2020秋高中數(shù)學(xué)人教版2-21.5.1 曲邊梯形的面積與汽車行駛的路程含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課時(shí)作業(yè)：1.5.1曲邊梯形的面積與汽車行駛的路程含解析第一章1.5第1課時(shí)請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成練案［10］A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．在“近似代替”中，函數(shù)f（x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值等于（C）A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f（xi)B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f（xi＋1）C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)（ξi∈［xi，xi＋1］)D．以上答案均不正確[解析]由求曲邊梯形面積的“近似代替"知，C正確，故應(yīng)選C．2．在求由x＝a、x＝b（a<b）、y＝f（x)（f(x)≥0)及y＝0圍成的曲邊梯形的面積S時(shí)，在區(qū)間[a，b］上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，分別過(guò)這些分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（A）①n個(gè)小曲邊梯形的面積和等于S；②n個(gè)小曲邊梯形的面積和小于S；③n個(gè)小曲邊梯形的面積和大于S；④n個(gè)小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無(wú)法確定A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)［解析］n個(gè)小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的，因此其面積和為S.∴①正確,②③④錯(cuò)誤，故應(yīng)選A．3．在求由函數(shù)y＝eq\f(1,x)與直線x＝1、x＝2、y＝0所圍成的平面圖形的面積時(shí),把區(qū)間［1，2］等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為(B)A．[eq\f(i－1，n），eq\f（i，n）］ B．［eq\f（n＋i－1，n),eq\f（n＋i，n)］C．［i－1，i］ D．［eq\f(i,n)，eq\f（i＋1，n)］［解析]把區(qū)間［1，2]等分成n個(gè)小區(qū)間后,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為eq\f(1,n)，且第i個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)不小于1，排除A、D；C顯然錯(cuò)誤；故選B．4．曲線y＝cosx（0≤x≤2π）與y＝1圍成的面積是(D)A．4π B．eq\f(5π,2)C．3π D．2π[解析]如圖，求曲線y＝cosx(0≤x≤2π)與y＝1圍成的面積可轉(zhuǎn)化為求由直線y＝0、y＝1、x＝0、x＝2π圍成的矩形面積為1×2π＝2π.5．在求由曲線y＝eq\f(1,x）與直線x＝1，x＝3,y＝0所圍成圖形的面積時(shí)，若將區(qū)間n等分，并用每個(gè)區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值近似代替，則第i個(gè)小曲邊梯形的面積ΔSi約等于(A)A．eq\f（2,n＋2i) B．eq\f（2,n＋2i－2)C．eq\f（2，nn＋2i） D．eq\f(1,n＋2i）［解析]每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f(2,n),第i個(gè)小區(qū)間為［eq\f（n＋2i－1，n)，eq\f(n＋2i，n)]，因此第i個(gè)小曲邊梯形的面積ΔSi≈eq\f（1，\f(n＋2i，n）)·eq\f(2,n）＝eq\f(2，n＋2i）。6．在等分區(qū)間的情況下，f（x)＝eq\f(1，1＋x2）(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是(B）A．eq\o（lim,\s\do4(n→∞）)eq\i\su（i＝1，n，［）eq\f（1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（i,n))）2)·eq\f（2,n）] B．eq\o（lim,\s\do4(n→∞）)eq\i\su（i＝1,n，[)eq\f(1，1＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))2)·eq\f(2，n）]C．eq\o(lim,\s\do4(n→∞））eq\i\su(i＝1，n，）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋i2)·\f（1,n)）） D．