自主招生數(shù)學及歷年試題

自主招生數(shù)學講義分配

編號內(nèi)容負責人

1數(shù)列遞推公式，求數(shù)列通項邵宏宏

2數(shù)列求和邵宏宏

3數(shù)學歸納法孫雁

4雜數(shù)列季風

5三角恒等變換孫雁

6三角不等式王敏杰

7抽象函數(shù)倪國紅

8函數(shù)與方程張宇

9函數(shù)圖像張宇

10向量綜合倪國紅

11直線與圓黃潤育

12圓錐曲線周延軍

13參數(shù)方程、極坐標周延軍

14立體幾何季風

15復數(shù)綜合黃潤育

16組合雜題王敏杰

說明：

1.建議大家參考發(fā)給大家的自主招生試題集，主要是復旦、交大等的試題,

挑選相應(yīng)內(nèi)容的中等或中等偏上試題；

2.講義格式，試題數(shù)量參考發(fā)給大家的講義范例;

3.時間上要求在國慶后交初稿

大學自主招生數(shù)學簡明講義

第一講遞推數(shù)列求通項...........................................3

第二講數(shù)列求和.................................................8

第三講數(shù)學歸納法..............................................11

第四講數(shù)列雜題................................................16

第五講三角恒等變換............................................19

第六講三角不等式..............................................24

第七講函數(shù)性質(zhì)................................................29

第八講函數(shù)與方程..............................................32

第九講函數(shù)性質(zhì)................................................35

第十講向量綜合................................................45

第十一講直線與圓................................................45

第十二講圓錐曲線................................................57

第十三講參數(shù)方程、極坐標........................................58

第十四講立體幾何................................................58

第十五講復數(shù)綜合................................................64

第十六講組合雜題................................................64

第一講遞推數(shù)列求通項

一、公式法

例1、已知無窮數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,并且a“+S“=l(〃eN*),求

｛a,,｝的通項公式？

反思：利用相關(guān)數(shù)列｛%,｝與｛SJ的關(guān)系：/=S1,%=S“-S,i(〃22)與

提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.

二、歸納猜想法：由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利

用數(shù)學歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.

例2、己知數(shù)列｛““｝中，％=1,=2^+1(?>2),求數(shù)列｛%｝的通

項公式.

【解析】：,/=1,an=2a“_1+1("-2)，a2=2a,+1=3,

a3=2a,+1=7■■■?

猜測a“=2"-l(〃eN*),再用數(shù)學歸納法證明.(略)

反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項公式，再就是一定

要用數(shù)學歸納法證明其正確性.

三、累加法：利用/=%+(。2-6)+…(4一%_1)求通項公式的方法稱為

累加法。累加法是求型如％+|=4+/(〃)的遞推數(shù)列通項公式的基本方法

(/(〃)可求前”項和).

例3、已知無窮數(shù)列｛%｝的的通項公式是,若數(shù)列也｝滿足

4=1,bn+i-bn=-(?>i),求數(shù)列也｝的通項公式.

反思:用累加法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為=%+/(〃)o

四、累乘法:利用恒等式對=6女&…上匚(。,尸0,〃？2)求通項公式的方

a\a2an-\

法稱為累乘法，累乘法是求型如：fl?+,=g(〃)?！钡倪f推數(shù)列通項公式的基本方

法(數(shù)列g(shù)(〃)可求前〃項積)。

反思：用累乘法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為=g(〃)a“.

五、構(gòu)造新數(shù)列(待定系數(shù)法)：將遞推公式。用=4?！?〃(％"為常數(shù)，

qWO,d#0)通過(a“+j+x)=q(a,+x)與原遞推公式恒等變成

。,川+—”―=如?！?上一)的方法叫構(gòu)造新數(shù)列，也即是待定系數(shù)法。

q-\q-\

例5、己知數(shù)列｛4“｝中，％=l,a“=2a._j+1(”22),求｛6,｝的通項公式.

反思：構(gòu)造新數(shù)列的實質(zhì)是通過(。用+x)=q(a“+x)來構(gòu)造一個我們所熟知

的等差或等比數(shù)列.

