利用建立坐標系解決拋物線型最值問題

利用建立坐標系解決拋物線型最值問題第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日1課堂講解建立坐標系解拋物線型建筑問題

建立坐標系解拋物線型運動問題2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日

當自變量的取值范圍是全體實數(shù)時，函數(shù)在頂點處取得最

值．即當x＝－

時，y最值＝.當a＞0時，在頂點處

取得最小值，此時不存在最大值；當a＜0時，在頂點處取得

最大值，此時不存在最小值．（如下圖）第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日1知識點建立坐標系解拋物線型建筑問題知1－講1．運用二次函數(shù)的代數(shù)模型解決實際中的問題，如拋(投)物體，拋物線的模型問題等，經常需要運用抽象

與概括的數(shù)學思想，將文字語言轉化為數(shù)學符號．2．利用二次函數(shù)解決實際問題的基本思路是：(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?2)把實際問題中一些數(shù)據(jù)與點的坐標聯(lián)系起來；(3)用待定系數(shù)法求出拋物線對應的函數(shù)表達式；(4)利用二次函數(shù)的圖象及性質去分析、解決問題．第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日知1－講3．易錯警示：

(1)利用二次函數(shù)求最值，對于實際問題中的最值，

要注意自變量的取值范圍．(2)建立平面直角坐標系時，要遵循以下兩個原則：①所建立的坐標系能使求出的二次函數(shù)表達式比較

簡單；②根據(jù)已知點所在位置建立坐標系求函數(shù)表達式比

較簡單．（來自《點撥》）第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日導引：由題意可知拱橋為拋物線型，因此可建立以O為坐標原

點，AB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸的直角坐標

系，利用二次函數(shù)y＝ax2＋c解決問題．例1〈烏魯木齊〉如圖是一個拋物線型拱橋的示意圖，橋的

跨度AB為100m，支撐橋的是一些等距的立柱，相鄰立

柱間的水平距離均為10m(不考慮立柱的粗細)，其中距A點10m處的立柱FE的高度為3.6m.(1)求正中間的立柱OC的高度．(2)是否存在一根立柱，其高度恰

好是OC的一半？請說明理由．知1－講第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日知1－講（來自《點撥》）(1)根據(jù)題意可得正中間立柱OC經過AB的中點O，如圖，

以O點為坐標原點，AB所在直線為x軸，OC所在直線為y

軸，建立直角坐標系，則B點的坐標為(50，0)．∵OF＝OA－FA＝40m，∴E點的坐標為(－40，3.6)．

由題意可設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝ax2＋c，∴y＝－

x2＋10.當x＝0時，y＝10，

即正中間的立柱OC的高度是10m.解：第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日知1－講（來自《點撥》）(2)不存在．

理由：假設存在一根立柱的高度是OC的一半，即這

根立柱的高度是5m，則有5＝－

x2＋10，

解得x＝±25.由題意知相鄰立柱間的水平距離均

為10m，正中間的立柱OC在y軸上，∴每根立柱上的點的橫坐標均為10的整數(shù)倍．∴x＝±25與題意不符．∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半．第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日總

結知1－講（來自《點撥》）

本題運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)y＝ax2＋c的表達式.第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日1(2015·銅仁)河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋

物線型，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數(shù)

表達式為

y＝－

x2，當水面離橋拱頂?shù)母叨菵O

是4m時，這時水面寬度AB為(

)A．－20mB．10mC．20mD．－10m知1－練（來自《典中點》）第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日2(2015·金華)圖②是圖①中拱形大橋的示意圖，橋拱

與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB

為x軸，建立平面直角坐標系，橋的拱形可近似看成

拋物線y＝－(x－80)2＋16，橋拱與橋墩AC的交

點C恰好在水面，有AC⊥x軸，若OA＝10m，則橋面

離水面的高度AC為(

)

A．16mB.mC．16mD.m知1－練（來自《典中點》）第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2

某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如

圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線對應的函

數(shù)表達式為y＝－

x2＋c且過點C(0，5).(長度單位：m)(1)直接寫出c的值；(2)現(xiàn)因做慶典活動，計劃沿拱橋的

臺階表面鋪設一條寬度為1.5m的地

毯，地毯的價格為20元/m2，求購買地毯需多少元；(3)在拱橋加固維修時，搭建的“腳手架”為矩形EFGH(H，G分別在拋物線的左右側上)，并鋪設斜面EG.已知矩形EFGH的周長為27.5m，求斜面EG的傾斜角∠GEF的度

