2022全國(guó)中考沖刺解析120考點(diǎn)匯編☆菱形的性質(zhì)與判定

(2022年1月最新最細(xì)）2022全國(guó)中考真題解析120考點(diǎn)匯編☆菱形的性質(zhì)與判定一、選擇題1.（2022江蘇無(wú)錫，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（） A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角互補(bǔ)考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題：推理填空題。分析：根據(jù)菱形對(duì)角線垂直平分的性質(zhì)及矩形對(duì)交線相等平分的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后的答案．解答：解：A、菱形對(duì)角線相互垂直，而矩形的對(duì)角線則不垂直；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、菱形和矩形的對(duì)角線都相等；故本選項(xiàng)正確；C、菱形和矩形的對(duì)角線都互相平分；故本選項(xiàng)正確；D、菱形對(duì)角相等，但不互補(bǔ)；故本選項(xiàng)正確；故選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了學(xué)生對(duì)菱形及矩形的性質(zhì)的理解及運(yùn)用．菱形和矩形都具有平行四邊形的性質(zhì)，但是菱形的特性是：對(duì)角線互相垂直、平分，四條邊都相等．2.（2022江蘇淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cmA.5cmB.15cmC.20考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：根據(jù)菱形的四條邊長(zhǎng)都相等的性質(zhì)、菱形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4解答解答：解：∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，∴菱形的周長(zhǎng)=AB×4=20cm；故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)．菱形的四條邊都相等，菱形的對(duì)角線互相垂直平分．3.（2022云南保山，5，3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是___________．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。分析：由四邊形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AD，又由∠BAD=60°，BD=4，即可證得△ABD是等邊三角形，即可求得菱形的邊長(zhǎng)，繼而求得菱形ABCD的周長(zhǎng)．解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=AD=BD=4，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是：4×4=16．故答案為：16．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)與等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意菱形的四條邊都相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4.（2022?西寧）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)菱形，如圖，能得到四邊形ABCD是菱形的依據(jù)是（） A、一組臨邊相等的四邊形是菱形 B、四邊相等的四邊形是菱形 C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形考點(diǎn)：菱形的判定；作圖—復(fù)雜作圖。專(zhuān)題：推理填空題。分析：關(guān)鍵菱形的判定定理（有四邊都相等的四邊形是菱形）判斷即可．解答：解：由圖形做法可知：AD=AB=DC=BC，∴四邊形ABCD是菱形，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)作圖﹣復(fù)雜作圖，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．5（2022?青海）已知菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)度是6和8，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是（） A、20 B、14 C、28 D、24考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：由菱形對(duì)角線的性質(zhì)，相互垂直平分即可得出菱形的邊長(zhǎng)，菱形四邊相等即可得出周長(zhǎng)．解答：解：根據(jù)題意，設(shè)對(duì)角線AC、BD相交于O，則由菱形對(duì)角線性質(zhì)知，AO=QUOTEAC=3，BO=QUOTEBD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周長(zhǎng)L=4AB=20，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)，難度適中，要熟練掌握菱形對(duì)角線的性質(zhì)，及勾股定理的靈活運(yùn)用．6（2022，臺(tái)灣省，21,5分）如圖為菱形ABCD與△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，則DE的長(zhǎng)度為何？（） A、8 B、9 C、11 D、12考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理。分析：首先連接AC，設(shè)AC交BD于O點(diǎn)，由四邊形ABCD為菱形，利用菱形對(duì)角線互相垂直且平分的性質(zhì)及勾股定理，即可求得DE的長(zhǎng)度．解答：解：連接AC，設(shè)AC交BD于O點(diǎn)，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，且BO=DO=QUOTE=8，在△AOD中，∵∠AOD=90°，∴AO=QUOTE=QUOTE=15，在△AOE中，∵∠AOE=90°，∴OE=QUOTE=QUOTE=20，又OD=8，∴DE=OE﹣OD=20﹣8=12．故選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理與菱形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7.（2022，臺(tái)灣省，32,5分）如圖為菱形ABCD與正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD與GH相交于I點(diǎn)，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，則梯形HEDI的面積為何？（） A、6QUOTE B、8QUOTE C、10﹣2QUOTE D、10+2QUOTE考點(diǎn)：梯形；菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：利用菱形和正方形的性質(zhì)分別求得HE和ID、DE的長(zhǎng)，利用梯形的面積計(jì)算方法算得梯形的面積即可．解答：解：四邊形ABCD為菱形且∠A=60°?∠ADE=180°﹣60°=120°，又AD∥HE?∠DEH=180°﹣120°=60°，作DM⊥HE于M點(diǎn)，則△DEM為30°﹣60°﹣90°的三角形，又DE=4?EM=2，DM=2QUOTE，且四邊形EFGH為正方形?∠H=∠I=90°，即四邊形IDMH為矩形?ID=HM=5﹣2=3，梯形HEDI面積=QUOTE=8QUOTE．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確的利用菱形和正方形的性質(zhì)計(jì)算梯形的底和高．8.（2022山東濟(jì)南，7，3分）如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)是16，∠A=60°，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C．4 D．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。分析：由菱形ABCD的周長(zhǎng)是16，即可求得AB=AD=4，又由∠A=60°，即可證得△ABD是等邊三角形，則可求得對(duì)角線BD的長(zhǎng)度．解答：解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)是16，∴AB=AD=CD=BC=4，∵∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=AD=BD=4．∴對(duì)角線BD的長(zhǎng)度為4．故選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)與等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9.（2022?