CCL

六、倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列句討=-J(cwO,dwO),取倒數(shù)變成

an+d

的形式的方法叫倒數(shù)變換。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N情況，此時

??+1canc

將數(shù)列I」-（看成一個新的數(shù)列，即再利用“構(gòu)造新數(shù)列”的方法求解。

例6、已知數(shù)列｛4｝（〃eN*）中，％=1,%+]=———，求數(shù)列｛4｝的通項

2a0+1

公式.

反思唯I數(shù)變換有兩個要點需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首

項,公差或公比變化了。

七、特征根法：形如遞推公式為%+2=P%+i+qa”（其中P，q均為常數(shù)）。

對于由遞推公式%+2=pa“+]+qan,有q=a,牝=6給出的數(shù)列

｛a?｝,方程x2-px—q=0,叫做數(shù)列｛a,J的特征方程。

若再是特征方程的兩個根，

當再/匕時，數(shù)列｛aj的通項為a“=4<T+8x尸，其中A,B由

a｝=a,a2=P決定（即把內(nèi),。2，再，％2和〃=L2,代入a“=Ax"~'+Bx；",

得到關(guān)于A、B的方程組）；

當項=》2時，數(shù)列｛。“｝的通項為%=（，+8〃）X；T，其中A,B由

flj=a,a2=>決定（即把。“&2，4，*2和〃=1,2,代入a”=（4+Bn）x"~',

得到關(guān)于A、B的方程組）。

例7:數(shù)列｛aJ滿足3%+2-5a“+1+2a,=0（/7>0,neN）,ax=a,a2=h,

求E

反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出A,B的

用已知量a,b表示的值，從而可得數(shù)列｛a"的通項公式。

八、不動點法

若A,B，0且AD-BCW0,解x="x十,，設(shè)。￡為其兩根

Cx+D

I、若a豐B,數(shù)列｛2二3｝是等比數(shù)列;

a,.-P

n、若。=力，數(shù)列｛---｝是等差數(shù)歹!］。

a?-a

例8、已知數(shù)列｛an｝滿足an+i='」f，a1=2,求數(shù)列

2an+3

｛an｝的通項公式。

金,、3x—1

反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)f(x)=:；——二的不動點，即方程

4x+7

7x-21_1,2

'=五仔的根x=1，進而可推出二JF—不從

而可知數(shù)列｛；f｝為等差數(shù)列，再求出數(shù)列｛；7｝的通項公式，最

后求出數(shù)列｛an｝的通項公式。

九、換元法即是將一復雜的整體用一個新的符號來表示，從而使遞推數(shù)

列看起來更簡單，更易找到解決的方法。

例9、已知數(shù)列｛aj滿足

an+i=+4an+Jl+24an），a,=1,求數(shù)列｛an｝的

10

通項公式。

反思：本題解題的關(guān)鍵是通過將正724an的換元為bn,使得所給遞推

,_1,3

關(guān)系式轉(zhuǎn)化bn+1='bn+'形式，從而可知數(shù)列｛bn-3｝為等比數(shù)

列，進而求出數(shù)列｛bn一3｝的通項公式，最后再求出數(shù)列｛an｝的通項

公式。

十、取對數(shù)法：形如%+1=pa；(p>0,%>0)

這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為%+1=pan+q,再利用構(gòu)造新

數(shù)列(待定系數(shù)法)求解。

1,

例10：已知數(shù)列｛%｝中，q=1,%+|=—?；(a>0),求數(shù)列

a

｛a“的通項公式

十一、周期型：由已知遞推式計算出前幾項，尋找周期。此題型一般是在不

能運用以上各種方法的情況下可考慮到這種方法，具有一定的探索性，雖然

比較簡單，但也是一種很重要的數(shù)學思想，需要好好掌握。

2a?,(0<??<-)

例11：若數(shù)列｛%｝滿足%，若q=—,則出。的值

117

2a?-1,(-<??<1)

為___________

反思：此題的關(guān)鍵在于觀察遞推數(shù)列的形式，取一些特定的n的值，求出數(shù)

