大學(xué)物理電磁場(chǎng)第2章下課件

2.7靜電場(chǎng)的邊界條件1）什么是邊界條件？為什么要了解邊界條件？不同媒質(zhì)介面兩側(cè)，電場(chǎng)的關(guān)系稱(chēng)為邊界條件。媒質(zhì)界面不均勻處出現(xiàn)束縛電荷或感應(yīng)電荷，使界面兩邊的電場(chǎng)出現(xiàn)不連續(xù)，并使微分形式的靜電場(chǎng)方程不能用在分界面上。因此，當(dāng)討論的區(qū)域存在兩種或兩種以上媒質(zhì)時(shí)，就需要建立不同媒質(zhì)分界面兩邊電場(chǎng)的關(guān)系的邊界條件。2）分界面兩側(cè)電位移矢量法向分量的關(guān)系跨分界面上取一個(gè)很小的柱形封閉面3）分界面兩側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的關(guān)系4）介質(zhì)與介質(zhì)界面的邊界條件En不連續(xù)

為什么En不連續(xù)？

界面上有束縛面電荷！如何計(jì)算界面上的束縛面電荷在兩種介質(zhì)邊界上，無(wú)自由電荷

電位在兩種介質(zhì)界面上的邊界條件為5)導(dǎo)體表面(導(dǎo)體與介質(zhì)界面)的邊界條件電場(chǎng)垂直于導(dǎo)體表面，且表面上的感應(yīng)電荷面密度等于表面上的電位移矢量的大小。對(duì)應(yīng)的電位的邊界條件為

＝常數(shù)導(dǎo)體表面是等位面

例1.兩塊導(dǎo)電平板平行放置，之間填充厚度分別為d1和d2的兩層介質(zhì)。兩導(dǎo)電板間的電壓為V，忽略邊緣效應(yīng)，求它們之間的電場(chǎng)及電荷分布。解：

忽略邊緣效應(yīng)，

在導(dǎo)電板之間，電場(chǎng)電力線(xiàn)為平行的直線(xiàn)，方向?yàn)閺恼傅截?fù)，兩介質(zhì)中的電場(chǎng)分別是均勻的正、負(fù)極板上的電荷面密度分別為兩介質(zhì)界面的束縛電荷面密度為

2.6恒定電流和恒定電流場(chǎng)電流密度的概念恒定電流場(chǎng)方程和邊界條件恒定電場(chǎng)的基本計(jì)算方法電導(dǎo)和接地電阻的計(jì)算重點(diǎn)：

自由電荷在電場(chǎng)作用下做宏觀定向運(yùn)動(dòng)形成電流，通有電流的導(dǎo)電媒質(zhì)中的場(chǎng)稱(chēng)為電流場(chǎng)，當(dāng)空間各點(diǎn)的電流密度不隨時(shí)間而變時(shí)就是恒定電流場(chǎng)，簡(jiǎn)稱(chēng)恒定電場(chǎng)。下頁(yè)上頁(yè)1.恒定電場(chǎng)2.導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)導(dǎo)電媒質(zhì)超導(dǎo)體或理想導(dǎo)體理想介質(zhì)下頁(yè)上頁(yè)有推動(dòng)自由電荷運(yùn)動(dòng)的電場(chǎng)存在，說(shuō)明E不僅存在于介質(zhì)中而且存在于導(dǎo)體中；恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)不同之處電流恒定說(shuō)明流走的自由電子被新的自由電子補(bǔ)充，空間電荷密度處于動(dòng)態(tài)平衡，因而場(chǎng)分布不同于靜電場(chǎng)；+-U靜電場(chǎng)+-UEtEn恒定電場(chǎng)下頁(yè)上頁(yè)進(jìn)一步理解直流電路中的有關(guān)規(guī)律；4.研究恒定電場(chǎng)的意義本章主要討論導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)。注意解決電阻的計(jì)算等實(shí)際問(wèn)題；為實(shí)驗(yàn)方法研究場(chǎng)的問(wèn)題提供理論依據(jù)。1）.電流強(qiáng)度定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)某一橫截面的電量。一電流和電流密度A運(yùn)流電流——帶電粒子在真空或稀薄氣體中定向運(yùn)動(dòng)形成的電流。下頁(yè)上頁(yè)傳導(dǎo)電流——電子或離子在導(dǎo)電媒質(zhì)中受電場(chǎng)作用而定向運(yùn)動(dòng)形成的電流。2)電流(體)密度空間任一點(diǎn)的電流密度J定義為:

