量子物理-電子自旋課件

12，電子自旋2角動(dòng)量電流面積磁矩是電流乘以面積帶電粒子軌道角動(dòng)量的經(jīng)典圖像此處q自身帶正負(fù)號(hào)磁矩與角動(dòng)量量子物理承認(rèn)磁矩與角動(dòng)量的正比關(guān)系，但是角動(dòng)量在空間任何方向的分量值是量子化的3軌道角動(dòng)量磁矩：電子軌道角動(dòng)量若為電子J為軌道角動(dòng)量為波爾磁子5軌道角動(dòng)量在任意方向投影的可能值都是分立的，在任一方向的投影值只能取為總角動(dòng)量量子數(shù)，是在所有方向的最大可能投影值0zlz此結(jié)論可以直接解角動(dòng)量分量算符本征方程而得，已經(jīng)獲得實(shí)驗(yàn)證實(shí)。實(shí)驗(yàn)事實(shí)還表明，電子還必須有附加的內(nèi)稟磁矩：自旋磁矩。6

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，電子除了軌道角動(dòng)量之外，還有另一種角動(dòng)量，它與電子的空間運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，是一種內(nèi)稟(intrinsic)角動(dòng)量，我們稱(chēng)之為自旋角動(dòng)量。但是，它不同于經(jīng)典自旋（例如地球自轉(zhuǎn)）電子自旋7進(jìn)一步研究表明，不但電子存在自旋，中子、質(zhì)子、等所有微觀粒子都存在自旋，只不過(guò)取值不同。自旋和靜質(zhì)量、電荷等物理量一樣，也是描述微觀粒子固有屬性的物理量。電子自旋9SternGerlach實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明：粒子源為熱爐中蒸發(fā)出的銀原子。其狀態(tài)是一個(gè)各種態(tài)都有可能的混合態(tài)。（可類(lèi)比于自然光偏振，各種偏振都有。）銀原子核外47個(gè)電子，其中內(nèi)層46個(gè)可視為構(gòu)成了一個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)電子云整體而沒(méi)有凈角動(dòng)量。核自旋角動(dòng)量忽略不計(jì)?？傊赫麄€(gè)原子的磁矩由第47個(gè)電子磁矩決定，它正比于其自旋值。磁矩在非均勻磁場(chǎng)中受力10SternGerlach實(shí)驗(yàn)OvenB真實(shí)觀測(cè)結(jié)果經(jīng)典物理預(yù)言為解釋此實(shí)驗(yàn)結(jié)果，Uhlenbeck和Goudsmit提出自旋角動(dòng)量：據(jù)計(jì)算，z方向磁矩的兩個(gè)值為，11電子自旋的基本性質(zhì)：（1）電子具有自旋角動(dòng)量，量子數(shù)為1/2電子自旋在空間任何方向上的投影值（分量測(cè)量值）僅取兩個(gè)值，例如方向（2）電子具有磁矩，它和自旋角動(dòng)量的關(guān)系是：為回磁比為表述方便，今后的電子自旋磁矩與自旋角動(dòng)量關(guān)系，我們一般都用回磁比式。13空間任意方向自旋本征態(tài)如何表示？（2）自旋角動(dòng)量的態(tài)矢量1）電子自旋空間為兩態(tài)空間2）與之對(duì)應(yīng)，自旋角動(dòng)量的算符的本征只能有兩個(gè)，分別為。在軸上的兩個(gè)分量對(duì)應(yīng)的本征矢量為形象的說(shuō)，即為自旋朝上的態(tài)和自旋朝下的態(tài)。14空間任意方向自旋本征態(tài)如何表示？（2）自旋的態(tài)矢量15連串實(shí)驗(yàn)OvenSGzSGz+z-zNosignal+z-zOvenSGzSG+-+z-z想象偏振測(cè)量實(shí)驗(yàn)。這里磁場(chǎng)方是測(cè)量基！處于+z的態(tài)，發(fā)現(xiàn)它是+x態(tài)或-x的概率是1/2添加其他實(shí)驗(yàn)還可證明，處于某個(gè)方向正向的態(tài)，在一個(gè)與其夾角為的方向測(cè)分量值。獲得正值概率為，獲得負(fù)值概率為。17對(duì)自旋態(tài)的數(shù)學(xué)描述必須與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符并且自洽?；救蝿?wù)：對(duì)空間任何方位（）的正方向與負(fù)方向的自旋本征態(tài)的數(shù)學(xué)描述。18實(shí)驗(yàn)事實(shí)1：任何方位的正負(fù)方向的本征態(tài)正交。此即要求在任何方位，事實(shí)2：任何兩個(gè)方位，若其正向夾角為那發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)方位的正向本征態(tài)是另一個(gè)方位正負(fù)向本征態(tài)的概率分別為。19事實(shí)2：任何兩個(gè)方位，若其正向夾角為那發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)方位的正向本征態(tài)是另一個(gè)方位正負(fù)向本征態(tài)的概率分別為。若選定則必然要求以便滿(mǎn)足事實(shí)2，即21若選定則必然要求或者Bloch球面電子自旋任何一個(gè)態(tài)對(duì)應(yīng)于Bloch面上一個(gè)點(diǎn)22任意態(tài)可以采用兩維矢量表述特別的233.自旋角動(dòng)量算符與泡利矩陣任何物理量都對(duì)應(yīng)與一個(gè)線(xiàn)性厄米（Hermitian，self-adjoint）算符A。A有一套本征矢量，對(duì)應(yīng)本征值

