結(jié)構(gòu)動力學(xué)章結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的靈敏度

第十一章結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的靈敏度分析及動力修改§11-1引言由于力學(xué)上的假設(shè)、簡化處理等，所建立的有限元模型往往與實際結(jié)構(gòu)有著一定的差距：如質(zhì)量陣中不能確切反映慣性力的分布、各構(gòu)件（單元）間的聯(lián)接、邊界的約束條件、阻尼情況等，都與實際情況并不完全相符；另外，計算機容量和運算速度，也限制了單元的過細劃分和自由度數(shù)的設(shè)置。這就使結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性計算精度不夠，從而必須對有限元模型進行修正。另一方面，即使有限元模型置信度很高，但隨著機械設(shè)備向高速化、輕量化、大型化、復(fù)雜化方向的發(fā)展，人們不可能一次設(shè)計出高質(zhì)量的產(chǎn)品，而必須對結(jié)構(gòu)作優(yōu)化設(shè)計，即要多次修改設(shè)計（有限元模型），進行重分析和計算，直到產(chǎn)品的動特性達到滿意的要求。這就是動力修改的問題。

結(jié)構(gòu)動力修改具有兩方面的工程含義：一是計算模型的修改，二是結(jié)構(gòu)的動力修改。前者是用從模態(tài)試驗中獲得的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)測試數(shù)據(jù)（作為基準）對有限元模型進行修正，以獲得置信度較高、能準確反映結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。后者則包含正、反兩方面的問題，正問題是指：若對結(jié)構(gòu)作了小改動，在原結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)已知的條件下，如何快速有效地獲得改動后的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。反問題是指：若原結(jié)構(gòu)動態(tài)特性不合要求，如何修改結(jié)構(gòu)物理參數(shù)及確定修改量，使其動特性滿足給定的要求。為了有效地進行結(jié)構(gòu)的動態(tài)設(shè)計與修改，人們必須了解哪些物理參數(shù)對結(jié)構(gòu)的動特性影響較大（也就是說研究結(jié)構(gòu)的動特性對這些結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感程度）。比如在結(jié)構(gòu)上何處加質(zhì)量、何處加彈簧，在哪兩點之間加桿，如何改變單元剛度（幾何尺寸、形狀等）等，使結(jié)構(gòu)某些指定的模態(tài)參數(shù)變化最大。這就是所謂的結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的靈敏度分析。靈敏度分析理論為人們有目的的修改結(jié)構(gòu)指明了方向，從而優(yōu)化設(shè)計、減少費用、縮短設(shè)計周期、提高效率。

靈敏度定義：①應(yīng)變量的變化／自變量的變化；②應(yīng)變量的相對變化／自變量的相對變化。另有兩種稱為半靈敏度的定義：①應(yīng)變量的變化／自變量的相對變化；②應(yīng)變量的相對變化／自變量的變化。

系統(tǒng)運動微分方程為：

各階固有頻率和相應(yīng)的模態(tài)向量為§11-2基本原理若

：

將式(4)代入式(6)，展開后略去二階及二階以上的小量，并考慮到

將式(5)式代入(7)，然后左乘以，并考慮到式(3)，可得當i＝j(luò)時，有

當i≠j時，有

將式(4)、(5)代入式(11)，并考慮到式(3)，可得

為了求，可令１、點加質(zhì)量靈敏度分析

經(jīng)過推導(dǎo)，可得點加質(zhì)量靈敏度式中：為在節(jié)點處所加的質(zhì)量，、、分別為原結(jié)構(gòu)第i階模態(tài)在節(jié)點處的x、y、z方向線位移分量。

定義相對靈敏度：為原結(jié)構(gòu)節(jié)點處的第階模態(tài)動能。對某階模態(tài)而言，哪個節(jié)點的模態(tài)動能大，哪個節(jié)點即是質(zhì)量修改的敏感節(jié)點。２、節(jié)點加彈簧靈敏度分析

經(jīng)過推導(dǎo)，可得節(jié)點加彈簧靈敏度對每個節(jié)點S，哪個方向的模態(tài)線位移最大，哪個方向就是該點所加彈簧的方向；對某階模態(tài)，哪個節(jié)點的模態(tài)線位移大，則哪個節(jié)點即是點加剛度修改的敏感節(jié)點。