萊蕪）如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，且AB=CD．下列結(jié)論：①EG⊥FH，②四邊形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=QUOTE（BC﹣AD），⑤四邊形EFGH是菱形．其中正確的個(gè)數(shù)是（） A、1 B、2考點(diǎn)：三角形中位線定理；菱形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：推理填空題。分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與AB=CD可得四邊形EFGH是菱形，然后根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且平分每一組對(duì)角的性質(zhì)對(duì)各小題進(jìn)行判斷．解答：解：∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，∴EF=QUOTECD，F(xiàn)G=QUOTEAB，GH=QUOTECD，HE=QUOTEAB，∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFH是菱形，∴①EG⊥FH，正確；②四邊形EFGH是矩形，錯(cuò)誤；③HF平分∠EHG，正確；④EG=QUOTE（BC﹣AD），只有AD∥BC是才可以成立，而本題AD與BC很顯然不平行，故本小題錯(cuò)誤；⑤四邊形EFGH是菱形，正確．綜上所述，①③⑤共3個(gè)正確．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線定理與菱形的判定與菱形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中位線定理與AB=CD判定四邊形EFGH是菱形是解答本題的關(guān)鍵．10.（2022廣東佛山，6，3分）依次連接菱形的各邊中點(diǎn)，得到的四邊形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形考點(diǎn)矩形的判定；三角形中位線定理；菱形的性質(zhì)。分析先連接AC、BD，由于E、H是AB、AD中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易證四邊形EFGH是平行四邊形，而四邊形ABCD是菱形，利用其性質(zhì)有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用EF∥AC以及EH∥BD，兩次利用平行線的性質(zhì)可得∠HEF=∠BME=90°，即可得證．解答證明：如右圖所示，四邊形ABCD是菱形，順次連接個(gè)邊中點(diǎn)E、F、G、H，連接AC、BD，∵E、H是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，同理有FG∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，又∵EF∥AC，∴∠BME=90，∵EH∥BD，∴∠HEF=∠BME=90°，∴四邊形EFGH是矩形．故選A．點(diǎn)評(píng)本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、平行線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明四邊形EFGH是平行四邊形以及∠HEF=∠BME=90°．11.（2022廣東省茂名，5，3分）如圖，兩條筆直的公路l1、l2相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村莊C到公路l1的距離為4公里，則村莊C到公路l2的距離是（） A、3公里 B、4公里 C、5公里 D、6公里考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題。分析：根據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，作出輔助線，即可證明．解答：解：如圖，連接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；∵AB=BC=CD=DA=5公里，∴四邊形ABCD是菱形，∴∠CAE=∠CAF，∴CE=CF=4公里．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查角平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到四邊形ABCD是菱形：菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，是解題的關(guān)鍵．12.（2022湖南益陽(yáng),7,4分）如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時(shí)，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于QUOTEAB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于C．D，則直線CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是（） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形考點(diǎn)：菱形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)．專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題．分析：根據(jù)垂直平分線的畫(huà)法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形一定是菱形．解答：解：∵分別以A和B為圓心，大于QUOTEAB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于C．D，∴AC=AD=BD=BC，∴四邊形ADBC一定是菱形，故選：B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及菱形的判定，得出四邊形四邊關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13.（2022?包頭，9，3分）已知菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠BAD=120°，AC=4，則該菱形的面積是（） A、16QUOTE B、16 C、8QUOTE D、8考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。分析：首先由四邊形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA=QUOTEAC，，∠BAC=QUOTE∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半與勾股定理即可求得OB的長(zhǎng)，然后由菱形的面積等于其對(duì)角線積的一半，即可求得該菱形的面積．解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=QUOTEAC=QUOTE×4=2，∠BAC=QUOTE∠BAD=QUOTE×120°=60°，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，OB=2QUOTE，∴BD=2OB=4QUOTE，∴該菱形的面積是：QUOTEAB?BD=QUOTE×4×4QUOTE=8QUOTE．故選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用，注意菱形的面積等于其對(duì)角線積的一半．14.(2022襄陽(yáng)，10，3分)若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是() A．菱形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形C．矩形 D．對(duì)角線相等的四邊形考點(diǎn)：三角形中位線定理；平行四邊形的判定；菱形的判定。專(zhuān)題：證明題。分析：根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥FG，EF＝FG，EF＝QUOTEBD，要是四邊形為菱形，得出EF＝EH，即可得到答案．解答：解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，DC，CB，AB的中點(diǎn)，∴EH＝QUOTEAC，EH∥AC，F(xiàn)G＝QUOTEAC，F(xiàn)G∥AC，EF＝QUOTEBD，∴EH∥FG，EF＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵平行四邊形EFGH是菱形，∴EF＝EH，即對(duì)角線相等的四邊形，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)菱形的判定，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．15.（2022湖北孝感，11，3分）如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸上，將菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至OA′B′C′的位置，若OB=2QUOTE，∠C=120°，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（） A．