數(shù)．(精確到0.1°)知1－講第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日導引：(1)將點C的坐標代入計算即可；(2)首先應求出鋪設

地毯的臺階的表面積，而求表面積的關鍵在于求得

所有臺階的水平和豎直的總長度，進而求得所需錢

數(shù)；(3)求出點G的坐標，在Rt△EFG中，利用三角

函數(shù)求∠GEF的度數(shù)．

解：(1)c＝5.(2)由(1)知OC＝5.令y＝0，即－

x2＋5＝0，

解得x1＝10，x2＝－10.∴地毯的總長度為AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．∴30×1.5×20＝900(元)．∴購買地毯需要900元．知1－講第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日(3)可設G的坐標為

其中a＞0，

則EF＝2am，GF＝

由已知得2(EF＋GF)＝27.5m，即2

解得a1＝5，a2＝35(不合題意，舍去)．當a＝5時，

＋5＝－×52＋5＝3.75，∴點G的坐標是(5，3.75)．∴EF＝10m，GF＝3.75m.在Rt△EFG中，tan∠GEF＝0.375，∴∠GEF≈20.6°.知1－講（來自《點撥》）第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日總

結知1－講（來自《點撥》）

本題實際上是一道函數(shù)與幾何的綜合題．主要考查根據(jù)題意和已知圖形，利用數(shù)形結合思想、方程思想等來解決問題，是中等難度的試題．第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日3(中考·紹興)如圖的一座拱橋，當水面寬AB為12m時，

橋洞頂部離水面4m，已知橋洞的拱形是拋物線，以

水平方向為x軸，建立平面直角坐標系，若選取點A為

坐標原點時拋物線對應的函數(shù)表達式是y＝－(x－6)2＋4，則選取點B為坐標原點時拋物線對應的函數(shù)

表達式是______________________．知1－練（來自《典中點》）第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日2知識點建立坐標系解拋物線型運動問題知2－講例3〈一題多解〉如圖，某灌溉設備的噴

頭B高出地面1.25m，噴出的拋物線

型水流在與噴頭底部A的距離為1m

處達到距離地面最大高度2.25m，試

建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼挡⑶蟪雠c該拋物線型水流對應

的二次函數(shù)關系式．導引：解決問題的關鍵是建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?/p>

實際問題中的長度轉化為點的坐標，從而利用待定

系數(shù)法求二次函數(shù)關系式．第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日知2－講解：方法一：建立如圖所示的平面直角坐標系，則拋物

線的頂點為O(0，0)，且經過點B(－1，－1)．于是

設所求二次函數(shù)關系式為y＝ax2，

則有－1＝a·(－1)2，得a＝－1.∴拋物線型水流對應的二次函數(shù)關系式為y＝－x2.第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日知2－講方法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，則拋物線的頂點為D(0，2.25)，且拋物線經過點B(－1，1.25)．于是設所求二次函數(shù)關系式為y＝ax2＋2.25，則有1.25＝a·(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴拋物線型水流對應的二次函數(shù)關系式為y＝－x2＋2.25.第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日知2－講方法三：建立如圖所示的平面直角坐標系，則拋物線的頂點為D(1，2.25)，且經過點B(0，1.25)．于是設所求二次函數(shù)關系式為y＝a(x－1)2＋2.25，則有1.25＝a(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴拋物線型水流對應的二次函數(shù)關系式為y＝－(x－1)2＋2.25.（來自《點撥》）第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日總

結知2－講（來自《點撥》）解決拋物線型問題，其一般步驟為：(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，正確寫出關鍵點的坐標；(2)根據(jù)圖象設拋物線對應的函數(shù)表達式；(3)根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法求表達式，再利用

二次函數(shù)的性質解題．在解題過程中要充分利用拋

物線的對稱性，同時要注意數(shù)形結合思想的應用．第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日1某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平

地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，

水在空中劃出的曲線是拋物線y＝－x2＋4x(單位：m)

的一部分，則水噴出的最大高度是(

)A．4mB．5mC．6mD．7m知2－練（來自《典中點》）第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日2小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y＝－

x2

＋3.5的一部分(如圖)，若命中籃筐中心，則他與籃底

的水平距離l是(

)A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m知2