列的前幾項的值，從而找到其周期，這樣問題就迎刃而解了。

第二講數(shù)列求和

1.公式法

等差數(shù)列前n項和:

與二^2”卓。

特別的，當前n項的個數(shù)為奇數(shù)時，S2?+i=(2左+l)Eh〃+|,即前n項和為中

間項乘以項數(shù)。這個公式在很多時候可以簡化運算。

等比數(shù)列前n項和：

q=l時，Sn=M6f|

4Hi,S“=r-------特別要注意對公比的討論。

其他公式：

?1a1

1、Sn=VA:=—n(n+1)2、S“==—〃(〃+1)(2〃+1)

p2A=i6

+1)]2

-1,,

［例1］已知log?x=-------,求x+x~++…+x”+…的前n項和.

我23

*S

［例2］設(shè)Sn=l+2+3+...+n,nGN,求/(〃)=-----2-------的最大值.

(〃+32)S.+i

2.錯位相減法

這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要

用于求數(shù)列｛an?壯｝的前n項和，其中｛a0｝、｛bn｝分別是等差數(shù)列和等比

數(shù)列.

［例3］求和：S“=1+3x+5x'+7x，+…+(2〃—l)x"1

2462〃

［例4］求數(shù)列一,一亍,—r,--—，…刖n項的和.

222232"

練習：

2

求：Sn=l+5x+9x+...+(4n-3)x"i

3.反序相加法求和

這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數(shù)列倒過來

排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(％+6,).

［例5］求sin?1°+sin?2°+sin23°4--I-sin288°+sin289°的值

4.分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆

開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

［例6］求數(shù)列的前n項和：1+1,—F4,——+7-■,——+3n—2,...

aa~an~

［例7］求數(shù)列｛n(n+l)(2n+l)｝的前n項和.

練習：求數(shù)列(〃+!),…的前n項和。

2482"

5.裂項法求和

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列

中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和

的目的.通項分解(裂項)如：

(1)a?=/(?+1)-./'(?)

(2)犯^------=tan(/?+1)°-tann

cosn"cos(〃+l)°

111

(3)a=

nn(n+1)nn+1

,、(2〃)2,1,11、

4A"~(2M-1)(2?+1)-+22n-l-2n+l

(5)a“=------=-［—----------］

〃(77-1)(〃+2)277(/7+1)(〃+1)(/7+2)

(6)

%=3'=.如+1)-〃.一_則S.=l

"n(n+1)2"n(n+1)2"n-2"~'(〃+1)2"”("+1)2”

［例9］求數(shù)列一^,廠1■■,y-\------.,■??的前n項和.

1+J2V2+V3+l

［例10］在數(shù)列｛an｝中，an=------H------1---F—,又白,=-------,

〃+1〃+1?+1an-a“+［

求數(shù)列｛%｝的前n項的和.

［例11］求證：-----5--+--X--++---J---=黑一

cos00cosTcosl°cos2°cos88°cos89°sin~1°

練習：求13,115,135,163之和。

6.合并法求和

針對一些特殊的數(shù)列,將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此,

在求數(shù)列的和時.，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.

［例12］求cosl°+cos2°+cos3°++cosl78°+cosl79°的值.

解：設(shè)Sn=cosl°+cos2°+cos3°+???+cosl78°+cosl79°

???cosw°=-cos(180°-?0)(找特殊性質(zhì)項)

00

Sn=(cosl+cos179°)+(cos2°+cosl78°)+(cos3+cosl770)

+???+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)

=0

［例13］數(shù)列｛an｝：%=1,。2=3,。3=2,4+2=a0+i-%，求S2002.

［例14］在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若%%=9,求

log,4+log,a2+---+log3%o的值.

以上一個6種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善于改變原

數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進行消項處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的

求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規(guī)

律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。

第三講數(shù)學歸納法

【基礎(chǔ)知識】

1.數(shù)學歸納法可以證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可以是數(shù)列通項，數(shù)列求和，

也可以是不等式證明，整除問題等.自主招生中不等式的證明較常見.