(3，)QUOTE B．(3，－)QUOTE QUOTE C．QUOTE(，)QUOTE D．QUOTE(，－)QUOTE QUOTE考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；菱形的性質(zhì)。分析：首先根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求得∠AOB的度數(shù)，又由將菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度數(shù)，然后在Rt△B′OF中，利用三角函數(shù)即可求得OF與B′F的長(zhǎng)，則可得點(diǎn)B′的坐標(biāo)．解答：解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于E，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥OA于F，∴∠BE0=B′FO=90°，∵四邊形OABC是菱形，∴OA∥BC，∠AOB=QUOTE∠AOC，∴∠AOC+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=30°，∵菱形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至OA′B′C′的位置，∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2QUOTE，∴∠B′OF=45°，在Rt△B′OF中，OF=OB′sin45°=2QUOTE×QUOTE=QUOTE，∴B′F=QUOTE，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為：（QUOTE，﹣QUOTE）．故選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16.（2022湖南衡陽(yáng)，8，3分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形MNPO的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，4），則頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別是（） A、M（5，0），N（8，4） B、M（4，0），N（8，4） C、M（5，0），N（7，4） D、M（4，0），N（7，4）考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)。專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合。分析：此題可過(guò)P作PE⊥OM，根據(jù)勾股定理求出OP的長(zhǎng)度，則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)便不難求出．解答：解：過(guò)P作PE⊥OM，∵頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，4），∴OE=3，PE=4，∴OP==5，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，0），∵5+3=8，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8，4）．故選A．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)和點(diǎn)P的坐標(biāo)，作出輔助線是解決本題的突破口．17.（2022湖南長(zhǎng)沙，16，3分）菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6cm和8cm，則菱形的周長(zhǎng)是__________cm．考點(diǎn)：菱形勾股定理專(zhuān)題：四邊形分析：由菱形的性質(zhì)可知：菱形的兩條對(duì)角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，且該三角形的兩條直角邊是兩條對(duì)角線長(zhǎng)的一半，斜邊為菱形的邊長(zhǎng)．故菱形的邊長(zhǎng)為＝5cm，因此該菱形的周長(zhǎng)為20cm．解答：20cm點(diǎn)評(píng)：本題主要考查菱形的性質(zhì)，由對(duì)角線的長(zhǎng)去求菱形的周長(zhǎng)，只要求出菱形的邊長(zhǎng)即可．為此，將菱形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中已知兩直角邊求斜邊的問(wèn)題來(lái)解決．這種化歸的數(shù)學(xué)思想，要引起重視．18.（2022清遠(yuǎn)，10，3分）如圖．若要使平行四邊形ABCD成為菱形．則需要添加的條件是（） ＝CD ＝BC ＝BC D.AC＝BD考點(diǎn)：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì).專(zhuān)題：證明題.分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形．∴可添加：AB＝AD或AC⊥BD．解答：解：因?yàn)橐唤M鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，那么可添加的條件是：AB=BC．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的判定，答案不唯一．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．19.（2022梧州，4，3分）若一個(gè)菱形的一條邊長(zhǎng)為4cm，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為（） A、20cm B、18cm C、16cm D、12cm考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：根據(jù)菱形的四條邊都相等，現(xiàn)在已知其一條邊長(zhǎng)為4cm，即可求出菱形的周長(zhǎng)．解答：解：∵菱形的四條邊都相等，∴其邊長(zhǎng)都為4cm，∴菱形的周長(zhǎng)=4×4cm=16cm．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單，掌握菱形的四條邊相等是解題關(guān)鍵．20.（2022浙江嘉興，10，3分）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無(wú)縫隙）．若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm A．48cm B．36cmC．24cm 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：根據(jù)①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm解答：解：由題意得：⑤的面積=四邊形ABCD面積（①+②+③+④）=4cm2，∴EFGH的面積=14+4=18cm2又∵∠F=30°，∴菱形的邊長(zhǎng)為6cm而①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)及平行四邊形的知識(shí)，難度較大，關(guān)鍵是求出菱形的面積，解答本題需要用到平行四邊形的對(duì)角線平分平行四邊形的面積．二、填空題1.（2022江蘇南京，12，2分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2cm，E是AB的中點(diǎn)，且DE丄AB，則菱形的面積為QUOTEcm2．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理。分析：因?yàn)镈E丄AB，E是AB的中點(diǎn)，所以AE=1cm，根據(jù)勾股定理可求出BD解答：解：∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=1，∵DE丄AB，∴DE=QUOTE=QUOTE．∴菱形的面積為：2×QUOTE=2QUOTE．故答案為：2QUOTEQUOTE．點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)，四邊都相等，菱形面積的計(jì)算公式以及勾股定理的運(yùn)用等．2.（2022四川涼山，17，4分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE＝3，連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)M，則的值是.考點(diǎn)：；．專(zhuān)題：；．分析：首先根據(jù)題意作圖，注意分為E在線段AD上與E在AD的延長(zhǎng)線上，然后由菱形的性質(zhì)可得AD∥BC，則可證得△MAE∽△MCB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得答案．解答：解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，如圖1：當(dāng)E在線段AD上時(shí)，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，∴△MAE∽△MCB，∴；

