十、光學(xué)諧振腔的衍射理論

激光原理與技術(shù)

LaserPrinciple&Technology物理與光電工程學(xué)院顧芳3.1光學(xué)諧振腔的衍射理論NanjingUniversityofInformationScience&Technology物理學(xué)專業(yè)方向選修課

前兩章對(duì)激光產(chǎn)生的工作原理進(jìn)行了研究，對(duì)于光的受激輻射放大過程和條件進(jìn)行了詳細(xì)的討論。

激光器作為光源與普通光源的主要區(qū)別之一是有諧振腔，諧振腔倍增了激光增益介質(zhì)的受激放大作用長(zhǎng)度，從而形成光的高亮度，提高了光源發(fā)光的方向性。實(shí)際上激光的第三個(gè)重要特點(diǎn)——高度的相干性也是由諧振腔決定的。由于激光器諧振腔中分立的振蕩模式的存在，大大提高了輸出激光的單色性，改變了輸出激光的光束結(jié)構(gòu)及其傳輸特性。

本章將研究激光輸出的高斯光束傳播特性（腔外的光束強(qiáng)度與相位的大小和分布），激光器的輸出功率以及激光器輸出的線寬極限。引言

輸出光強(qiáng)穩(wěn)定3.1

光學(xué)諧振腔的衍射理論3.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的的光場(chǎng)分布3.3高斯光束的傳播特性3.4穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性3.5激光器的輸出功率3.6激光器的線寬極限（不作要求）3.7激光光束質(zhì)量的品質(zhì)因子（不作要求）本章內(nèi)容3.1光學(xué)諧振腔的衍射理論3.1.1菲涅耳——基爾霍夫衍射公式3.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程

1.自再現(xiàn)模的概念

2.自再現(xiàn)模積分方程

3.積分方程解的物理意義3.1.3激光諧振腔的諧振頻率和激光縱模

1.諧振條件、駐波和激光縱模

2.縱模頻率間隔在開腔中存在怎樣的電磁場(chǎng)本征態(tài)（即：不隨時(shí)間變化的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布）?如何求場(chǎng)分布?穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布的形成可看成光在兩鏡面間往返傳播的結(jié)果!方法一個(gè)鏡面上的光場(chǎng)另一個(gè)鏡面上的光場(chǎng)求解衍射積分方程3.1.1菲涅爾-基爾霍夫衍射公式一.惠更斯-菲涅爾原理的基本內(nèi)容概括為：

1)

波傳到的任意點(diǎn)都是子波的波源

2)波面上各點(diǎn)均是相干子波源，各子波在空間進(jìn)行相干疊加作用：

惠－菲原理提供了用干涉解釋衍射的基礎(chǔ)，菲涅耳發(fā)展了惠更斯原理，從而深入認(rèn)識(shí)了衍射現(xiàn)象。基爾霍夫得到了惠－菲原理的數(shù)學(xué)形式菲涅爾-基爾霍夫衍射公式是研究光衍射現(xiàn)象的基礎(chǔ)，也是開腔模式問題的理論基礎(chǔ)。

r——原點(diǎn)P'與觀察點(diǎn)P之間的距離q——原點(diǎn)P‘處的法線與的夾角

k——光波矢，，為光波波長(zhǎng)ds'——原點(diǎn)P'處的面元二、惠更斯－菲涅耳原理的數(shù)學(xué)形式設(shè)波陣面上任一源點(diǎn)P'的光場(chǎng)復(fù)振幅為u'(P')，則空間任一觀察點(diǎn)P的光場(chǎng)復(fù)振幅u(P)由下列積分式計(jì)算：功能：求出光波場(chǎng)在空間任意位置處的振幅和相位分布。(3-1)3.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程一、開腔模的一般物理概念1、理想開腔模型諧振腔只靠?jī)啥朔瓷溏R來實(shí)現(xiàn)光束在腔內(nèi)的往返傳播。2、決定腔模形成的損耗：