單位時(shí)間垂直穿過(guò)以該點(diǎn)為中心的單位面積的電量，方向?yàn)檎姾稍谠擖c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向單位:A/m2對(duì)電流分布在曲面附近很薄的一層中的情況，當(dāng)不需分析計(jì)算這一薄層中的場(chǎng)時(shí)，可忽略薄層的厚度，將電流近似看成是面電流。面電流用面電流密度Js表示.4）電流線(xiàn)密度電流en

是垂直于dl，且通過(guò)dl與曲面相切的單位矢量面電荷在ρl曲面上以速度v運(yùn)動(dòng)形成的電流電流線(xiàn)密度及其通量下頁(yè)上頁(yè)電流線(xiàn)密度2導(dǎo)體的電導(dǎo)率導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流密度與導(dǎo)體的電導(dǎo)率及電場(chǎng)強(qiáng)度成正比.電導(dǎo)率代表了媒質(zhì)的導(dǎo)電性能，其值愈大導(dǎo)電能力愈強(qiáng)。不同的媒質(zhì)，導(dǎo)電性能不同；同一種媒質(zhì)，在不同的溫度、濕度等環(huán)境條件下，電導(dǎo)率也有區(qū)別.電導(dǎo)率的倒數(shù)就是電阻率．電導(dǎo)率很大的導(dǎo)體為良導(dǎo)體銀金銅鋁絕緣材料的電導(dǎo)率很小變壓器油玻璃橡膠海水干土理想導(dǎo)體理想介質(zhì)3.

歐姆定律的微分形式

J

與

E

成正比，且方向一致。下頁(yè)上頁(yè)

J與E之關(guān)系歐姆定律導(dǎo)體內(nèi)流過(guò)的電流與導(dǎo)體兩端的電壓成正比。設(shè)小塊導(dǎo)體，在線(xiàn)性情況下Ohm’sLaw微分形式說(shuō)明上式也適用于非線(xiàn)性情況1.

E的閉合線(xiàn)積分及旋度二、恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件下頁(yè)上頁(yè)得恒定電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)在電流場(chǎng)中雖然電荷是運(yùn)動(dòng)的，但對(duì)于恒定電流場(chǎng)，電場(chǎng)不隨時(shí)間變化，那么運(yùn)動(dòng)電荷在空間的分布也就不隨時(shí)間變化，這種電荷稱(chēng)為駐立電荷。由駐立電荷產(chǎn)生的恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)一樣，也是保守場(chǎng)。電場(chǎng)強(qiáng)度沿任一閉合回路的線(xiàn)積分應(yīng)等于零.在恒定電場(chǎng)中上式亦稱(chēng)電流連續(xù)性方程，即流進(jìn)的電流等于流出的電流，電流線(xiàn)是閉合曲線(xiàn)。故電荷守恒原理2.J

的閉合面積分及散度散度定理下頁(yè)上頁(yè)恒定電場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)

恒定電場(chǎng)是無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)，在無(wú)源區(qū)是守恒場(chǎng)。3.恒定電場(chǎng)（電源外）的基本方程積分形式微分形式下頁(yè)上頁(yè)說(shuō)明下頁(yè)上頁(yè)恒定電場(chǎng)的基本方程與電路的基本定律應(yīng)用到電路的結(jié)點(diǎn)應(yīng)用到電路的回路恒定電場(chǎng)的基本方程是基爾霍夫定律的場(chǎng)的表示。5.分界面上的銜接條件說(shuō)明分界面上

E

切向分量連續(xù)，J的法向分量連續(xù)。

靜電場(chǎng)（=0）下頁(yè)上頁(yè)

采用與靜電場(chǎng)類(lèi)比的方式可以方便的得到恒定電場(chǎng)中不同媒質(zhì)分界面的銜接條件。恒定電場(chǎng)（無(wú)源區(qū)）下頁(yè)上頁(yè)2）不良導(dǎo)體與良導(dǎo)體的交界面。

1）不良導(dǎo)體中電流線(xiàn)與良導(dǎo)體界面幾乎垂直。2）良導(dǎo)體可以近似認(rèn)為是等位體。表明討論3）可以用電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)。電位的邊界條件導(dǎo)體-理想介質(zhì)邊界一般導(dǎo)體-理想導(dǎo)體邊界例1.在兩個(gè)長(zhǎng)為Ｌ、半徑分別為a、b的理想導(dǎo)電圓筒之間填充電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，m和k均為常數(shù)．在兩理想導(dǎo)電圓筒之間加電壓Ｖ，求兩理想導(dǎo)電圓筒之間的電阻．解:設(shè)兩理想導(dǎo)電圓筒之間的電流為Ｉ.在兩理想導(dǎo)電圓筒之間的導(dǎo)電媒質(zhì)中，任取半徑為ρ，長(zhǎng)度為Ｌ的同軸圓柱形面，解法例2.已知平板電容器兩導(dǎo)電平板面積為A，之間填充兩層非理想介質(zhì)，厚度分別為d1和d2與電導(dǎo)率分別為σ1和σ2。當(dāng)兩導(dǎo)電平板之間加電壓V時(shí)，求電場(chǎng)強(qiáng)度及電容器的漏電導(dǎo)。解：解法設(shè)導(dǎo)電平板之間的兩層媒質(zhì)中電場(chǎng)均為勻強(qiáng)場(chǎng)，那么由邊界條件及電壓關(guān)系得2.7.2靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題·唯一性定理靜電場(chǎng)的求解可分為兩類(lèi)：下頁(yè)上頁(yè)第一類(lèi)問(wèn)題：場(chǎng)源問(wèn)題已知空間電荷分布，求電場(chǎng)分布第二類(lèi)問(wèn)題：邊值問(wèn)題

