服從超幾何分布.第十三頁，共43頁。知識全通關(guān)5高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)m=min{M,n}的理解m為k的最大取值,當(dāng)抽取的產(chǎn)品件數(shù)不大于總體中次品件數(shù),即n≤M時,k(抽取的樣本中次品的件數(shù))的最大值為m=n;當(dāng)抽取的產(chǎn)品件數(shù)大于總體中次品件數(shù),即n>M時,k的最大值為m=M.【名師提醒】第十四頁，共43頁。知識全通關(guān)6高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)考點3

離散型隨機變量的均值與方差1.離散型隨機變量的均值與方差一般地,若離散型隨機變量X的概率分布列為則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.稱D(X)=[xi-E(X)]2pi為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,其算術(shù)平方根為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn【辨析比較】隨機變量的均值、方差與樣本的平均值、方差的關(guān)系隨機變量的均值，方差實常數(shù)，它們不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值、方差是隨機變量，它們隨著樣本的不同而變化.第十五頁，共43頁。知識全通關(guān)7高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)2.均值與方差的性質(zhì)若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù),X是隨機變量,則均值的性質(zhì):(1)E(k)=k(k為常數(shù));(2)E(aX+b)=aE(X)+b;(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);(4)若X1,X2相互獨立,則E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).(5)兩點分布的均值:若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=p.(6)二項分布的均值:若X服從二項分布,即X~B(n,p),則E(X)=np.方差的性質(zhì):(1)D(k)=0(k為常數(shù));(2)D(aX+b)=

a2D(X);(3)D(X)=E(X2)-(E(X))2;(4)若X服從二項分布,即X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).第十六頁，共43頁。返回目錄

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差題型全突破8【名師提醒】(1)E(X)是一個實數(shù),由X的分布列唯一確定.隨機變量X是可變的,可取不同的值,而E(X)是不變的,它描述X取值的平均狀態(tài).(2)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度,其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身具有相同的單位.(3)方差也是一個常數(shù),它不具有隨機性,方差的值一定是非負(fù)的.第十七頁，共43頁。題型全突破第十八頁，共43頁?？挤?離散型隨機變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用繼續(xù)學(xué)習(xí)

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差題型全突破1考法指導(dǎo)

分布列的應(yīng)用主要體現(xiàn)在分布列性質(zhì)上的應(yīng)用,離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的應(yīng)用:(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值;(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.第十九頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破2考法示例1

設(shè)X是一個離散型隨機變量,其分布列為則q=

;P(X≤2)=

.

思路分析

根據(jù)性質(zhì),使每一個變量取值的概率在[0,1]內(nèi)、其總和等于1,即可求解q的值.把P(X≤2)轉(zhuǎn)化為P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)進行求解.X123Pq21-q-1第二十頁，共43頁。高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破3【解析】

由分布列的性質(zhì)得:由①②③,得≤q≤由④,得由分布列可知X的可能取值只有1,2,3,故第二十一頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破4【突破攻略】求隨機變量在某個范圍內(nèi)的取值概率時,根據(jù)分布列,將所求范圍內(nèi)隨機變量對應(yīng)的取值概率相加即可,其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.第二十二頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考法2求離散型隨機變量的分布列、期望與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破5考法指導(dǎo)

1.求解離散型隨機變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值;(2)求X取每個值的概率;(3)寫出X的分布列;(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進行檢驗.2.期望與方差的一般計算步驟(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取的值;(2)求X取各個值的概率,寫出分布列;(3)根據(jù)分布列,正確運用期望與方差的定義或公式進行計算.第二十三頁，共43頁。高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破6考法示例2

某品牌汽車4S店,對最近100位采用分期付款的購車者進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.2.4S店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車,顧客分3期付款,其利潤為1萬元;分6期或9期付款,其利潤為1.5萬元;分12期或15期付款,其利潤為2萬元.用η表示經(jīng)銷一輛汽車的利潤.(1)求上表中的a,b值;(2)若以頻率作為概率,求事件A“購買該品牌汽車的3位顧客中,至多有1位采用分9期付款”的概率P(A);(3)求η的分布列及均值E(η).

付款方式分3期分6期分9期分12期分15期頻數(shù)4020a10b第二十四頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破7【思路分析】(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)和頻率的計算公式可直接求出a,b的值(2)事件A是一個獨立重復(fù)試驗,包含兩個互斥事件——沒有顧客分9期付款與只有1位顧客分9期付款,故先根據(jù)題意把頻率換成概率即可求解;(3)顧客選擇付款的期數(shù)只能是3,6,9,12,15,根據(jù)題意得到付款期數(shù)與利潤的關(guān)系,然后合并利潤相同的事件,確定η的取值,然后求出其對應(yīng)的概率值,則易得η的分布列與均值.第二十五頁，共43頁。高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破8【解析】

（1)由

=0.2,得a=20.又40+20+a+10+b=100,則b=10.(2)記分期付款的期數(shù)為ξ,依題意,得則“購買該品牌汽車的3位顧客中,至多有1位分9期付款”的概率為P(A)=0.83+×0.2×(1-0.2)2=0.896.第二十六頁，共43頁。高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破9【解析】

由題意,可知ξ只能取3,6,9,12,15.而ξ=3時,η=1;ξ=6時,η=1.5;ξ=9時,η=1.5;ξ=12時,η=2;ξ=15時,η=2.所以η的可能取值為1,1.5,2,且P(η=1)=P(ξ=3)=0.4,P(η=1.5)=P(ξ=6)+P(ξ=9)=0.4,P(η=2)=P(ξ=12)+P(ξ=15)=0.1+0.1=0.2.故η的分布列為