如圖2，當(dāng)E在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11，

∴△MAE∽△MCB，∴．

∴的值是或．

故答案為：或．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是注意此題分為E在線段AD上與E在AD的延長(zhǎng)線上兩種情況，小心不要漏解．3.（2022重慶綦江，14，4分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC＝8，BD＝6，過(guò)點(diǎn)O作OH丄AB，垂足為H，則點(diǎn)O到邊AB的距離考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；點(diǎn)到直線的距離；勾股定理。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，菱形的四邊相等，根據(jù)面積相等，可求出OH的長(zhǎng)．解答：解：∵AC＝8，BD＝6，∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝5．QUOTEAO?BO＝AB?OH，OH＝QUOTE．．故答案為：QUOTE．點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的基本性質(zhì)，菱形的對(duì)角線互相垂直平分，菱形的四邊相等，根據(jù)面積相等，可求出AB邊上的高OH．4.（2022?貴港）如圖所示，將兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放，重疊部分是一個(gè)四邊形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，則四邊形ABCD的面積等于18QUOTEcm2．考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)。專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合。分析：易得該四邊形是一個(gè)菱形，作出高，求出高，即可求得相應(yīng)的面積．解答：解：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵紙條等寬，∴AB=BC，∴該四邊形是菱形，作AE⊥BC于E．∴BE=3cm，AE=3QUOTEcm．∴四邊形ABCD的面積=6×3QUOTE=18QUOTEcm2，故答案為18QUOTE．點(diǎn)評(píng)：考查菱形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用；判斷出圖形的形狀是解決本題的關(guān)鍵．5.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE＝3，連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)M，則的值是.考點(diǎn)：；．專(zhuān)題：；．分析：首先根據(jù)題意作圖，注意分為E在線段AD上與E在AD的延長(zhǎng)線上，然后由菱形的性質(zhì)可得AD∥BC，則可證得△MAE∽△MCB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得答案．解答：解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，如圖1：當(dāng)E在線段AD上時(shí)，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，∴△MAE∽△MCB，∴；

