信號與系統(tǒng)教程45講北郵第四章

第四章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復(fù)(s)頻域分析頻域分析法的局限性2）有些函數(shù)FT不存在[如f(t)=et(t)>0時]1）只能求yzs(t)3）某些簡單函數(shù)的FT形式復(fù)雜[如(t)()+1/j]頻域分析法中基本變量為，ejt為基本信號。

連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)(S)頻域分析(拉普拉斯變換)s(復(fù)頻)域分析中基本變量為s=+j，

est為基本信號1)2)很多傅里葉變換不存在的函數(shù)f(t)，存在拉普拉斯變換。3）很多函數(shù)的LT的形式簡單[如(t)

1/s]4.1連續(xù)時間信號的復(fù)頻域分析拉普拉斯變換4.1.1從傅里葉變換(FT)到拉普拉斯變換(LT)FT存在的充分條件當(dāng)函數(shù)f(t)

[如f(t)=et(t)>0時]不滿足絕對可積條件時其FT不存在[特殊函數(shù)如1、(t)、Sgn(t)等除外]

。

雙邊拉普拉斯變換對?[f(t)et

]存在

F(s)稱為f(t)的雙邊拉普拉斯(正)變換[

或稱f(t)的象函數(shù)]時間函數(shù)f(t)稱為F(s)的雙邊拉普拉斯逆變換[或稱F(s)原函數(shù)]雙邊拉普拉斯變換對單邊拉普拉斯變換對簡寫為F(s)=?[f(t)]

f(t)

=

?1[F(s)]

簡記為f(t)

F(s)4.1.2雙邊拉普拉斯變換的收斂域

收斂域的概念：例1：求因果信號f1(t)=et(t)的拉斯變換(為實數(shù))因果信號收斂域應(yīng)滿足>=0(即收斂軸的右邊區(qū)域)或?qū)憺镽e[s]=

>=0收斂坐標(biāo)0=收斂軸j例2：求反因果信號f2(t)=et

(t)的拉斯變換(為實數(shù))反因果信號收斂域應(yīng)滿足<=

0（即收斂軸的左邊區(qū)域）收斂軸收斂坐標(biāo)0=或?qū)憺镽e[s]

=

<=0例3：求雙邊信號f(t)=et(t)+et

(–t)的拉斯變換F(s)=F1(s)+F2(s)已知：因果信號收斂域滿足>反因果信號收斂域滿足<雙邊信號當(dāng)<時其拉斯變換存在，其收斂域為<Re[s]<

雙邊信號當(dāng)時沒有公共的收斂域，其拉斯變換不存在。當(dāng)時

可見雙邊拉斯變換收斂條件比較苛刻，限制了應(yīng)用。當(dāng)<時4.1.3單邊拉普拉斯變換的收斂域說明2：為便于研究t=0時刻發(fā)生跳變的現(xiàn)象,規(guī)定積分下限從0–開始。說明1：本書主要討論單邊拉斯變換，沒有特殊說明均指單邊拉斯變換。t01(a)t01(b)t01(c)4.1.4常用信號的單邊拉普拉斯變換4.2單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)信號的兩種描述方法1）時域描述f(t)

2）復(fù)頻域(s)域描述F(s)

本節(jié)研究在某一域中對信號進(jìn)行某種運算時在另一域中所引起的效應(yīng)。說明：有時應(yīng)用線性性質(zhì)后，收斂域不滿足上述條件，其收斂域可能擴大。如?[g(t–

/2)]=?[(t)-

(t–

)]1、線性性質(zhì)（常用）例1：求

?[1–

e–t]2、時移性質(zhì)（常用）注意：延時信號f(t–t0)(t–t0)是指因果信號f(t)(t)延時

t0后的信號（即延時前后信號的波形形狀不變）例2：求

?[e–t(t–2)

]t010t12t012例3：求?[sint(t–1)

]例4：求?[f(t)]t011應(yīng)用線性性質(zhì)和時移性質(zhì)求單邊周期信號的拉斯變換收斂條件|e-TS|<1(即

Re[s]

>0）等比級數(shù)，公比q=e–TS例5：求?[fT(t)]…t012313、復(fù)頻移(s域平移)性質(zhì)（常用）例6：求

?[e–tsin0t

(t)

],?[e–tcos

0t

(t)

]4、尺度變換性質(zhì)例7：f(t)=e–t求

?[f(2t)]同時含有幾種運算5、時域卷積性質(zhì)(定理)[常用]例9：求?[fT(t)]…t02431*=t021…t(1)8406、頻域卷積性質(zhì)則7、時域微分性質(zhì)（常用）(時域微分和積分特性主要用于研究具有初始狀態(tài)的微分方程)1)若f(t)是因果信號f(i)(0–)=0,f(n)(t)snF(s)2)?[f

(n)(t)]的收斂域至少與?[f

(t)]的相同，但有時可能擴大。說明常用記住8、時域積分性質(zhì)說明1）?[f(-n)(t)]的收斂域是Re[s]

>0與Re[s]

>0的重疊的部分t021t021t011t0(2)t0(2)(2)t0(2)(2)應(yīng)用時域積分特性時注意的問題拉斯逆變換時要用例10：已知?[(t)]=1/s,求?例11：求圖所示三角脈沖信號的LTt0t0t0

若f(t)導(dǎo)數(shù)的LT容易求,則可利用積分性質(zhì)求f(t)的頻譜9、復(fù)頻域微分性質(zhì)例12：求?[

tet(t)]11、初值定理和終值定理1）初值定理：由F(s)直接求[

f(0+)，f(0+)，

f（n)(0+)]條件：f(t)不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(n)(t)[即F(s)是真分式]2）終值定理[f()是否存在可由F(s)判斷]

∵終值定理取s→0的極限，∴s=0

必須在s

F(s)的收斂域內(nèi)（即0<0）

常用信號的單邊拉普拉斯變換4.3單邊拉普拉斯反變換信號的兩種描述方法1）時域描述f(t)

2）復(fù)頻域(s)域描述F(s)求拉普拉斯逆變換的方法[當(dāng)F(s)為s的有理分式時]2）部分分式展開法(常用,要求重點掌握的內(nèi)容)1）由逆變換的公式。所謂反變換是由F(s)求原函數(shù)f(t)的過程。

常用信號的單邊拉普拉斯變換信號的象函數(shù)F(s)為s的n次冪或s的有理分式一般象函數(shù)F(s)的形式為4.3.2部分分式展開法當(dāng)an…a0,bm…b0均為實數(shù)，m、n

為非負(fù)整數(shù)，且m<n時令A(yù)(s)=0可求得n個根si(i=1,2,…,n)一般象函數(shù)F(s)的形式為a）si可以是單根[單實(數(shù))根，單復(fù)(數(shù))根]b）si可以是重根[重實根，重復(fù)根]si稱為F(s)的極點1)F(s)僅含有單極點[即n個根為互不相等的單根時]求ki的方法f(t)

=?1[F(s)]=?1

2)F(s)含有共軛單復(fù)根(若有單復(fù)根一定共軛成對出現(xiàn))時不作要求若F(s)只含一對共軛單極點,可用配平法直接利用變換對求反變換A(s)只含一對共軛復(fù)根

說明：F(s)中mn，F(xiàn)(s)為假分式不能直接進(jìn)行分解若F(s)中m