３、兩點間加桿（彈簧）的靈敏度分析

兩點間加桿（彈簧）的靈敏度哪兩點間相對位移大，則在這兩點間加桿最靈敏度４、桁桿桿單元靈靈敏度分分析桁桿單元元的靈敏敏度─單元(節(jié)點)e的第i階模態(tài)勢能增量；─單元(節(jié)點)e的第i階模態(tài)動能增量。

敏感位置置取決于于桁桿單單元的模模態(tài)動能能和模態(tài)態(tài)勢能。。５、梁單單元的靈靈敏度分分析梁單元的的靈敏度度⑴哪個個單元的的模態(tài)勢勢能較大大，而相相應(yīng)的模模態(tài)動能能較小，，則哪個個單元是是剛度修修改的敏敏感單元元。這種種單元通通常具有有較小的的線位移移而變形形較大（（或具有有較大的的應(yīng)變）），如懸懸臂梁固固定端處處。⑵哪個個單元的的模態(tài)動動能較大大，而相相應(yīng)的模模態(tài)勢能能較小，，則哪個個單元是是質(zhì)量修修改的敏敏感單元元。這種種單元通通常具有有較大的的線位移移而變形形較?。ǎɑ蚓哂杏休^小的的應(yīng)變）），如懸懸臂梁自自由端處處。⑶處于于振型腹腹部的單單元，其其線位移移和相對對變形都都較大，，即相應(yīng)應(yīng)的模態(tài)態(tài)動能和和模態(tài)勢勢能都較較大，究究竟屬于于哪類單單元要視視具體情情況而定定。對梁梁的彎曲曲振動，，這種單單元往往往是剛度度敏感單單元。⑷位于于振型節(jié)節(jié)點處的的單元，，其線位位移和相相對變形形都較小小，即相相應(yīng)的模模態(tài)動能能和模態(tài)態(tài)勢能都都較小，，因而節(jié)節(jié)點處的的單元是是不敏感感單元。。⒈點加質(zhì)質(zhì)量修改改例１.圖示懸臂臂梁，長長×寬×高＝100××3×0.2(cm3)，表1－1給出了用用有限元元分析程程序SAP5p計算的該該結(jié)構(gòu)前前六階固固有頻率率，表1－2給出了點點加質(zhì)量量的固有有頻率靈靈敏度值值?！?1-3應(yīng)用舉例例表1－1懸臂梁基本結(jié)構(gòu)固有頻率值（單位：1/S）892.3597.6361.7184.665.9610.53SAP5模態(tài)表1－2點加質(zhì)量量的固有有頻率靈靈敏度分分析結(jié)果果節(jié)點號模態(tài)階數(shù)12345650-.378E-1-.326E-1-.282E-1