2.數(shù)學歸納法證明的格式特別要注意，第一步對初始值的驗證必須做，第二

步假設(shè)n=k時命題成立，證明n=k+l時命題也成立.第二步的證明需要用

到歸納假設(shè)，還需要從題設(shè)中利用遞推關(guān)系從n=k得到n=k+l時的表達

式.兩個步驟都非常重要.

3.數(shù)學歸納法的關(guān)鍵在與如何得到一個普遍適用的遞推關(guān)系，如何從n=k證

明—k+l時命題仍成立，有時候歸納的技巧比較高.

【典型例題】

例題1：設(shè)斐波那契數(shù)列/=人=1,/川N*），求證：幾,

是5的倍數(shù).

【分析工這是整除問題，關(guān)鍵是如何利用歸納假設(shè).〃=上到〃=左+1,其

實質(zhì)是將，*+4表示成￡人和另外5的倍數(shù)的形式，利用遞推公式可得.

例題2：設(shè)正數(shù)數(shù)列｛%｝的前n項的和為S,，且S“='(七+'-),試猜想

2an

出并證明數(shù)列｛%｝的通項公式.

【分析】：數(shù)學歸納法在數(shù)列中求通項、求和時是基本的方法之一.猜測、歸

納、證明，完整的解答需要這三個方面.

【解答】：n=l時，a=S,=—(a,4---),所以4=1；

]2%

n=2時，S2=4-a2=—(a9+—)，所以a；+2a2—1=0,a2=V2-1

-2~a2

(負值己舍)；

n=3時，S3=%+%+%=—(%---)，所以a；+2^2(7^—1=0,

2Q3

CI3=V3-V2.

猜想%=冊一五=I,下面用數(shù)學歸納法證明.

(1)當n=l,2,3時命題已證.

(2)假設(shè)n=k時，有a*=4k-yjk—X成立.則當n=k+l時，

ak+\=Sz-S時，即

1/1、1/1、

aM-T(4+i+--)~TQ+—)

2aM2ak

=((a“i+」一)-<(?-yjk-\+j-l,3=；(4+i+」-)-“，

2-2\lk-Jk-12ak+i

所以。；+|+2而什]-1二0,所以Qk+T=HK-“，猜想也成立.

綜上得，對一切〃EN,%二冊--1總成立.

例題3：證明：1+上+J+…+二<2—L("22,〃eN*)

23nn

【分析工這是數(shù)學歸納法證明不等式，利用歸納假設(shè)和不等式證明的基本方

法是關(guān)鍵.不等式證明的常用方法有比較法，放縮法，公式法，分析法，綜

合法，反證法等.

【證明工①當〃=2時，左邊=』<2—4=右邊，即不等式成立;

42

皿111cl

②假設(shè)n=k(kN2)時不等式成立,即14-H——+…4---<2---

2232k2k

則〃=A+1左邊

=1H——H—1—T-----7<21------<2---1------=2-----

2232k2("Ipk("Ipkk(k+X)k+\

故，〃=左+1時不等式也成立.

由①、②知，原不等式成立.

例題4：證明不等式(])">〃!>(3)”,當自然數(shù)〃次時成立.

【分析】：由于是兩個不等式，證明時要注意歸納假設(shè)也是兩個不等式.

【證明】：①當〃=6時，不等式變形為§)6=729>6!=120>§)6=64,

顯然成立;

②假設(shè)〃=k*>6)時不等式成立，即(|/>A!>(gy

則〃=左+1時要證(警)>/+1)!>(7)八?；

根據(jù)歸納假設(shè)，/+l)!=(A+l)/!<(A+l>(1y；

(左+1).分<(e產(chǎn)=2<(i+；y,

22k

而//)=(1+(>單調(diào)遞增，且2=/(l)W/(%)<e<3,故

（寸）/+1）!成立

同理，/+1）!=/+i）M!〉/+i>（|y,

優(yōu)+1）?（4）”〉（5y+|<=>3>（1+-/也成立

33k

故〃=左+1時不等式（?。?|>（左+1）!>（容）八|也成立.