主要是腔鏡邊緣的衍射損耗（決定衍射效應(yīng)的孔徑由鏡的邊緣決定），其它的損耗只使橫截面上各點(diǎn)的場(chǎng)按照相同比例衰減，各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后！二、自再現(xiàn)模概念1、模:光腔中可能存在的電磁場(chǎng)空間分布狀態(tài)2、穩(wěn)態(tài)場(chǎng)的形成——模的“自再現(xiàn)”1960年FoxAG和TingyeLi采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代法數(shù)值計(jì)算證明，當(dāng)反射次數(shù)足夠多時(shí)（大約三百多次反射），光束的橫向場(chǎng)分布便趨于穩(wěn)定，不再受衍射的影響。場(chǎng)分布在腔內(nèi)往返傳播一次后能夠“再現(xiàn)”出來，反射只改變光的強(qiáng)度大小，而不改變光的強(qiáng)度分布。這種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)經(jīng)一次往返后，唯一的變化是，鏡面上各點(diǎn)的場(chǎng)振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后。當(dāng)兩個(gè)鏡面完全相同時(shí)(對(duì)稱開腔)，這種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布應(yīng)在腔內(nèi)經(jīng)單程渡越（傳播）后即實(shí)現(xiàn)“再現(xiàn)”。這個(gè)穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是激光諧振腔的自再現(xiàn)模。橫向場(chǎng)振幅分布和相位分布都均勻的平面波入射，經(jīng)過多次孔闌的衍射影響后，二者都變得不再均勻，成為相對(duì)場(chǎng)振幅和相對(duì)相位分布都不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布。理想開腔孔闌傳輸線自再現(xiàn)模的形成三、自再現(xiàn)物理過程的形象化描述和定性解釋——孔闌傳輸四、自再現(xiàn)模積分方程利用（3-1）式由鏡面M’上的光場(chǎng)分布計(jì)算出M鏡上的場(chǎng)分布函數(shù)，即任意一個(gè)觀察點(diǎn)的光場(chǎng)強(qiáng)度。(3-1)假設(shè)uq(x',y')為經(jīng)過q次渡越后在某一鏡面上所形成的場(chǎng)分布，uq+1(x,y)表示光波經(jīng)過q+1次傳播后，到達(dá)另一鏡面所形成的光場(chǎng)分布，則uq+1和uq之間應(yīng)滿足如下的迭代關(guān)系：(3-2)(3-1)考慮對(duì)稱開腔的情況，按照自再現(xiàn)模的概念，除了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的常數(shù)因子以外，uq+1應(yīng)能夠?qū)q再現(xiàn)出來，兩者之間應(yīng)有關(guān)系：(3-3)s是與坐標(biāo)(x,y)及(x‘,y’)無關(guān)的復(fù)常數(shù)。

上式代入（3-2）可得：(3-4)去掉q，得自再現(xiàn)模積分方程L——腔長(zhǎng)

R——反射鏡曲率半徑

a——反射鏡的線度①∵q

很小∴cosq=1

，1+cosq=2②分母中ρ≈L(源點(diǎn)與觀察點(diǎn)間距離）,指數(shù)中的不可以將以上近似代入(3-5)，得到自再現(xiàn)模所滿足的積分方程

（不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)分布函數(shù)）因?yàn)樗宰鲀牲c(diǎn)近似處理：(3-5)umn和smn的下標(biāo)表示該方程存在一系列不連續(xù)的本征函數(shù)解與本征值解，這說明在某一給定開腔中，可以存在許多不同的自再現(xiàn)模。由于積分方程是二維的，故需要兩個(gè)模參數(shù)來區(qū)分這些不同的自再現(xiàn)模。(3-6)稱為積分方程的核其中(3-7)(3-5)(3-6)的解包括兩個(gè)方面:①本征函數(shù)u(x,y)是復(fù)函數(shù)，其模代表鏡面上光場(chǎng)振幅分布，幅角代表鏡面上光場(chǎng)的相位分布；②本征值σ也是個(gè)復(fù)數(shù)，其模反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時(shí)所引起的功率損耗，幅角代表單程渡越后相位滯后。五、積分方程解的物理意義1、本征函數(shù)umn和激光橫模

本征函數(shù)umn的模代表對(duì)稱開腔任一鏡面上的光場(chǎng)振幅分布,幅角則代表鏡面上光場(chǎng)的相位分布。它表示的是在激光諧振腔中存在的穩(wěn)定橫向場(chǎng)分布，通常叫做“橫?！?，m、n稱為橫模序數(shù)。圖3-3為各種橫模光斑(人眼觀察到的橫截面上的光強(qiáng)分布)。(橫模)標(biāo)記:

