優(yōu)選文檔函數(shù)極限的性質(zhì)PPT

函數(shù)極限的性質(zhì)定理3.2

如果當xx0時f(x)的極限存,那么這極限是唯一的

證明，

x

x

f

B

A

時的極限

當

都是

設(shè)

0

,

?

,

)

(

0

,

0

,

0

1

0

1

e

d

d

e

<

-

<

-

<

>

$

>

"

A

x

f

x

x

時有

當

則

,

)

(

0

,

0

2

0

2

e

d

d

<

-

<

-

<

>

$

B

x

f

x

x

時有

當

故有

同時成立

時

則當

取

，

x

x

)

2

(

),

1

(

0

),

,

min(

0

2

1

d

d

d

d

<

-

<

=

.

2

)

(

)

(

)

)

(

(

)

)

(

(

e

<

-

+

-

￡

-

-

-

=

-

B

x

f

A

x

f

B

x

f

A

x

f

B

A

.

.

即其極限唯一

的任意性得

由

B

A

=

e

(1)(2)一函數(shù)極限的性質(zhì)1.唯一性2.局部有界性若極限

存在，

則函數(shù)在的某一空心鄰域上有界。

證明有

使得

則

取

設(shè)

)

;

(

,

0

,

1

,

)

(

lim

0

0

d

d

e

x

U

x

A

x

f

x

x

o

?

"

>

$

=

=

?

.

1

)

(

1

)

(

+

<

T

<

-

A

x

f

A

x

f

.

)

;

(

)

(

0

內(nèi)有界

在

即

d

x

U

x

f

o

3.局部保號性定理3.4證明設(shè)A＞0,對任何＞0,使得對一切＞這就證得結(jié)論.對于A＜0的情形可類似地證明.推論定理3.4(函數(shù)極限的局部保號性)

如果f(x)A(xx0)

而且A0(或A0)

那么對任何正數(shù)r<A(或r<-A),在x0的某一去心鄰域內(nèi)

有f(x)r>0(或f(x)-r<0)

證明)

;

(

,

0

,

),

1

,

0

(

,

0

0

d

d

e

x

U

x

r

A

r

A

?

"

>

$

-

=

?

"

>

使得

則

取

設(shè)

.

)

(

r

A

x

f

=

-

>

e

有

.

0

的情形類似可證

對于

<

r

推論

如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)0(或f(x)0)

而且

f(x)A(xx0)

那么A0(或A0)

3.局部保號性定理3.5(函數(shù)極限的保不等式性)證明).

(

lim

)

(

lim

),

(

)

(

)

;

(

)

(

),

(

0

0

'

0

0

x

g

x

f

x

g

x

f

x

U

x

g

x

f

x

x

x

x

x

x

?

?

￡

￡

?

則

內(nèi)有

極限都存在且在

時

如果

d

o

,

)

(

lim

,

)

(

lim

0

0

B

x

g

A

x

f

x

x

x

x

=

=

?

?

設(shè)

)

1

(

),

(

0

,

0

,

0

1

0

1

x

f

A

x

x

<

-

<

-

<

>

$

>

"

e

d

d

e

時有

當

則

)

2

(

.

)

(

0

,

0

2

0

2

e

d

d

+

<

<

-

<

>

$

B

x

g

x

x

時有

當

于是有

同時成立

與

不等式

時

則當

令

，

x

g

x

f

x

x

)

2

(

),

1

(

)

(

)

(

,

0

},

,

,

min{

0

2

1

'

￡

<

-

<

=

d

d

d

d

d

,

)

(

)

(

e

e

+

<

￡

<

-

B

x

g

x

f

A

.

,

2

B

A

B

A

￡

+

<

的任意性知

由

從而

e

e

4保不等式推論定理3.6

如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件

(1)g(x)f(x)h(x)

(2)limg(x)Alimh(x)A

那么limf(x)存在

且limf(x)A

證明),

(

0

,

0

,

0

1

0

1

x

g

A

x

x

，

<

-

<

-

<

>

$

>

"

e

d

d

e

時有

當

按假設(shè)

.