由①、②知，原不等式成立.

例題5:對于任意N,須,吃,…X“均為非負實數(shù)，且X]+》2+…+x“W],

試用數(shù)學歸納法證明：（1—%）（1—丫2）…（1一.）2g成立.

【分析】：如何利用已知條件中的關(guān)于n的表達式，是歸納假設(shè)的關(guān)鍵.

證明：①顯然，〃=1時，%]<-^=>l-x1>^；當〃=2時，x,+x2<,

又X”馬為正數(shù)，故（1一M）（1一%2）=1-（玉+%2）+玉》222+玉％22；，不等

式成立；

②假設(shè)當〃=%時，不等式成立，即正數(shù)再產(chǎn)2，/,…

若玉+工2+/+…+/《Q，則（1一X）（1-工2）（1—工3）…（1-%）2萬.

于是，當〃=k+1時，正數(shù)萬,%2，x3,…，程與+1

有％/+工3---/+/+1<Q，根據(jù)歸納假設(shè)，

有（1_玉）（1_彳2）（1_七>_（1一4-4+1）25成立.

故只需證明（1一%）（1-X*+J21-/-X*+1成立即可.

顯然，（1一4）（1-々+1）—（1_**-4+]）=4/+]20成立，故〃=左+1時

不等式也成立.

綜合①、②得，原命題成立.

n（?\2

例題6：已知對任意“wN*,有a“>0,且,求證：an=n

/=1\/=!7

【分析】：本題歸納假設(shè)時稍有不同，需假設(shè)之前的都成立

【證明】：①當〃=1時，.：=42,又%>o,故q=1；

②假設(shè)〃〈人（左21）時均有4=左，則〃=左+1時

A+lkfkA2(k+l

這，+*i=力%=*

即瘋=2%1>+吭，又%>0及歸納假設(shè)得1>=誓12

Z=l/-IL

得a；+i—%+1—k("+1)=0=>4+1=k+\,即”=k+1時也有4+1=k+1成立.

由①、②知，原命題成立.

【鞏固練習】

1.若其中n為非負整數(shù),求證：1V+2+12用是勤3的倍數(shù).

2.已知數(shù)列｛%｝的前n項和2=-%-（；尸+2（n為正整數(shù)），猜測并證

明｛%｝的通項公式.

1+~^=+H---F~^=<2y[n,￡N*)

3.證明不等式:

1〃1

4.已知數(shù)列｛斯｝，=-------，=(n￡N*),求證：VaA.<2(1——；-——)

+k=i+l

5,設(shè)g=A/T~^+J2?3+???+Jn(n+1)

證明不等式吆也<明〈如2對所有的正整數(shù)n都成立.

22

,4T3572/7+1I------,

6.求證：-------------+(neN]

2462n''

7.已知正數(shù)…X“，求證：'+工+~~>^X1X2---Xn

?

第四講數(shù)列雜題

【典型例題】

例題1：在｛%｝中，q=4,a“=J1+6,

①求證：,0T-3|②求lima”。

例題2：口袋中有4個白球，2個黃球，一次摸2個球，摸到的白球均退回口

袋，保留黃球，到第〃次兩個黃球都被摸出，即第〃+1次時所摸出的只能是

白球，則令這種情況的發(fā)生概率是勺，求鳥，鳥，勺。

例題3：數(shù)列｛4｝滿足4用+(—1)%,,=2〃一1,則｛4｝的前60項和為。

例題4：設(shè)(1+夜)"=%+%8，其中為整數(shù)，求〃-8時，&的極

yn

限.

例題5：數(shù)列他｝滿足條件:a,=l,an=l+—(n>2)

(2)-<a'^~a'-<l(>2)

試證明：(Dl<a?<2(neN*)w

32

【鞏固練習】

1.下列正確的不等式是.