-.240E-1-.200E-1-.164E-149-.357E-1-.260E-1-.186E-1-.123E-1-.736E-2-.368E-225-.400E-2-.206E-1-.695E-3-.189E-1-.160E-2-.175E-124-.345E-2-.206E-1-.230E-2-.161E-1-.581E-2-.116E-116-.744E-3-.110E-1-.228E-1-.756E-2-.173E-2-.178E-115-.577E-3-.936E-2-.227E-1-.122E-1-.397E-5-.121E-111-.163E-3-.361E-2-.145E-1-.226E-1-.174E-1-.459E-212-.233E-3-.482E-2-.174E-1-.224E-1-.116E-1-.422E-326-.460E-2-.203E-1-.179E-4-.199E-1-.590E-6-.199E-127-.526E-2-.196E-1-.317E-3-.191E-1-.149E-2-.177E-19-.695E-4-.176E-2-.857E-2-.179E-1-.228E-1-.185E-110-.109E-3-.259E-2-.115E-1-.210E-1-.215E-1-.116E-1從表1－2可知，在在節(jié)點50和49加集中質(zhì)質(zhì)量，能能顯著降降低第一一階固有有頻率；；在節(jié)點點50、49、25和24加集中質(zhì)質(zhì)量，則則能顯著著降低第第二階固固有頻率率值；若若想降低低第四階階固有頻頻率值，，則在節(jié)節(jié)點50、10、11和12加集中質(zhì)質(zhì)量最好好。表1－3給出了在在懸臂梁梁的六個個節(jié)點上上共加質(zhì)質(zhì)量60克(節(jié)點25、24、11、12、26和27各10克)，用結(jié)構(gòu)構(gòu)動力修修改程序序(線性關(guān)系系)預(yù)測及SAP5P計算的結(jié)結(jié)果。表1－3點加集中中質(zhì)量修修改后的的結(jié)構(gòu)固固有頻率率及改變變量(單位：1/S)模態(tài)ω1Δω1ω2Δω2ω3Δω3ω4Δω4ω5Δω5ω6Δω6預(yù)測10.32-0.2159.63-6.33177.6-7.0315.5-46.2573.3-24.3823.7-68.6SAP510.33-0.2060.57-5.39178.1-6.5325.0-36.7578.0-19.6842.6-49.1⒉梁單元修修改例2.結(jié)構(gòu)同例例１，表表2－1給出了第第3階模態(tài)下下固定端端處、自自由端處處、振型型腹部和和節(jié)點處處梁單元元的模態(tài)態(tài)動能和和模態(tài)勢勢能及每每次修改改１個單單元(截面面積積從3×0.2cm變?yōu)?×0.22cm)后前5階固有頻頻率的改改變情況況。表2－1第3階模態(tài)下下單元模模態(tài)動能能和模態(tài)態(tài)勢能及及單元e修改后各各階固有有頻率的的改變情情況⒊綜合問題題例3.圖示空間間框架結(jié)結(jié)構(gòu)，用用直徑為為10mm的鋼桿焊焊接而成成，其有有限元模模型劃分分為52個單元，，51個節(jié)點。。表3－1給出了該該結(jié)構(gòu)的的前六階階固有頻頻率。表3－1空間框架基本結(jié)構(gòu)固有頻率值（單位：1/S）通過對結(jié)結(jié)構(gòu)進行行固有頻頻率的靈靈敏度分分析，確確定在節(jié)節(jié)點12、13、45和46各加5克的質(zhì)量量、在節(jié)節(jié)點47和49沿z方向各加加剛度為為、在節(jié)節(jié)點12與13沿z方向各加加剛度為為和在節(jié)節(jié)點37與38沿方向各各加剛度度為的彈彈簧、在在四對節(jié)節(jié)點間（（[7,9],[8,9],[28,35],[28,36]）各加面面積為(直徑約為為0.6mm)的桿、修修改４個個梁單元元（單元元1、5、9和12從直徑1cm改為1.1cm）。表3－2給出了修修改后的的結(jié)構(gòu)用用結(jié)構(gòu)動動力修改改程序預(yù)預(yù)測及SAP5P重分析計計算的結(jié)結(jié)果。表3－2修改后的結(jié)構(gòu)固有頻率及改變量（單位：1/S）

⒋空間框架架結(jié)構(gòu)的的有限元元分析計計算與實實測分析析對比例4.現(xiàn)在對例例3所示的空空間框架架結(jié)構(gòu)進進行有限限元分析析計算和和實測分分析對比比，表4-1給出了用用有限元元分析程程序SAP5p計算和用用HP3562實測的該該結(jié)構(gòu)的的前幾階階固有頻頻率，表表4-2給出了點點加質(zhì)量量和兩點點間加桿桿的固有有頻率靈靈敏度值值。表4-1基本結(jié)構(gòu)固有頻率值（單位：Hz）

表4-2點加質(zhì)質(zhì)量和和兩點點間加加桿的的固有有頻率率靈敏敏度分分析結(jié)結(jié)果現(xiàn)擬使使第三三階和和第四四階固固有頻頻率降降低，，而一一、二二兩階階基本本不變變，其其余各各階不不受限限制，，根據(jù)據(jù)分析析，在在節(jié)點點10、11、12、13和18、19、20、21加集中中質(zhì)量量效果果最好好。表表4-3給出了了在原原結(jié)構(gòu)構(gòu)的八八個節(jié)節(jié)點上上共加加質(zhì)量量40.8克(在節(jié)點點10、11各加5.2克，12、13各加3.6克，18、19、20、21各加5.8克)，用靈靈敏度度分析析方法法預(yù)測測、SAP5P計算及及HP3562測試的的結(jié)果果。表4-3點加集中質(zhì)量修改后的結(jié)構(gòu)固有頻率及改變量（單位：Hz）

若擬使使第三三階固固有頻頻率提提高，，而一一、二二兩階階基本本不變變，其其余各各階不不受限限制，，根據(jù)據(jù)分析析，在在節(jié)點點(7-10)之間和和(8-11)之間加加桿效效果最最好。。通過過計算算，只只需在在節(jié)點點(7-10)之間和和(