如圖2，當(dāng)E在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11，

∴△MAE∽△MCB，∴．

∴的值是或．

故答案為：或．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是注意此題分為E在線段AD上與E在AD的延長(zhǎng)線上兩種情況，小心不要漏解．6（2022四川雅安，17,3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)。分析：首先由四邊形ABCD是菱形，可得OC=OA=AB=BC，BC∥OA，然后過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于D，設(shè)AB=x，則OA=x，AD=8﹣x，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)，則可得C點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于D，∵四邊形ABCD是菱形，∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，設(shè)AB=x，則OA=x，AD=8﹣x，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，即x2=（8﹣x）2+16，解得：x=5，∴BC=5，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）．故答案為：（3，4）．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7.（2022河北，14，3分）如圖，已知菱形ABCD，其頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－4和1，則BC＝．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；數(shù)軸。分析：根據(jù)數(shù)軸上A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－4和1，得出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)BC＝AB即可得出答案．解答：解：∵菱形ABCD，其頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－4和1，則AB＝1－（－4）＝5，∴AB＝BC＝5．故答案為：5．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及數(shù)軸上點(diǎn)的距離求法，求出AB的長(zhǎng)度以及利用菱形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8.（2022福建龍巖，15，3分）如圖，菱形ABCD周長(zhǎng)為8cm．∠BAD=60°，則AC=cm．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；解直角三角形.分析：根據(jù)已知條件和菱形的性質(zhì)，可推出△AOB為直角三角形，AB=2，∠OAB=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)推出OA的長(zhǎng)度，即可求得AC的長(zhǎng)度解答：解：∵菱形ABCD周長(zhǎng)為8cm．∠BAD=60°∴△AOB為直角三角形，AB=2，∠OAB=30°，OA=OC，∴OA=QUOTE∴AC=2QUOTE故答案為2QUOTE．點(diǎn)評(píng)：本題主要考察菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)有關(guān)性質(zhì)推出邊和相關(guān)角的度數(shù)，解直角三角形．9.（2022福建省三明市，14,4分）如圖，?ABCD中，對(duì)角形AC，BD相交于點(diǎn)O，添加一個(gè)條件，能使?ABCD成為菱形．你添加的條件是（不再添加輔助線和字母）考點(diǎn)：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。專(zhuān)題：開(kāi)放型。分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形．所以可添加AB=BC．解答：解：AB=BC或AC⊥BD等．故答案為：AB=BC或AC⊥BD等．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定，熟練地掌握菱形的判定定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10.（2022甘肅蘭州，20，4分）如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去.已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為.…………考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì).分析：易得第二個(gè)矩形的面積為，第三個(gè)矩形的面積為，依次類(lèi)推，第n個(gè)矩形的面積為．解答：解：已知第一個(gè)矩形的面積為1；第二個(gè)矩形的面積為原來(lái)的（QUOTE）2×2﹣2=QUOTE；第三個(gè)矩形的面積是（QUOTE）2×3﹣2=QUOTE；…故第n個(gè)矩形的面積為：（QUOTE）2n﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題是一道找規(guī)律的題目，這類(lèi)題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．11.（2022麗江市中考，5,3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是16．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。分析：由四邊形ABCD是菱形，即可得AB=BC=CD=AD，又由∠BAD=60°，BD=4，即可證得△ABD是等邊三角形，即可求得菱形的邊長(zhǎng)，繼而求得菱形ABCD的周長(zhǎng)．解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=AD=BD=4，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)是：4×4=16．故答案為：16．點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)與等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意菱形的四條邊都相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、解答題1.（2022?泰州，24，10分）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F．（1）△ABC與△FOA相似嗎？為什么？（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題；綜合題。分析：（1）根據(jù)角平分線的定義，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根據(jù)垂直的定義，矩形的性質(zhì)可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可證△ABC與△FOA相似；（2）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判斷．解答：解：（1）∵直線l垂直平分線段AC，∴∠AFO=∠CFO，∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，∴∠AFO=∠CAB，∵∠AOF=∠CBA=90°，∴△ABC∽△FOA．（2）∵直線l垂直平分線段AC，∴AF=CF，可證△AOF≌△AOE，∴AE=CF，F(xiàn)O=EO．∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴四邊形AFCE是菱形．點(diǎn)評(píng)：考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．2.（2022江蘇鎮(zhèn)江常州，23，7分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E為AB中點(diǎn)，求證：四邊形BCDE是菱形．考點(diǎn)：菱形的判定．專(zhuān)題：證明題．分析：由題意易得DE=BE，再證四邊形BCDE是平行四邊形，即證四邊形BCDE是菱形．解答：證明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中點(diǎn)，∴BE=QUOTEAB，DE=QUOTEAB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD（SAS），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四邊相等的四邊形是菱形）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查菱形的判定，綜合利用了直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．3.（2022江蘇鎮(zhèn)江常州，25，6分）已知：如圖1，圖形①滿足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．圖形②與圖形①恰好拼成一個(gè)菱形（如圖2）．記AB的長(zhǎng)度為a，BM的長(zhǎng)度為b．（1）圖形①中∠B=72°，圖形②中∠E=36°；（2）小明有兩種紙片各若干張，其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同，這種紙片稱(chēng)為“風(fēng)箏一號(hào)”；另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同，這種紙片稱(chēng)為“飛鏢一號(hào)”．①小明僅用“風(fēng)箏一號(hào)”紙片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正十邊形，需要這種紙片5張；②小明若用若干張“風(fēng)箏一號(hào)”紙片和“飛鏢一號(hào)”紙片拼成一個(gè)“大風(fēng)箏”（如圖3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出拼接線并保留畫(huà)圖痕跡．（本題中均為無(wú)重疊．無(wú)縫隙拼接）考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；正多邊形和圓；作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．專(zhuān)題：操作型．分析：（1）連接AM，根據(jù)三角形ADM和三角形ABM的三邊對(duì)應(yīng)相等，得到兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到角B和角D相等，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，由角DAB和角DMB的度數(shù)，即可求出角B的度數(shù)；根據(jù)菱形的對(duì)邊平行，得到AB與DC平行，得到同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即角A加角ADB加角MDC等于180°，由角A和角ADB的度數(shù)即可求出角FEC的度數(shù)；（2）①由題意可知，“風(fēng)箏一號(hào)”紙片中的點(diǎn)A與正十邊形的中心重合，由角DAB為72°，根據(jù)周角為360°，利用360°除以72°即可得到需要“風(fēng)箏一號(hào)”紙片的張數(shù)；②以P為圓心，a長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與PI和PJ分別交于兩點(diǎn)，然后以兩交點(diǎn)為圓心，以b長(zhǎng)為半徑在角IPJ的內(nèi)部畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接這點(diǎn)與點(diǎn)Q，畫(huà)出滿足題意的拼接線．解答：解：（1）連接AM，如圖所示：∵AD=AB，DM=BM，AM為公共邊，∴△ADM≌△ABM，∴∠D=∠B，又因?yàn)樗倪呅蜛BMD的內(nèi)角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，∴∠B=QUOTE=72°；在圖2中，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AB∥CD，∴∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°，∴∠CEF=180°﹣72°﹣72°=36°；（2）①用“風(fēng)箏一號(hào)”紙片拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正十邊形，得到“風(fēng)箏一號(hào)”紙片的點(diǎn)A與正十邊形的中心重合，又∠A=72°，則需要這種紙片的數(shù)量=QUOTE=5；②根據(jù)題意可知：“風(fēng)箏一號(hào)”紙片用兩張和“飛鏢一號(hào)”紙片用一張，畫(huà)出拼接線如圖所示：故答案為：（1）72°；36°；（2）①．