120]

C.20V):--=<21；

A-i0k

2.設(shè)函數(shù)/(x)=2x-cosx,{a,,}是公差為々的等差數(shù)歹U，

8

八4)+/(々)+…+/他)=5萬，則[/(《)『一。臼=()

113

O2212

不

萬

A&萬C-D--

、

、

、

816

3.1-1!+2-2!+3-3H-\-n-n\=.\

4.在正項等比數(shù)列｛凡｝中，a5=1,牝+的=3，則滿足

%+名----…?！ǖ淖畲笳麛?shù)〃的值為

5.已知函數(shù)工(8)="，對于〃=1,2,…,定義￡x(x)=((￡(x))，若

<5。)=工(X)，則人8(X)=?

raI

Xn+[-1

6.設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列｛%｝滿足玉=a,怎M=[----Z](〃€N*),現(xiàn)有

下列命題:

①當。=5時，數(shù)列｛%｝的前3項依次為5,3,2；

②對數(shù)列｛/｝都存在正整數(shù)女，當〃2人時總有4二4;

③當〃21時，xfl>4a-1；

④對某個正整數(shù)左，若XjX￡,則x“=[&]。

其中的真命題有。(寫出所有真命題的編號)

17兀

7.數(shù)歹！J｛%｝的通項公式a,,=〃cos——+1,前〃項和為Sn,則S2012=—?

8.設(shè)函數(shù)/(x)=?,則S=l+2/(x)+3/2(x)+…+”"T(x)=

X

9.已知數(shù)列｛%｝、也,｝滿足4+1=-an-2bn，且b“x=6a?+6b”,又

%=2,4=4,求⑴an,bn；(2)lim—.

b”

10.設(shè)知=｛3,4｝為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列｛%｝的首項q=l,前〃

項和為S,,,已知對任意整數(shù)逐當整數(shù)〃〉上時，

S“+*+S,T=2(S“+S*)都成立，求％

11.已知數(shù)列｛6,｝中，q=3,=3""T,求證，an=4/??+3(m是非負整

數(shù))

12.數(shù)列｛%｝滿足：玉=0,x“+|=-x；+x“+c(〃eN*)

(I)證明：數(shù)列｛x,,｝是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0

(II)求c的取值范圍，使數(shù)列｛瑞｝是單調(diào)遞增數(shù)列。

1348兩人輪流擲一個骰子，第一次由A先擲，若A擲到一點，下次仍由

A擲：若A擲不到一點，下次換B擲，對B同樣適用規(guī)則。如此依次投擲,

記第〃次由A擲的概率為4,。

(1)求4+1與4的關(guān)系：(2)求lim/“。

“T8

14.求證：(1+-)"<(1+—)n+1(rtGN*)

n〃+1

第五講三角恒等變換

【基礎(chǔ)知識】

1.三角問題主要包括三角化簡求值，解三角形和三角恒等式證明.通常都要

用到三角公式，正余弦定理，三角形中相關(guān)的定理等.自主招生中對三角

變換要求較高.

2.要熟練運用三角恒等式變換，需要熟悉半角公式、和差化積、積化和差等

公式.

0sin。l-cos。

tan—=----------=-----------；

21+cosCsin。

sin26=cos?6-sin?0-2cos20-\=l-2sin20；

..c.a+Bex—(3

sina+sin0Q=2sin-----cos........-；

22

cosa+cos夕=2cosa+cos—~~—；

22

sina-cos1=5[sin(a+〃)+sin(a-〃)]；

cosa?cos夕=；[cos(cr+夕)+cos(a—/?)]

3.三角恒等變換是代數(shù)變換，選擇公式前要注意觀察，通常觀察已知條件和

結(jié)論中代數(shù)式形的變化，觀察角的變化，觀察三角比名稱的變化，觀察代

數(shù)式次數(shù)的變化等，然后根據(jù)變化選擇合適的公式.

【典型例題】

,34

例題1：已知sina+siny=1,cosa+cos/=w，求cosa?cosy的值.

【分析】：己知條件平方和后可以得到cos(a-7),結(jié)論中用積化和差，還需

耍cos(a+y),需要從條件中再用和差化積.