回顧公設(shè)該物理量算符為：25對(duì)于自旋角動(dòng)量算符拋棄公因子即得泡利算子對(duì)于特殊方位軸3.自旋算符與泡利矩陣26

上述矩陣定義為泡利自旋矩陣3.自旋算符與泡利矩陣自旋角動(dòng)量分量算符注：一般教科書(shū)上采用先給出泡利自旋矩陣，再去算本征態(tài)。然而，給出泡利自旋矩陣是基于假定自旋算符與軌道角動(dòng)量算符具有同樣對(duì)易法則。（這個(gè)假定不屬于量子力學(xué)公設(shè)。）然而，我們的課件在這里既不需要這個(gè)假定，也不需要先行了解軌道角動(dòng)量算符及其對(duì)易關(guān)系，我們只用到兩個(gè)東西：實(shí)驗(yàn)事實(shí)與算符公設(shè)。請(qǐng)同學(xué)們注意品味課件這部分內(nèi)容。293.自旋算符與泡利矩陣可以證明，對(duì)于任何角動(dòng)量J，此處j為總角動(dòng)量量子數(shù)。證明過(guò)程只需要對(duì)易關(guān)系對(duì)于軌道角動(dòng)量，以上對(duì)易關(guān)系可以驗(yàn)證304在均勻靜均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)就是指在外磁場(chǎng)作用下自旋態(tài)的演化。如過(guò)去所說(shuō)，我們需要哈密頓量及其本征值與本征態(tài)。314在均勻靜均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)電子自旋任何一個(gè)態(tài)對(duì)應(yīng)于Bloch面上一個(gè)點(diǎn)，或者對(duì)應(yīng)于連接原點(diǎn)與該點(diǎn)的矢量電子自旋態(tài)的演化可以直觀的對(duì)應(yīng)于Bloch面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，或者是對(duì)應(yīng)矢量尾部的進(jìn)動(dòng)我們把自旋態(tài)在磁場(chǎng)中的演化稱(chēng)為自旋進(jìn)動(dòng)“進(jìn)動(dòng)”只是一個(gè)直觀的數(shù)學(xué)圖像，與電子位置沒(méi)有任何關(guān)系！324在均勻靜均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)為方便起見(jiàn)，今后我們將統(tǒng)一采用這里，稱(chēng)為電子的回磁比（gyromagneticratio）聯(lián)系電子磁矩與自旋角動(dòng)量（算符）334在靜均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)哈密頓量經(jīng)典電磁學(xué)，勢(shì)能實(shí)驗(yàn)表明，量子力學(xué)的哈密頓量就是把上式的磁矩?fù)Q成算符。為方便起見(jiàn)，經(jīng)常采用約化磁場(chǎng)：344在均勻靜磁場(chǎng)中的自旋進(jìn)動(dòng)（拉莫進(jìn)動(dòng)）設(shè)磁場(chǎng)方向?yàn)閦+方向，稱(chēng)為拉莫頻率(Larmorfrequency)

自旋1/2粒子在均勻靜磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)叫做拉莫進(jìn)動(dòng)，Larmorprecession35態(tài)演化問(wèn)題的一般方法回顧我們現(xiàn)在局限于不含時(shí)哈密頓量1）寫(xiě)出哈密頓量2）解定態(tài)方程，獲得哈密頓量的本征態(tài)與本征值，3）以上述本征態(tài)為基礎(chǔ)態(tài)，將給定的初始態(tài)展開(kāi)，最后得任意時(shí)刻的態(tài)。36為方便起見(jiàn)，經(jīng)常采用約化磁場(chǎng)：取磁場(chǎng)為z+方向自旋態(tài)在磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)哈密頓量定態(tài)及本征值對(duì)于任意初始態(tài)在時(shí)刻t為拉莫頻率對(duì)應(yīng)Bloch面上點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)，是“繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)”37對(duì)自旋態(tài)的數(shù)學(xué)描述必須與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相符并且自洽?；救蝿?wù)：對(duì)空間任何方位（）的正方向與負(fù)方向的自旋本征態(tài)的數(shù)學(xué)描述。38在時(shí)刻t若初始時(shí)刻為在任意時(shí)刻x方向自旋平均值？39在時(shí)刻t任意時(shí)刻t發(fā)現(xiàn)它的自旋為x+的概率？例2在x軸正向接通磁場(chǎng)需多久能實(shí)現(xiàn)？40