5．點(diǎn)評(píng)：此題考查掌握菱形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用兩三角形的全等得到對(duì)應(yīng)的角相等，掌握密鋪地面的秘訣，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，是一道中檔題．4（2022南昌，20，6分）如圖，四邊形ABCD為菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)解析式．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式。專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題；數(shù)形結(jié)合。分析：（1）菱形的四邊相等，對(duì)邊平行，根據(jù)此可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)可求出確定函數(shù)式．解答：解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），∴OB=3，OA=4，∴AB=5．在菱形ABCD中，AD=AB=5，∴OD=1，∴D（0，﹣1）．（2）∵BC∥AD，BC=AB=5，∴C（﹣3，﹣5）．設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)解析式為y=QUOTE．把（﹣3，﹣5）代入解析式得：k=15，∴y=QUOTE．點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)，四邊相等，對(duì)邊平行，以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．5.（2022四川廣安，23，8分）如圖5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：DE＝BE．圖5圖5考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，線段的倍分關(guān)系專(zhuān)題：四邊形分析：思路一：易知四邊形ACED是平行四邊形，則AD＝CE＝BC，從而可知BC＝BE，要說(shuō)明DE＝BE，只需說(shuō)明DE＝BC即可．思路二：連接BD，先證∠BDE＝90°，再證∠DBE＝30°，根據(jù)30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可直接獲得結(jié)論（自己完成證明過(guò)程）．解答：∵ABCD是菱形，∴AD（2022新疆烏魯木齊，20，？）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，點(diǎn)E、F分別是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AG∥BD，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形DEBF是菱形；（2）請(qǐng)判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．考點(diǎn)：矩形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定。專(zhuān)題：證明題。分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得△AED是等邊三角形，從而證得DE＝BE，問(wèn)題得證；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)證得∠ADB＝90°，利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD且AB＝CD，AD∥BC且AD＝BC∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴BE＝QUOTEAB，DF＝QUOTECD，∴四邊形DEBF是平行四邊形在△ABD中，E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝QUOTEAB＝AD，而∠DAB＝60°∴△AED是等邊三角形，即DE＝AE＝AD，故DE＝BE∴平行四邊形DEBF是菱形．（2）四邊形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB∴四邊形AGBD是平行四邊形由（1）的證明知AD＝DE＝AE＝BE，∴∠ADE＝∠DEA＝60°，∠EDB＝∠DBE＝30°故∠ADB＝90°∴平行四邊形AGBD是矩形．點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是弄清菱形及矩形的判定方法．7（2022云南保山，18，8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E、F，且PE=PF，平行四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？考點(diǎn)：菱形的判定；角平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：首先根據(jù)定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，可得到∠DAC=∠CAE，然后證明∠DAC=∠DCA，可得到DA=DC，再根據(jù)菱形的判定定理：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，進(jìn)而可得到結(jié)論．解答：解：是菱形．理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，∴AC是∠DAB的角平分線，∴∠DAC=∠CAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四邊形ABCD是菱形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定，證明∠DAC=∠DCA是解此題的關(guān)鍵．10.（2022?貴港）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：四邊形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，試判斷△CDE的形狀，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)AB=AD及AE為∠BAD的平分線可得出∠1=∠2，從而證得△BAE≌△DAE，這樣就得出四邊形ABED為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交BC于點(diǎn)F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，從而結(jié)合∠ABC=60°，AB∥DE可判斷出結(jié)論．解答：（1）證明：如圖，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD，∴四邊形ABED是菱形．（2）解：△CDE是直角三角形．如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交BC于點(diǎn)F，則四邊形AEFD是平行四邊形，∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等邊三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了梯形、全等三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)，難度較大，解答本題需要掌握①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半．8.（2022?安順）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE．（1）說(shuō)明四邊形ACEF是平行四邊形；（2）當(dāng)∠B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定。分析：（1）證明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可判斷；（2）當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可證得AC=EC，根據(jù)菱形的定義即可判斷．解答：（1）證明：由題意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠AEF=∠EAC，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA．又∵AE=EA，∴△AEC≌△EAF，∴EF=CA，∴四邊形ACEF是平行四邊形．（2）當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形．理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=QUOTE，∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，又∵AE=CE，∴CE=QUOTE，∴AC=CE，∴四邊形ACEF是菱形．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定方法，正確掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．9.（2022?湘西州）如圖，已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，∠ACB=30°，AB=2．（1）求AC的長(zhǎng)．（2）求∠AOB的度數(shù)．（3）以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形OBEC，求菱形OBEC的面積．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題：綜合題。分析：（1）根據(jù)AB的長(zhǎng)結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系可得出AC的長(zhǎng)度．（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分可得出△OBC為等腰三角形，從而利用外角的知識(shí)可得出∠AOB的度數(shù)．（3）分別求出△OBC和△BCE的面積，從而可求出菱形OBEC的面積．解答：解（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴AC=2AB=4．（2）在矩形ABCD中，∴AO=OA=2，又∵AB=2，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=60°．（3）由勾股定理，得BC=QUOTE，QUOTE．QUOTE，所以菱形OBEC的面積是2QUOTE．點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，注意一些基本知識(shí)的掌握是關(guān)鍵．10.（2022?西寧）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥CA，AE∥BD．（1）求證：四邊形AODE是菱形；（2）若將題設(shè)中“矩形ABCD”這一條件改為“菱形ABCD”，其余條件不變，則四邊形AODE是矩形．考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；矩形的性質(zhì)；矩形的判定。專(zhuān)題：證明題。分析：（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OA=OD，證出四邊形AODE是平行四邊形即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠AOD=90°，再證出四邊形AODE是平行四邊形即可．解答：解：（1）證明：∵矩形ABCD，∴OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD，∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形，∴四邊形AODE是菱形．（2）∵DE∥CA，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴平行四邊形AODE是矩形．故答案為：矩形．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)菱形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出四邊形是平行四邊形和正出∠AOD=90°、OA=OD是解此題的關(guān)鍵．11.（2022?臨沂，22，7分）如圖，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC兩個(gè)外角的平分線．（1）求證：AC=AD；（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．