【解答】:sina+siny=2sin"+'cos?-,

225

-a+ya-y4

cosa+cosy=2cos------cos------二—

225

兩式平方和得，4cos2~~~~=2[l+cos(a-沏=1=>cos(a-y)=-；，

兩式相除得，tan2±Z=3=>cos(a+/)=—

2425

故cosa?cos/=—[cos(a+y)+cos(a-7)]=-.

例題2：在A4BC中，若勿sin/=(26+c)sin6+(2c+6)sinC,求A的大小.

【分析】：解三角形通常利用正、余弦定理化為邊或者角的運算.

【解答】：利用正弦定理化為邊，則

2a2=(2b+c)b+(2c+b)c=>a2=b2+c2+bc

124

再對照余弦定理，得cos/=—=>A=—.

23

例題3：試推導三角形面積公式一海倫秦九韶公式:5=歷荷不麗石，其

中p=4(〃+6+c).

[解答]：S=gaZ?sinC=gaby/\-cos2C=；aby](l4-cosC)(l-cosC)

22222

c-a+b-c萬(a+b)-c(Q+b+c)(a+b-c)

又cosC=---------------=>I1+cosC=---------------=------------------------

2ab2ab2ab

1-c2-(a-h)2(c+a-b)(c-a+h)

1—cosC=--------------=------------------------

2ab2ab

故S=一(c+a+b)(a+6+c)(c+Q—b)(c-a+6)

2ab2ab

即5=Jp(p-a)(/?_b)(p_c)

例題4：化簡：cos2nr+cos2J3-2cosacos/3cos(cr+B)

【分析】：三角比中sina,cosa可以看成對偶式，利用這種關(guān)系構(gòu)造對偶式求

解.

【解答】：令M-cos2a+cos2-2cosacos[3cos(6ir+/3)

N=sin2a+sin2,-2sinasin4cos(a+/)

則M+N=2—2cos?(a+4)=2sin2(a+0)

M-N=cos2a+cos24一2cos(a-0cos(a+夕)=0

故M=N=sin?(a+4)

即cos2a+cos2J3-2cosacosftcos(a+^)=sin2(a+/)

實際上，也化簡了

sin2a+sin2-2sinasinJ3cos(a+yff)=sin2(a+0)

例題5：設(shè)火尸為銳角，旦sin2a+sin?夕=sin(a+/?),求證：a+§=%

【分析】：作為等式的證明，各種方法都要考慮，本題可以用反證法.

【解答】:根據(jù)題意得sin?a+sin2°=sinacosP+cosasinp

即sina(sina-cosp)-sin夕(cosa-sin夕).......①

因為火尸為銳角，若a+/?>5=>5>a>5-尸>0,根據(jù)正余弦函數(shù)的

單調(diào)性，則sina-cos0>sin(^--伊-cos。=。

兀

coscr-sin[5<cos(y-y5)-sin/=0

此時①式兩邊一正一負，不成立，與已知條件矛盾；

同理，若工=>0<&<四一￡<衛(wèi)

222

兀

則sina-cos(3<sin(y一4)一cos/?=0

JI.

cosa-sin/3>cos(y一4)一sin/?=0

此時①式兩邊仍然一正一負，不成立，與已知條件矛盾；

TF

故只有a+￡=]

例題6：求證：sin36=4sin，sin(60°-e)sin(60°+e)

【分析】：注意觀察兩邊的角的變化，式的變化，利用積化和差公式即可.

【證明】：右邊=2sinacos10-cos120°]=sin36+sin(-6)+sin。=sin36

故等式成立.

ABC

例題7：在AABC中，求證：—r=4sin—sin—sin—

R222

【分析】：和差化積與積化和差公式在復雜的三角化簡中很重要.

【解答】：S=—(tz+Z)4-c)r=—tz/)sinC=>r=""sin。

22(Q+"C)

A.B.CABC

8sin—sinsin—coscos—cos—

r_absinC2sin力sin8sinC~222

R(Q+6+C)sin4+sin3+sinCsin-cosi+sinMosC

2222

B

8sin-sin-sin-cos-cos■&inOsin,"c-

22222_22222

A-B.CA-B4+B

cos+sin—cos+COS

2222

ARC

即等式2r=4sin-sin-sin-成立.