eq\o（lim,\s\do4（n→∞)）eq\i\su(i＝1,n,［）eq\f（1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（i,n）））2)·n］[解析］將區(qū)間［0，2］n等分后每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f（2,n），第i個(gè)小區(qū)間為［eq\f(2i－1，n)，eq\f(2i，n）](i＝1，2,3,…,n)，故應(yīng)選B．二、填空題7．直線x＝0、x＝2、y＝0與曲線y＝x2＋1圍成的曲邊梯形，將區(qū)間［0,2］5等分，按照區(qū)間左端點(diǎn)和右端點(diǎn)估計(jì)梯形面積分別為_(kāi)_3。92__、__5。52__。［解析］分別以小區(qū)間左、右端點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高，求所有小矩形面積之和．S1＝(02＋1＋0。42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1。62＋1)×0。4＝3。92;S2＝（0.42＋1＋0。82＋1＋1.22＋1＋1。62＋1＋22＋1)×0。4＝5.52.8．若做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體V(t)＝t2在0≤t≤a內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為9，則a的值為_(kāi)_3__.[解析］將區(qū)間［0，a］n等分，記第i個(gè)區(qū)間為[eq\f（ai－1,n）,eq\f（ai，n）](i＝1，2，…，n），此區(qū)間長(zhǎng)為eq\f（a,n)，用小矩形面積(eq\f(ai，n））2·eq\f(a，n)近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，則eq\i\su(i＝1,n,)（eq\f（ai,n))2·eq\f（a，n)＝eq\f(a3，n3）·（12＋22＋…＋n2)＝eq\f(a3，3)（1＋eq\f(1,n))(1＋eq\f（1，2n））近似地等于速度曲線v（t)＝t2與直線t＝0,t＝a，t軸圍成的曲邊梯形的面積．依題意得eq\o(lim,\s\do4（n→∞))eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a3,3)1＋\f(1,n)1＋\f(1，2n))）＝9,∴eq\f（a3，3)＝9，解得a＝3。三、解答題9．求直線x＝0、x＝2、y＝0與曲線y＝x2所圍成曲邊梯形的面積．[解析］將區(qū)間[0，2］等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（2i－1,n），\f(2i,n）)）。第i個(gè)小區(qū)間的面積ΔSi＝feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2i－1,n))）·eq\f(2，n)，∴Sn＝eq\i\su（i＝1，n,f）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2i－1，n)))·eq\f(2,n)＝eq\f(2,n）eq\i\su(i＝1，n,）eq\f(4i－12，n2)＝eq\f（8,n3)eq\i\su（i＝1,n,)（i－1)2＝eq\f(8,n3)[02＋12＋22＋…＋（n－1）2］＝eq\f（8，n3)·eq\f(n－1n2n－1，6)＝eq\f(4n－12n－1,3n2）。S＝eq\o(lim，\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o(lim，\s\do4(n→∞））eq\f（4n－12n－1,3n2）＝eq\f(4,3）eq\o(lim，\s\do4（n→∞))[(1－eq\f(1，n）)（2－eq\f（1，n））］＝eq\f(8，3），∴所求曲邊梯形面積為eq\f（8，3）。10．一輛汽車在直線形公路上做變速行駛，汽車在時(shí)刻t的速度為v（t）＝－t2＋50（單位：km/h)．試計(jì)算這輛汽車在0≤t≤2（單位:h）這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)．［解析］（1）分割:在[0,2]上等間隔插入n－1個(gè)點(diǎn)將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，記第i個(gè)小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（2i－1，n），\f(2i，n)))（i＝1，2,…,n)，Δt＝eq\f（2，n)，則汽車在時(shí)間段eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(2，n))），eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(2,n)，\f(4,n））)，…，eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(2n－1，n）,\f(2n，n)))上行駛的路程分別記為：Δs1,Δs2,…,Δsn，有sn＝eq\i\su（i＝1,n,Δ）si.（2)近似代替：取ξi＝eq\f（2i，n）（i＝1，2，…，n)．