考點(diǎn)：菱形的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題。分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，證明AC=AD；（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用菱形的判定得出．解答：證明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠B，∴AD∥BC，∴∠D=∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD；證明：（2）∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC為等邊三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質(zhì)等內(nèi)容，注意菱形與平行四邊形的區(qū)別，得出AB=BC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12.（2022泰安，27，10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中點(diǎn)，連接AE．AC．（1）點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，連接EF，交AC于點(diǎn)O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；（2）若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接BD，交AE與點(diǎn)G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．考點(diǎn)：相似三角形的判定；菱形的判定。專(zhuān)題：證明題；數(shù)形結(jié)合。分析：（1）由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC＝2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE＝90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易證得EF＝GD＝GE＝DF，則可得四邊形EFDG是菱形．解答：（1）證明：∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC＝2AD，∴EC＝BE＝QUOTEBC＝AD，又∵AD∥DC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE∥DC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∴△AOE∽△COF；（2）證明：連接DE，∵DE平行且等于BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∠ABE＝90°，∴□ABED是矩形，∴GE＝GA＝GB＝GD＝QUOTEBD＝QUOTEAE，∴E．F分別是BC．CD的中點(diǎn)，∴EF．GE是△CBD的兩條中線，∴EF＝QUOTEBD＝GD，GE＝QUOTECD＝DF，又GE＝GD，∴EF＝GD＝GE＝DF，∴四邊形EFDG是菱形．點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形與菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13.（2022四川眉山，25，9分）如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線于F．（1）求證：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得CD=AD，∠CDP=∠ADP，證明△CDP≌△ADP即可；（2）由菱形的性質(zhì)得CD∥BA，可證△CPD∽△FPB，利用相似比，結(jié)合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可證A為BF的中點(diǎn)，又PA⊥BF，從而得出PB=PF，已證PA=CP，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，∴△CDP≌△ADP，∴∠DCP=∠DAP；（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，∴CD∥BA，CD=BA，∴△CPD∽△FPB，∴=，∴CD=QUOTEBF，CP=QUOTEPF，∴A為BF的中點(diǎn)，又∵PA⊥BF，∴PB=PF，由（1）可知，PA=CP，∴PA=QUOTEPB，在Rt△PAB中，解得PB=QUOTE，則PD=QUOTE，∴BD=PB+PD=2QUOTE．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)菱形的四邊相等，對(duì)邊平行及菱形的軸對(duì)稱(chēng)性解題．14.（2022四川廣安，23，8分）如圖5所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：DE＝BE．圖5圖5考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，線段的倍分關(guān)系專(zhuān)題：四邊形分析：思路一：易知四邊形ACED是平行四邊形，則AD＝CE＝BC，從而可知BC＝BE，要說(shuō)明DE＝BE，只需說(shuō)明DE＝BC即可．思路二：連接BD，先證∠BDE＝90°，再證∠DBE＝30°，根據(jù)30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可直接獲得結(jié)論（自己完成證明過(guò)程）．解答：∵ABCD是菱形，∴AD（2022福建莆田，25，14分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ADC=60o，等邊△AEF兩邊分別交DC、CB于點(diǎn)E、F。（1）（4分）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是DC、CB的中點(diǎn)，求證菱形ABCD對(duì)角母AC、BD的交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)，記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P。①（4分）猜想驗(yàn)證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②（5分）拓展運(yùn)用：如圖3，猜想△AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心．分析：（1）首先分別連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，即可證得0E=OF=OA，則可得點(diǎn)O即為△AEF的外心；（2）①首先分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度數(shù)，又由點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上．②當(dāng)AE⊥DC時(shí)．△AEF面積最小，此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)．連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可為定值2．解答：（1）證明：如圖1，分別連接OE、0F，ABCD第ABCD第25題圖1OFE∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC，∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．∠ADO=∠ADC=×60°=30°，又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，∴0E=OF=OA，∴點(diǎn)O即為△AEF的外心．（2）①猜想：外心P一定落在直線DB上．證明：如圖第25題圖2ABCDEFIJP2，分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P第25題圖2ABCDEFIJP∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°，∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，∵點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上．②為定值2．當(dāng)AE⊥DC時(shí)．△AEF面積最小，此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn)．連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．如圖3．設(shè)MN交BC于點(diǎn)G，設(shè)DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），則CN=y-1，∵BC∥DA，∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．第25題圖3BA第25題圖3BACDEFMNP∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM，∴，∴，∴x+y=2xy，∴+=2，即=2點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外心的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)16.（2022麗江市中考，18,分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E、F，且PE=PF，平行四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？考點(diǎn)：菱形的判定；角平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。分析：首先根據(jù)定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，可得到∠DAC=∠CAE，然后證明∠DAC=∠DCA，可得到DA=DC，再根據(jù)菱形的判定定理：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，進(jìn)而可得到結(jié)論．解答：解：是菱形．理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，∴AC是∠DAB的角平分線，∴∠DAC=∠CAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴平行四邊形ABCD是菱形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定，證明∠DAC=∠DCA是解此題的關(guān)鍵．17.（2022浙江寧波，23，？）如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)A作AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：DE∥BF；（2）若∠G＝90°，求證：四邊形DEBF是菱形．考點(diǎn)：菱形的判定；平行線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題。分析：（1）根據(jù)已知條件證明∴△ADE≌△CBF，即∠3＝∠CBF，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∴∠BDE＝∠FBD，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證明DE∥BF，（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可以得出∠1＝∠2，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而得出結(jié)論．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝QUOTEAB，CF＝QUOTECD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF，（2）∵∠G＝90°，∴四邊形AGBD是矩形，∠ADB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四邊形DEBF是菱形．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定，比較綜合，難度適中．18.（2022杭州，24，12分）圖形既關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于直線AC，BD對(duì)稱(chēng)，AC=10，BD=6，已知點(diǎn)E，M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)O到EF，MN的距離分別為h1，h2，△OEF與△OGH組成的圖形稱(chēng)為蝶形．