已知空間介質(zhì)分布，電極形狀、位置和電位，場(chǎng)域邊界上的電位或場(chǎng)強(qiáng)，這類(lèi)問(wèn)題歸結(jié)為求解給定邊界條件的電位微分方程的解。直接求積分方程直接求微分方程靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題場(chǎng)域邊界條件(待講）分界面銜接條件

微分方程邊界條件初始條件下頁(yè)上頁(yè)泊松方程拉普拉斯方程自然邊界條件有限值強(qiáng)制邊界條件有限值場(chǎng)域邊界條件1）第一類(lèi)邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet)2）第二類(lèi)邊界條件（聶以曼條件Neumann)3）第三類(lèi)邊界條件已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線(xiàn)性組合已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度或電力線(xiàn))下頁(yè)上頁(yè))(2sfnS=??j已知邊界上的電位有限差分法有限元法邊界元法矩量法積分方程法積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法解析法數(shù)值法實(shí)測(cè)法模擬法邊值問(wèn)題下頁(yè)上頁(yè)試寫(xiě)出圖示靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。下頁(yè)上頁(yè)例解S1100VS250V大地以上空間：

靜電場(chǎng)的唯一性定理研究給定怎樣的條件靜電場(chǎng)解是唯一的。下頁(yè)上頁(yè)唯一性定理：

在靜電場(chǎng)中，滿(mǎn)足給定邊界條件的電位微分方程的解是唯一的?；颍悍匠桃欢?，邊界條件一定，解就是一定的。唯一性定理的意義圖示平板電容器的電位，哪一個(gè)解答正確？給出了唯一確定靜電場(chǎng)問(wèn)題的解所需滿(mǎn)足的條件。下頁(yè)上頁(yè)平板電容器外加電源U0例可用以判斷靜電場(chǎng)問(wèn)題解的正確性。2.7.3鏡像法鏡像法是直接建立在唯一性定理基礎(chǔ)上的一種求解靜電場(chǎng)問(wèn)題的方法。

對(duì)于一個(gè)電位的邊值問(wèn)題，如果在區(qū)域V中電荷分布已知，在其邊界S上給定邊界條件，則區(qū)域V中的電位是唯一的.Z>0區(qū)域的電位邊值問(wèn)題1)理想導(dǎo)電平面上方的電荷的電場(chǎng)鏡像電荷感應(yīng)電荷電位的計(jì)算例1.用無(wú)限大的導(dǎo)電平面折成一直角區(qū)域，直角區(qū)有一點(diǎn)電荷q。求直角區(qū)域中的電位。解:邊值問(wèn)題等效問(wèn)題=0=0邊值問(wèn)題相同鏡像法小結(jié)

鏡像法的理論依據(jù)是：鏡像法的實(shí)質(zhì)是：鏡像法的關(guān)鍵是：鏡像電荷只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域。

用虛設(shè)的簡(jiǎn)單分布的鏡像電荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻媒質(zhì)；靜電場(chǎng)唯一性定理；

確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小及位置以保證原場(chǎng)的邊值問(wèn)題不變；應(yīng)用鏡像法解題時(shí)注意：下頁(yè)上頁(yè)2.8導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與靜電場(chǎng)的能量一個(gè)半徑為a,帶電量為q的導(dǎo)體球放在介電常數(shù)為ε的無(wú)限的均勻介質(zhì)中,電位為

導(dǎo)體球的電位為

1)均勻介質(zhì)中的帶電導(dǎo)體球此比值與導(dǎo)體的大小及周?chē)慕橘|(zhì)有關(guān)，對(duì)于線(xiàn)性介質(zhì)，與電場(chǎng)無(wú)關(guān)，也與導(dǎo)體所帶的電量無(wú)關(guān)．此比值越大，導(dǎo)體電位不變時(shí)，所帶的電量越多．反映了導(dǎo)體的帶電能力.導(dǎo)體球的這一性質(zhì)也可以推廣到一般的導(dǎo)體系統(tǒng)中．2.8.1電容2)孤立導(dǎo)體的電容導(dǎo)體在線(xiàn)性介質(zhì)中，一個(gè)孤立導(dǎo)體的電位（電位參考點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn)處）與導(dǎo)體所帶的電量成正比。