TEMmn，m,n

——橫模序數(shù)

m、n分別代表在截面的x、y軸方向出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)2、本征值smn和單程衍射損耗、單程相移本征值smn的模反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時(shí)所引起的功率損耗。損耗包括衍射損耗和幾何損耗，但主要是衍射損耗，稱為單程衍射損耗，用d表示。定義為本征值幅角與自再現(xiàn)模腔內(nèi)單程渡越后所引起的總相移有關(guān)。(3-9)(3-8)(3-3)自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義為自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中的單程總相移一般并不等于由腔長(zhǎng)L所決定的幾何相移kL，它們的關(guān)系為附加相移(3-10)(3-13)這說明單程附加相移與本征值smn的幅角有關(guān)，不同的橫模單程附加相移也不同。問題:

Ne原子的0.6328m譜線的頻率寬度為1.3109Hz為什么He-Ne激光器輸出激光的會(huì)小到10-15？3.1.3光學(xué)諧振腔諧振頻率和激光縱模一、諧振條件和駐波條件在腔內(nèi)要形成穩(wěn)定的振蕩，必須要滿足諧振條件。光波在腔鏡上反射時(shí)，入射波和反射波會(huì)發(fā)生干涉，而形成穩(wěn)定的振蕩，要求光波因干涉得到加強(qiáng)。相長(zhǎng)干涉條件（波從某一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)腔內(nèi)往返一周再回到原來位置時(shí)，應(yīng)與初始出發(fā)波同相），即光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應(yīng)等于2的整數(shù)倍。(1)光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應(yīng)等于2的整數(shù)倍，即只有某些特定頻率的光才能滿足諧振條件

每一個(gè)q值對(duì)應(yīng)有正反兩列沿軸線相反方向傳播的同頻率光波，這兩列光波疊加的結(jié)果，將在腔內(nèi)形成駐波。諧振腔形成的每一列駐波稱做是一個(gè)縱模。激光器中滿足諧振條件的不同縱模對(duì)應(yīng)著諧振腔內(nèi)各種不同的穩(wěn)定駐波場(chǎng)，具有不同的頻率。

q值定義為縱模序數(shù)，又等于駐波的波節(jié)數(shù)。

光波波長(zhǎng)是微米數(shù)量級(jí)，不難看出，一般的光學(xué)諧振腔內(nèi)產(chǎn)生的駐波波節(jié)數(shù)是一個(gè)很大的量，因此q是一個(gè)很大的數(shù)。(2)腔內(nèi)產(chǎn)生駐波的條件*(腔長(zhǎng)等于半波長(zhǎng)的整數(shù)倍)——諧振頻率其它波長(zhǎng)（頻率）都被相消干涉所淘汰，只有l(wèi)0q(n0q)才能產(chǎn)生振蕩，可通過改變L來選擇l0q(n0q)，故稱為選頻。從能量重新分布的角度來考慮，n0q的能量被加強(qiáng)了，其他頻率的被減弱了。二、縱模(縱向的穩(wěn)定場(chǎng)分布)1、激光的縱模（軸模）：由整數(shù)q所表征的腔內(nèi)縱向穩(wěn)定的場(chǎng)分布。2、縱模序數(shù)：整數(shù)q稱為縱模的序數(shù)每個(gè)q值對(duì)應(yīng)一個(gè)駐波(3-16)附加相移有關(guān)幾何相移有關(guān)q階縱模頻率可以表達(dá)為：基縱模的頻率可以表達(dá)為：(3-16)諧振腔內(nèi)q階縱模的頻率為基縱模頻率的整數(shù)倍（q倍）。三、縱模頻率間隔腔內(nèi)兩個(gè)相鄰縱模頻率之差稱為縱模的頻率間隔由(3-17)式可知，Dnq與q無關(guān)，對(duì)于一定的光腔為一常數(shù)，因而腔的縱模在頻率尺度上是等距離排列的，如圖，圖中每一個(gè)縱模均有一定的譜線寬度Dnc。頻率梳——縱模等距排列*(在頻率空間)(3-17)四、激光器中出現(xiàn)的縱模數(shù)五、選縱模1、確定可起振縱模數(shù)目q的因素∵*(只有)滿足的縱模nq才能起振。(1)熒光線寬*(自發(fā)發(fā)射線寬):DnF大則q大(2)腔長(zhǎng):