R222

【鞏固練習】

,八+、丁a2-b2sin(J-5)

1.AABC中，求證：----=----------

c2sinC

2.在△ABC中，設(shè)Q+C=26,A-C=60°,求sinB的值

3.化簡：cos3a-cos3a+sin3a-sin3a

AC

4.在aABC中，已知tanA:tanB:tanC=l:2:3,求-

AB

5.化簡：cos30=4cos0cos(60°-0)cos(60°+0)

6.化簡：tan33=tan6?tan(60°-0)-tan(60°+0)

、工但sin1°+sin2°+sin3°+???+sin44°

7.計算：——7-------7------------5-------------------77

COST+cos2+cos3+???+cos44

【提示解答】

第六講三角不等式

【基礎(chǔ)知識】

1.三角形不等式包括三角形中的不等關(guān)系和三角函數(shù)的最值，這兩個方

面在處理方法上在同小異，并互為所用，并且代數(shù)與幾何的相關(guān)知識常常練

習在一起.

2.三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有關(guān)性質(zhì)和證明方法在這

里都用得上.其次它含三角函數(shù)，因此三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性(或極值),

正負區(qū)間，圖像特征都是處理三角不等式的銳利武器.

3.三角形內(nèi)的不等式是一類特殊的三角不等式，無論在結(jié)構(gòu)上還是在證

法上都有特別之處，需要加倍注意.熟記一些基本的不等關(guān)系.

兀

A>B<=>a>b<=>sinA>sinB；若xw(0,—),則sinx<x<tanx

【典型例題】

TTTT

例題1：已知函數(shù)/(x)=tanx,xe(O,,)，若王，/e(0,,)且司，求

證：

，〃玉)+/(3)]>/[詈)

【分析】：這是求證正切函數(shù)的凸性，不能用圖像說明，必須用代數(shù)證明.

1/.\1<-Asin」~

【證明】：1〃西)+〃々)]>/空

2\^)21cos再COSX2Jco.F十勺

2

.玉+馬

1sin(x.+x)Sin7x.+x.

!?7

<=>--------------->---------——=cos—------>cosx.?cosx7

2cosx.cosx.…X]+乙2

2

=；[1+COS（X[+工2）]>；[COS（X]+%2）+COS（X]-x2）]<=>1>COS（XI-x2）

故不等式成立

例題2：在銳角△NBC中，求證：

sin/+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

TTTT7T.

【證明】：因為△NBC是銳角三角形，故4+8>巴口2>4>2—8>0

222

所以，sin/>sin（'-8）=cosB,同理有sin8>cosC,sinC>cosZ

于是，sin/+sin8+sinC>cosA+cosB+cosC

例題3：若6e(0,5),求證：sin<tan0

【分析】：本題是經(jīng)典的數(shù)形結(jié)合問題，如果利用導數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性也可

以解決.

【證明】：方法一，利用單位圓

如圖，單位圓與x軸交于點A,角。的終邊與單位圓

交于點B,0B的延長線與過A的切線相交與C,則比較

△40B,扇形4。8及△ZOC的面積，化簡后即得到

sin""tan。

方法二，利用導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性

考慮/(x)=tanx-x,xe[0,三)，/'(%)=―\----1>0,

2'cosx

即/(x)單調(diào)遞增，于是/(x)>/(0)=0ntanx>x

考慮函數(shù)g（x）=x-sinx,xe[0,^-）,g'（x）=1-cosxN0,

即/(x)單調(diào)遞增，于是g(x)>g(0)=0=>x>sinx

綜上得原不等式成立.

例題4：求證：2sin，x+3sin2xcos2x4-5cos4x<5

證明：設(shè)力=2sin4x4-3sin2xcos2x+5cos4x,

B=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x

則A+B=7(sin4x+cos4x)+6sin2xcos2x

=7(sin2x+cos2x)2-8sin2xcos2x

=7-2sin22x=5+2cos22x

^-B=3(cos4x-sin4x)=3(cos2x-