（1）求蝶形面積S的最大值；

（2）當(dāng)以EH為直徑的圓與以MQ為直徑的圓重合時(shí)，求h1與h2滿足的關(guān)系式，并求h2的取值范圍．考點(diǎn)：；；；；；．專(zhuān)題：；．分析：（1）由題意，得四邊形ABCD是菱形，根據(jù)EF∥BD，求證△ABD∽△AEF，然后利用其對(duì)邊成比例求得EF，然后利用三角形面積公式即可求得蝶形面積S的最大值．

（2）根據(jù)題意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB關(guān)于OR對(duì)稱(chēng)線段為OS，①當(dāng)點(diǎn)E，M不重合時(shí)，則OE，OM在OR的兩側(cè)，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行線分線段求得即可知h1的取值范圍；②當(dāng)點(diǎn)E，M重合時(shí)，則h1=h2，此時(shí)可知h1的取值范圍．解答：解：（1）由題意，得四邊形ABCD是菱形．

∵EF∥BD，

∴△ABD∽△AEF，

∴，即

所以當(dāng)時(shí)，．

（2）根據(jù)題意，得OE=OM．

如圖，作OR⊥AB于R，OB關(guān)于OR對(duì)稱(chēng)線段為OS，

①當(dāng)點(diǎn)E，M不重合時(shí)，則OE，OM在OR的兩側(cè)，易知RE=RM．

∵，

∴，

∴

由ML∥EK∥OB，

得∴，

即

∴，此時(shí)h1的取值范圍為且

②當(dāng)點(diǎn)E，M重合時(shí)，則h1=h2，此時(shí)h1的取值范圍為0＜h1＜5．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，中心對(duì)稱(chēng)，平行線分線段成比例等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，有一定的拔高難度，屬于難題．19.（2022湖州，22，10分）如圖，已知E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE=DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四邊形AECF是菱形，求BE的長(zhǎng)．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).專(zhuān)題：證明題.分析：（1）首先由已知證明AF∥EC，BE=DF，推出四邊形AECF是平行四邊形．（2）由已知先證明AE=BE，即BE=AE=CE，從而求出BE的長(zhǎng)．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）解：∵四邊形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=QUOTEBC=5．點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的判定和性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)推出結(jié)論．20.（2022浙江衢州，22，10分）如圖，△ABC中，AD是邊BC上的中線，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，連接EC．（1）求證：AD=EC；（2）當(dāng)∠BAC=Rt∠時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定。專(zhuān)題：證明題。分析：（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形，即得AD=CE；（2）由∠BAC=Rt∠，AD上斜邊BC上的中線，即得AD=BD=CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，即證；解答：（1）證明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BD，且AE=BD又∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD∴AE∥CD，且AE=CD∴四邊形ADCE是平行四邊形∴AD=CE（2）證明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜邊BC上的中線，∴AD=BD=CD又∵四邊形ADCE是平行四邊形∴四邊形ADCE是菱形點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，（1）證得四邊形ABDE，四邊形ADCE為平行四邊形即得；（2）由∠BAC=Rt∠，AD上斜邊BC上的中線，即得AD=BD=CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，從而證得四邊形ADCE是菱形．21.（2022浙江舟山，23，12分）以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH．（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)∠ADC＝α（0°＜α＜90°），①試用含α的代數(shù)式表示∠HAE；②求證：HE＝HG；③四邊形EFGH是什么四邊形？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)：正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；菱形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題。分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形得到角都是直角，且邊都相等即可判斷答案；（2）①∠HAE＝90°＋a，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，∠BAD＝180°－a，根據(jù)△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD＝∠EAB＝45°，求出∠HAE即可；②根據(jù)△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE＝AB，DG＝QUOTECD，平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，求出∠HDG＝90°＋a＝∠HAE，證△HAE≌△HDC，即可得出HE＝HG；③由②同理可得：GH＝GF，F(xiàn)G＝FE，推出GH＝GF＝EF＝HE，得出菱形EFGH，證△HAE≌△HDG，求出∠AHD＝90°，∠EHG＝90°，即可推出結(jié)論．解答：（1）答：四邊形EFGH的形狀是正方形．（2）解：①∠HAE＝90°＋a，在平行四邊形ABCD中AB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠ADC＝180°－a，∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD＝∠EAB＝45°，∴∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a，答：用含α的代數(shù)式表示∠HAE是90°＋a．②證明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE＝AB，DG＝CD，在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，∴AE＝DG，∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA＝∠CDG＝45°，∴∠HDG＝∠HDA＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE，∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA＝HD，∴△HAE≌△HDC，∴HE＝HG．③答：四邊形EFGH是正方形，理由是：由②同理可得：GH＝GF，F(xiàn)G＝FE，∵HE＝HG，∴GH＝GF＝EF＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，∵△HA