Δsi≈veq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2i，n））)·Δt＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2i，n)）)2＋50））·eq\f(2，n）＝－eq\f(4i2，n2）·eq\f(2,n）＋eq\f(100，n）（i＝1，2，…，n）．（3)求和:sn＝eq\i\su（i＝1，n,Δ）si＝eq\i\su(i＝1,n，）eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（4i2，n2）·\f(2，n)＋\f（100,n))）＝－eq\f(4×12，n2)·eq\f(2，n）－eq\f(4×22，n2)·eq\f(2，n）－…－eq\f（4×n2,n2)·eq\f（2,n)＋100＝－eq\f（8，n3)（12＋22＋…＋n2）＋100。＝－8·eq\f（1，3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,n）)）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)））＋100.(4）取極限：s＝eq\o（lim，\s\do4（n→∞）)sn＝eq\o(lim，\s\do4(n→∞）)eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－8·\f（1,3)·\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,2n)）)＋100）)＝eq\f（292,3)（km)．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題）下述對(duì)eq\o（lim,\s\do4(n→∞））eq\i\su（i＝1,n，[)（eq\f(15i，n））·(eq\f(5，n）)］的含義描述錯(cuò)誤的是（ABD)A．求由直線x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x圍成的圖形的面積B．求由直線x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x圍成的圖形的面積C．求由直線x＝0,x＝5，y＝0,y＝3x圍成的圖形的面積D．求由直線x＝0，x＝5，y＝0及曲線y＝eq\f(5,x)圍成的圖形的面積［解析]將區(qū)間［0，5］n等分,則每一區(qū)間的長(zhǎng)度為eq\f(5,n），各區(qū)間右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值為y＝eq\f(15i,n)，因此eq\i\su(i＝1，n,[)（eq\f(15i,n)）·（eq\f(5,n))]可以表示由直線x＝0、x＝5、y＝0和y＝3x圍成的圖形的面積的近似值．故選ABD．2．（多選題)直線x＝a，x＝b(a<b），y＝0和曲線y＝f（x)(f（x）〉0）所圍成的曲邊梯形的面積S，下列表達(dá)式錯(cuò)誤的是（ABC)A．eq\i\su（i＝1，n，f)(ξi)·eq\f（1，n） B．eq\o（lim,\s\do4(n→∞）)eq\i\su（i＝1，n,f）(ξi)·eq\f（1，n）C．eq\i\su（i＝1，n，f)(ξi）·eq\f(b－a，n） D．eq\o(lim,\s\do4（n→∞)）eq\i\su(i＝1，n,）eq\f（b－a,n)·f(ξi)［解析］∵△Si＝f（ξi)·eq\f（b－a，n)S＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞)）eq\i\su（i＝1,n，△)Si＝eq\o（lim,\s\do4（n→∞)）eq\i\su（i＝1,n,f)（ξi)·eq\f（b－a，n).故選ABC．二、填空題3．由直線x＝1，x＝2，y＝0與曲線y＝eq\f（1，x)所圍成的曲邊梯形，將區(qū)間［1,2]等分成4份，將曲邊梯形較長(zhǎng)的邊近似看作高,則曲邊梯形的面積是__eq\f（319,420)__.[解析］將區(qū)間[1，2]4等分，則Δx＝eq\f（1，4),每個(gè)區(qū)間左端點(diǎn)值為1＋eq\f（i－1，4）＝eq\f(3＋i，4）(i＝1，2，3，4)，所以小矩形的高為f（eq\f（3＋i，4）)＝eq\f(4，3＋i)，∴Sn＝eq\i\su（i＝1,4,f)（eq\f（3＋i，4)）×eq\f(1,4)＝eq\i\su（i＝1,4,）eq\f（1，3＋i)＝eq\f(1,4）＋eq\f(1，5）＋eq\f（1，6)＋eq\f(1,7）＝eq\f(319,420）.三、解答題4．火箭發(fā)射后ts的速度為v（t）(單位：m/s)，假定0≤t≤10，對(duì)函數(shù)v（t)，按v（t1）Δt＋v(t2)Δt＋…＋v（tn）Δt所作的和具有怎樣的實(shí)際意義？[解析]將區(qū)間[0，10］等分成n個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為Δt,在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，依次為：t1，t2，t3,…,ti,…,tn，雖然火箭的速度不是常數(shù)，但在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)其變化