導(dǎo)體所帶的電量與其電位的比值定義為孤立導(dǎo)體的電容

單位為法拉(F)孤立導(dǎo)體的電容與導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸以及周?chē)橘|(zhì)的特性有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量無(wú)關(guān)。孤立導(dǎo)體的電容反映了在電位給定時(shí),導(dǎo)體承載電荷量的能力.3)兩導(dǎo)體之間的電容導(dǎo)體1導(dǎo)體2在線(xiàn)性介質(zhì)中，兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷的導(dǎo)體之間的電位差與導(dǎo)體上所帶的電量成正比。

導(dǎo)體上的帶電量與兩導(dǎo)體之間的電位差之比定義為兩導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

兩導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與兩個(gè)導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸和間距以及周?chē)橘|(zhì)的特性有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量無(wú)關(guān)。兩導(dǎo)體的電容反映了在電壓給定時(shí),兩導(dǎo)體承載電荷量的能力.兩導(dǎo)體的電容還表示兩個(gè)導(dǎo)體的電場(chǎng)相互影響，或者說(shuō)電耦合的程度。電容的概念不僅適用于電容器，而且適用于任意兩個(gè)導(dǎo)體(如兩根導(dǎo)線(xiàn))之間，以及導(dǎo)體和地之間。

孤立導(dǎo)體的電容可看成兩導(dǎo)體系統(tǒng)中一個(gè)導(dǎo)體在無(wú)限遠(yuǎn)的情況下的電容,或?qū)w和地之間的電容。

例1.計(jì)算同軸形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體上的電量為q

電容器中電量與電壓的關(guān)系為例2.平行導(dǎo)電平板之間填充厚度分別為d1和d2的兩層介質(zhì),求電容。解：設(shè)平行導(dǎo)電平板之間的電壓為U導(dǎo)電板上電荷密度與電壓的關(guān)系

填充兩層介質(zhì)的的導(dǎo)電平板之間的電容為

2.8.2靜電場(chǎng)能量

當(dāng)電荷放入電場(chǎng)中，電場(chǎng)就會(huì)做功使電荷位移，這說(shuō)明電場(chǎng)具有能量。電場(chǎng)越強(qiáng)，對(duì)電荷的力就越大，做功的能力就越強(qiáng)，說(shuō)明電場(chǎng)具有的能量就越大。1）電場(chǎng)能量與電荷分布的關(guān)系本節(jié)主要分析：2）電場(chǎng)能量分布與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系1）用場(chǎng)源表示靜電場(chǎng)能量下頁(yè)上頁(yè)2）用場(chǎng)量表示靜電能量能量矢量衡等式定義能量密度下頁(yè)上頁(yè)各向同性均勻媒質(zhì)適用于靜電場(chǎng)和時(shí)變場(chǎng)因s∝，當(dāng)時(shí)，面積分為零，故∝例.計(jì)算半徑為a、電荷體密度為ρ0的均勻帶電球的電場(chǎng)能量。解:由高斯定理,可求出電場(chǎng)強(qiáng)度為積分求電位為采用兩種方法計(jì)算電場(chǎng)能量

1)2)２)電動(dòng)勢(shì)

為了維持電流流動(dòng)，在正負(fù)極板之間放置外源，外源中存在對(duì)電荷有作用力的非靜電力，這種外源非靜電力做功反抗極板之間的靜電場(chǎng)力，將通過(guò)導(dǎo)線(xiàn)從正極板移到負(fù)極板的正電荷再經(jīng)過(guò)電源內(nèi)部又移回到正極板，保持極板上的電荷密度不變，從而也就使導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場(chǎng)和電流維持恒定不變。電動(dòng)勢(shì)動(dòng)畫(huà)返回這些外源是非電的能源，它們可以是化學(xué)能，如電池；也可以是機(jī)械能，如發(fā)電機(jī)等。在電源中，外電場(chǎng)與極板之間電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)剛好相反

電源做功的能力用電動(dòng)勢(shì)(emf)表示，電源的電動(dòng)勢(shì)定義為電源將單位正電荷從電源的負(fù)極N移到正極P所做的功外源電場(chǎng)不是保守場(chǎng)如果閉合回路是由n短支路串接而成基爾霍夫電壓定律

2.9恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬下頁(yè)上頁(yè)恒定電場(chǎng)（電源外）基本方程導(dǎo)出方程比