)

(

0

,

0

2

0

2

e

d

d

+

<

<

-

<

>

$

A

x

h

x

x

時有

當

故有

同時成立

時上兩不等式與

則當

令

,

)

(

)

(

)

(

0

},

,

min{

0

2

1

x

h

x

f

x

g

x

x

￡

￡

<

-

<

=

d

d

d

d

,

)

(

)

(

)

(

e

e

+

<

￡

￡

<

-

A

x

h

x

f

x

g

A

.

)

(

lim

)

(

0

A

x

f

，

A

x

f

x

x

=

<

-

?

即

由此得

e

5迫斂性定理3.7設(shè),則

1）2）3）6四則運算法則(3)的證明

只要證，

令，由

，使得當

時，有

，即

,仍然由

，.，使得當

時，有

.

取

，則當

時，有

即

推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2⑤定理的條件：存在商的情形還須加上分母的極限不為0⑥定理簡言之即是：和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商⑦定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對任何一個過程都成立).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf=則為常數(shù)而存在如果.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf=則是正整數(shù)而存在如果二、利用函數(shù)極限的性質(zhì)計算某些函數(shù)的極限..已證明過以下幾個極限：

（注意前四個極限中極限就是函數(shù)值）

利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,參閱[4]P37—38.我們將陸續(xù)證明這些公式.常數(shù)因子可以提到極限記號外面.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;利用無窮小運算性質(zhì)求極限;在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,參閱[4]P37—38.已證明過以下幾個極限：（注意前四個極限中極限就是函數(shù)值）由以上幾例可見，在應(yīng)用極限的四則運算法則求(1)g(x)f(x)h(x)如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)0(或f(x)0)而且利用“迫斂性”和“四則運算”，可以從一些“簡單函數(shù)極限”出發(fā)，計算較復(fù)雜函數(shù)的極限。極限時，必須注意定理的條件，當條件不具備時，有時可作適當?shù)淖冃危詣?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時可以利用無窮小的運算性質(zhì)或無窮小與無窮大的關(guān)系求極限。(2)limg(x)Alimh(x)A證明設(shè)A＞0,對任何如果當xx0時f(x)的極限存,那么這極限是唯一的極限時，必須注意定理的條件，當條件不具備時，有時可作適當?shù)淖冃?，以?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時可以利用無窮小的運算性質(zhì)或無窮小與無窮大的關(guān)系求極限。⑦定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對多項式與分式函數(shù)代入法求極限;利用“迫斂性”和“四則運算”，可以從一些“簡單函數(shù)極限”出發(fā)，計算較復(fù)雜函數(shù)的極限。例１求.例２求.例３求.(利用極限和)例4證明證（不妨設(shè)ε＜1）例6求例5求註:關(guān)于的有理分式當時的極限.參閱[4]P37

[利用公式

]

求A和B.

補充題:已知

求極限方法舉例例7解小結(jié):例8解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例9解(消去零因子法)例10解(無窮小因子分出法)利用左右極限求分段函數(shù)極限.那么limf(x)存在且limf(x)A如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件利用“迫斂性”和“四則運算”，可以從一些“簡單函數(shù)極限”出發(fā)，計算較復(fù)雜函數(shù)的極限。我們將陸續(xù)證明這些公式.等于極限的和、差、積、商,則這些極限可作為公式用.如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么對任何正數(shù)r<A(或r<-A),在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)r>0(或f(x)-r<0)證明設(shè)A＞0,對任何由以上幾例可見，在應(yīng)用極限的四則運算法則求⑦定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對極限時，必須注意定理的條件，當條件不具備時，有時可作適當?shù)淖冃?，以?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時可以利用無窮小的運算性質(zhì)或無窮小與無窮大的關(guān)系求極限。,則一函數(shù)極限的性質(zhì)由無窮小與無窮大的關(guān)系,得多項式與分式函數(shù)代入法求極限;小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.例11解先變形再求極限.由以上幾例可見，在應(yīng)用極限的四則運算法則求極限時，必須注意定理的條件，當條件不具備時，有時可作適當?shù)淖冃?，以?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時可以利用無窮小的運算性質(zhì)或無窮小與無窮大的關(guān)系求極限。三、復(fù)合函數(shù)極限定理（復(fù)合函數(shù)極限運算法則——變量代