L越大則q越大∵

,*（L大則Dnq小，DnF內(nèi)可容更多個(gè)縱模）例：L=30cm，△vq=5×108Hz，其中只有三個(gè)頻率在原子0.6328mm線寬DnF=1.5×109Hz范圍內(nèi)，所以激光器輸出三個(gè)頻率，稱三縱模（多縱模激光器）。例:L=10cm的He-Ne激光器中滿足(3-16)的頻率很多，但形成激光的只有其中之一，稱為單模?！鱲q=1.5×109Hz普通光源發(fā)出線寬為的光，而在光學(xué)諧振腔中，只留下

中滿足諧振條件及閾值條件的那些頻率，其他的頻率都被諧振腔抑制掉了。這樣，由激光器輸出的激光的單色性就比普通光源的要好得多。

諧振腔的作用：

倍增了激光增益介質(zhì)的受激放大作用長(zhǎng)度，從而形成光的高亮度，提高光源發(fā)光的方向性，選擇被放大的受激輻射光的頻率，提高輸出激光的單色性。2、數(shù)值例:(1)CO2激光器:

l=10.6mm，

DvF≈108s-1，

L=1m，

Dvq=1.5×108s-1(2)氬離子激光器:l=0.5145mm

DvF≈6×108s-1

L=1m

Dvq=1.5×108s-1激光器輸出單模激光器多模輸出形成激光振蕩的條件：滿足閾值條件滿足諧振條件落在工作物質(zhì)原子熒光線寬范圍內(nèi)的頻率成分結(jié)論3.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布上節(jié)通過求解對(duì)稱開腔中的自再現(xiàn)模積分方程，求出本征值和本征函數(shù)，討論了自再現(xiàn)模積分方程解的物理意義,建立了激光模式的概念，給出了諧振頻率和頻率間隔的計(jì)算方法。(3-7)求解本征積分方程可得鏡面上場(chǎng)的振幅分布(光強(qiáng)分布）；鏡面上場(chǎng)的位相分布；單程渡越功率損耗；單程渡越相移；諧振頻率。菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式腔內(nèi)、外任一點(diǎn)的場(chǎng)鏡面上的場(chǎng)在應(yīng)用激光的時(shí)候，不但要了解鏡面的場(chǎng)分布，還必須了解輸出激光的具體場(chǎng)分布，從而控制激光的強(qiáng)度和位相。對(duì)不同結(jié)構(gòu)的腔只能采用不同的方法求解，本節(jié)以方形鏡面的對(duì)稱共焦腔為例，求解積分方程(3-7)(略去數(shù)學(xué)過程)，給出場(chǎng)函數(shù)的具體表示式。從而得到在共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布，并由此導(dǎo)出激光諧振腔內(nèi)外的空間場(chǎng)分布，得到輸出激光的強(qiáng)度和位相。3.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布3.2.1共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布

1.方形鏡面共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解2．鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征

3.2.2共焦腔中的行波場(chǎng)與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布對(duì)稱共焦腔（臨界穩(wěn)定腔）：腔中心是兩鏡公共焦點(diǎn)，且：R1=R2=R=L=2F，F(xiàn)是兩腔鏡的焦距。∵g1

=g2

=0

∴g1

g2

=0在對(duì)稱共焦腔內(nèi)，任意傍軸光線可往返多次而不橫向逸出，而且經(jīng)兩次往返后即可自行閉合。因此，對(duì)稱共焦腔是一種穩(wěn)定腔。B

對(duì)稱共焦腔AM1M2F3.2.1共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布一、方形鏡面對(duì)稱共焦腔設(shè)方鏡每邊長(zhǎng)為2a，共焦腔的腔長(zhǎng)為L(zhǎng)，光波波長(zhǎng)為l，并把x，y坐標(biāo)的原點(diǎn)選在鏡面中心，以(x，y)來表示鏡面上的任意點(diǎn)，求解(3-7)式方程.共焦腔：傍軸近似：1、本征函數(shù)的近似解：二、近軸情況下自再現(xiàn)模積分方程的解析解Hm(X)和Hn(Y)均為厄密多項(xiàng)式——高斯型函數(shù)——常系數(shù)鏡面上的場(chǎng)分布是厄米多項(xiàng)式與高斯函數(shù)的乘積——厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定了場(chǎng)的零點(diǎn)，高斯函數(shù)決定了場(chǎng)分布的外形輪廓。(3-7)(3-18)2、本征值的近似解：(3-19)幾個(gè)低階厄米多項(xiàng)式的值本征函數(shù)Umn描述共焦腔鏡面上場(chǎng)的振幅和相位分布。三、鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征1、厄米-高斯近似共焦腔方型鏡上場(chǎng)的振幅（強(qiáng)度）分布(3-18)令,則有圖(3-5)畫出了m=0，1，2和n=0，1的的變化曲線，同時(shí)還畫出了相應(yīng)的光振動(dòng)的鏡面光強(qiáng)分布m、n的數(shù)值正好分別等于光強(qiáng)在x，y方向上的節(jié)線(光強(qiáng)為零的線)數(shù)目，而且m、n的數(shù)值越大，光場(chǎng)也越向外擴(kuò)展。除了基橫模以外的各種高階模的強(qiáng)度分布都在光斑中呈現(xiàn)出至少一條光強(qiáng)極小的節(jié)線，因而光強(qiáng)分布十分不均勻，這就大大限制了高階模的應(yīng)用范圍。三、鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征①基模:?。?-18）式中