η的均值E(η)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(萬元).η11.52P0.40.40.2第二十七頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考法3超幾何分布的求解繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破10考法指導(dǎo)

1.隨機變量是否服從超幾何分布的判斷

(1)若隨機變量X服從超幾何分布,則滿足如下條件:①該試驗是不放回地抽取n次;②隨機變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件),反之亦然.(2)一般地,設(shè)有N件產(chǎn)品,其中次品和正品分別為M1件,M2件(M1,M2≤N),從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品,用X,Y分別表示取出的n件產(chǎn)品中次品和正品的件數(shù),則隨機變量X服從參數(shù)為N,M1,n的超幾何分布,隨機變量Y服從參數(shù)為N,M2,n的超幾何分布.2.求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.第二十八頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破11

3.求超幾何分布的均值與方差的方法(1)列出隨機變量X的分布列,利用均值與方差的計算公式直接求解;(2)利用公式

求解.第二十九頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破12考法示例3

某項大型賽事,需要從高校選拔青年志愿者,某大學(xué)學(xué)生實踐中心積極參與,從8名學(xué)生會干部(其中男生5名,女生3名)中選3名參加志愿者服務(wù)活動.若所選3名學(xué)生中的女生人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【思路分析】先根據(jù)8名志愿者的構(gòu)成,確定X的分布列的類型——超幾何分布,進而確定相應(yīng)的參數(shù)取值,并求出X的每個取值對應(yīng)事件的概率,列出分布列,最后代入數(shù)學(xué)期望公式求值..第三十頁，共43頁。高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破13【解析】

解法一

因為8名學(xué)生會干部中有5名男生,3名女生,所以X的分布列服從參數(shù)N=8,M=3,n=3的超幾何分布.X的所有可能取值為0,1,2,3,其中P(X=i)=(i=0,1,2,3).由公式可得P(X=0=P(X=1)=

P(X=2)=P(X=3)=X0123P第三十一頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考法4利用期望與方差進行決策繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破14考法指導(dǎo)

利用隨機變量的期望與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策,其中隨機變量ξ的期望的意義在于描述隨機變量的平均程度,而方差則描述了隨機變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的狀況.品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報的準(zhǔn)確與否、機器的性能好壞等很多指標(biāo)都與這兩個特征量有關(guān).(1)若我們希望實際的平均水平較理想時,則先求隨機變量ξ1、ξ2的期望,當(dāng)E(ξ1)=E(ξ2)時,不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好,需要用D(ξ1),D(ξ2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度,偏離程度小的更好.(2)若我們希望比較穩(wěn)定時,應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相等或者接近.(3)若沒有對平均水平或者穩(wěn)定性有明確要求時,一般先計算期望,若相等,則由方差來確定哪一個更好.若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近,且期望較大者的方差較小,顯然該變量更好;若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大時,應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論,即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定.第三十二頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破15考法示例4

有甲、乙兩種棉花,從中各抽取等量的樣品進行質(zhì)量檢驗,結(jié)果如下:

其中X表示纖維長度(單位:mm),根據(jù)纖維長度的均值和方差比較兩種棉花的質(zhì)量.【思路分析】計算纖維長度的均值與方差→根據(jù)數(shù)值得出結(jié)論X甲2829303132P0.10.150.50.150.1X乙2829303132P0.130.170.40.170.13第三十三頁，共43頁。

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破16【解析】

由題意,得E(X甲)=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30,E(X乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30.又D(X甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=1.1,D(X乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+(32-30)2×0.13=1.38,所以E(X甲)=E(X乙),D(X甲)<D(X乙),故甲種棉花的質(zhì)量較好.第三十四頁，共43頁。高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破17考法示例5

某投資公司在2017年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項目上,現(xiàn)有兩個項目供選擇:項目一:新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和;項目二:通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,也可能虧損30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為,和.針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.第三十五頁，共43頁。返回目錄

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差題型全突破18【解析】

若按“項目一”投資,設(shè)獲利為X1萬元,則X1的分布列為∴E(X1)=300×7/9+(-150)×2/9=200(萬元).若按“項目二”投資,設(shè)獲利X2萬元,則X2的分布列為∴E(X2)=500×3/5+(-300)×1/3+0×1/15=200(萬元).D(X1)=(300-200)2×7/9+(-150-200)2×2/9=35000,D(X2)=(500-200)2×3/5+(-300-200)2×1/3+(0-200)2×1/15=140000.所以E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),這說明雖然項目一、項目二獲利相等,但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述,建議該投資公司選擇項目一投資.X1300-150P7/92/9X2500-3000P3/51/31/15第三十六頁，共43頁。能力大提升第三十七頁，共43頁。高考中的概率與統(tǒng)計問題繼續(xù)學(xué)習(xí)

高考幫·數(shù)學(xué)第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差能力大提升11概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用

示例6某制藥廠對A、B兩種型號的產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測,從檢測的數(shù)據(jù)中隨機抽取10次,記錄如下(數(shù)值越大表示產(chǎn)品質(zhì)量越好):A:7.9,9.0,8.3,7.8,8.4,8.9,9.4,8.3,8.5,8.5;B:8.2,9.5,8.1,7.5,9.2,8.5,9.0,8.5,8.0,8.5.(1)畫出A、B兩種型號的產(chǎn)品數(shù)據(jù)的莖葉圖;若要從A、B中選一種型號產(chǎn)品投入生產(chǎn),從統(tǒng)計學(xué)角度考慮,你認(rèn)為生產(chǎn)哪種型號產(chǎn)品合適?簡單說明理由.(2)若將頻率視為概率,對產(chǎn)品A今后的