m=n=0，得到共焦腔方型鏡上基模TEM00場(chǎng)的分布可見，基模在鏡面上的分布是高斯型的，模的振幅從鏡中心（x=y=0）向邊緣平滑地降落。在離中心的距離為

處場(chǎng)的振幅降落為中心處的1/e。激光模式的符號(hào)：TEMmnq，TEM00是基橫模。

定義基模光斑半徑為:基模振幅最大值的1/e處基模光束的能量集中在光斑有效截面圓內(nèi)，上式表明，共焦腔基模在鏡面上的光斑半徑與鏡的橫向尺寸無關(guān)，只與腔長(zhǎng)有關(guān)，這是共焦腔的主要特征?；５恼穹植?光斑半徑的數(shù)值例：

L=1m,λ=10.6mm,共焦腔的CO2激光器w0s≈1.84mmL=30cm,l=0.6328mm,共焦腔的He-Ne激光器

w0s≈0.25mm

可見，共焦腔的光斑半徑非常小。由

可知，增大鏡面寬度a，只減少衍射損耗，對(duì)光斑尺寸并無影響.

②高階橫模鏡面上場(chǎng)的振幅和強(qiáng)度分布當(dāng)m、n取不同時(shí)為零的一系列整數(shù)時(shí),由上式可得出鏡面上各高階橫模的振幅分布。若得利用基模光斑半徑，本征函數(shù)的解可以寫為：(3-18)若得(3-18)若得(3-18)若得(3-18)若得(3-18)若得方向各出現(xiàn)三條暗線在x

時(shí)和當(dāng)uxxs0

23

0

300=±==wyxxxCusss)exp()212216(202203303030+--=www(3-18)結(jié)論：TEMmn模在鏡面上振幅分布的特點(diǎn)取決于厄米多項(xiàng)式與高斯函數(shù)的乘積。厄米多項(xiàng)式的零點(diǎn)決定場(chǎng)的節(jié)線，厄米多項(xiàng)式的正負(fù)交替的變化與高斯函數(shù)隨著x、y的增大而單調(diào)下降的特征決定著場(chǎng)分布的外形輪廓。(3-18)高階模的光斑尺寸與基模的關(guān)系可見，階次越高,光斑半徑越大,光強(qiáng)分布越偏離中心。2、鏡面上場(chǎng)的相位分布：共焦腔反射鏡面本身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面。相位分布由自在現(xiàn)模umn(x,y)的幅角決定(3-18)由于為實(shí)函數(shù)，說明鏡面上各點(diǎn)的光場(chǎng)相位相同，共焦腔反射鏡面本身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面。),(yxumn3、單程衍射損耗：一般忽略不計(jì)，但是在討論激光器單橫模的選取時(shí)必須考慮單程衍射損耗4、單程相移與諧振頻率：而當(dāng)q一定時(shí)，若m、n改變，則橫模的頻率也將發(fā)生變化。同一橫模、兩個(gè)相鄰縱模的頻率間隔仍為(3-26)同一縱模兩個(gè)相鄰的橫模之間的頻率間隔則為(3-27)(3-25)(3-19)(3-12)共焦腔的頻率間隔：由以上兩式可得共焦腔的振蕩頻率圖普通激光器的輸出都是多模的

從上式可以看見，共焦腔在頻率上是高度簡(jiǎn)并的，相同的所有模式都具有相同的諧振頻率。如：TEMmnq，TEMm-1,n+1,q,TEMm,n-2,q+1，TEMm-2,n,q+1，

TEMm+1,n-3,q+1等都