人教A版選修圓錐曲線疑難解答

圓錐曲線疑難解答◆“曲線的方程”、“方程的曲線”兩個概念有什么區(qū)別和聯(lián)系？在“曲線的方程”這一概念中，主要的詞是“方程”，前面三個字“曲線的”，是用來限制“方程”的含義，說明這類方程不能是隨意的方程（例如不能是x＋y＋z＝0這樣的平面方程），而只能是表示“曲線”的方程。因此，“曲線的方程”這個概念反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系。反過來，“方程的曲線”這一概念中，主要的詞是“曲線”，關(guān)面三個字“方程的”，用來限制“功曲線”的含義，說明這類曲線只能是有“方程”的曲線（有的曲線沒有方程，例如對某一天的溫度變化曲線，通常列不出方程）。因此“方程的曲線”這個概念反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形。但這兩個不同概念有著緊密的聯(lián)系，就是“點在曲線上”等價于“點的坐標適合于此曲線的方程”，即曲線上所有點的集合與此曲線的方程的解集之間能夠一一對立。◆學習教科書第52頁和第53頁上所列求曲線方程的五個步驟時，要注意些什么？第一，“建立適當?shù)闹苯亲鴺讼怠?，這里，“適當”是指坐標系的位置。到目前為止，應(yīng)掌握以下兩點：如果將坐標系的原點選在曲線上，那么曲線方程就會不含常數(shù)項；如果曲線有對稱軸，并且選對稱軸為x(y)軸，那么曲線方程就會不含y(x)的一次項。第二，這五個步驟的實質(zhì)是將產(chǎn)生曲線的幾何條件逐步轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，即解析化坐標化

文字語言中的幾何條件→數(shù)學符號語言中的等式→數(shù)學符號語言中含動點坐標等價變形

x，y的代數(shù)方程F(x，y)＝0→簡化了的x，y的代數(shù)方程f(x，y)＝0可此可見，曲線方程就是產(chǎn)生曲線的幾何條件的一種表現(xiàn)形式，這個形式的特點是“含動點坐標的代數(shù)方程?！钡谌?，求曲線方程時，這五個步驟不一定完全要實施，對于簡單的問題，化簡過程是等價變形，步驟（2），（5）往往可以省略。

◆在求軌跡方程并畫出軌跡曲線的簡圖時，要注意些什么？要注意防止遺漏和多余。防止遺漏的方法是先畫一張草圖，將分析進行得盡可能仔細一些，免得把容易發(fā)現(xiàn)的細節(jié)漏掉。例如，一個動圓與圓C：x2－6x＋y2＝0外切，且與y軸相切，求動圓圓心的軌跡。如果粗心大意，就會只得出一部分，即曲線y2＝12x(x≥0)。以后我們會知道這條曲線是頂點在原點，開口向右的拋線物）。而丟掉了軌跡的另一部分，即x軸的負半軸。如果先畫一張草圖，那么軸的負半軸為軌跡的一部分是很容易發(fā)現(xiàn)的。防止多余的方法是求出方程后，可以按照方程試著畫出曲線，如果畫出的曲線中有一部分（即使是一個點）不合題意，就必須舍去這部分曲線，剩余下來的曲線及其所對應(yīng)的方程才是所求的軌跡。教科書第53頁上的例3就說明了這個問題，在“解”的最后一段文字，把方程的解x＝0，y＝0對應(yīng)的原點O舍去了，因此，應(yīng)該把軌跡的方程改寫為(x≠0)；確定這一軌跡曲線時，最好在原點處畫一空心圓圈。總之，認真畫圖并從圖上細心加以分析，就能有效地防止遺漏和多余。

橢圓與雙曲線◆學習橢圓的標準方程（第71頁）時，要注意些什么？（1）把橢圓的位置特征與標準方程的形式統(tǒng)一起來，橢圓的位置由其中心的位置和焦點的位置確定，即“如果橢圓的中心在原點，焦點在x軸上。那么這個位置是標準位置，此時由于長軸也在x軸上，半長軸的平方a2是方程中含x2項的分母，所以方程為；如果橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，那么這個位置也是標準位置，此時由于長軸在x軸上，半長軸的平方a2是方程中含y2項的分母，所以方程為。（2）要求橢圓的標準方程包括“定位”和“定量”兩個方面。“定位”是指確定橢圓與坐標系的相對位置，在中心是原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式：“定量”則是指確定a2:b2的具體數(shù)值，常用待定系數(shù)法。（3）理解橢圓的對稱軸為坐標軸的原因。這是因為如果以曲線的對稱軸為x（或y）軸，那么曲線的方程中不含y（或x）的一次項。取橢圓的對稱軸為坐標軸，可以使橢圓方程只含x，y的二次項與常數(shù)項。由于x，y可以互換，所以標準方程出現(xiàn)了上述兩種形式。

◆怎樣討論曲線的幾何性質(zhì)？在中學里，除了直線這種簡單的情況以外，對于較為簡單的曲線，討論其幾何性質(zhì)一般包括以下四個方面：（1）確定曲線的范圍。由曲線方程F(x，y)＝0分別確定變量x與y的取值范圍，從而分別判斷曲線的左、右與上、下部分的“頂點”的分布情況。（2）判斷有沒有對稱性。在曲線方程F(x，y)＝0中，如果把x（或y）換成-x（或-y），方程不變，那么曲線關(guān)于y（或x）軸對稱；如果把與同時換成-x與-y，方程不變，那么曲線關(guān)于原點對稱（這時曲線關(guān)于x軸或y軸卻不一定對稱）。（3）求出在x軸、y軸上的截距，即求出曲線與坐標軸的交點（這種交點不一定是曲線的“頂點”）。這可以通過解由F(x，y)＝0與y＝0（x＝0）所組成的方程求得。（4）判斷有沒有漸近線。對于橢圓、雙曲線、拋物線等二次曲線，還要研究它的離心率在數(shù)值上有什么特征，等等?！羟髢蓷l曲線的交點的一般方法是什么？在解析幾何中，一般用解方程的方法來求出兩條曲線的交點的坐標。例如為了求直線Ax＋By＋C＝0與橢圓的交點，可以解方程組

這個方程組的解同時滿足兩個方程，因此以方程組的解為坐標的點是兩個方程所對應(yīng)的兩條曲線的公共點。如果方程組無實數(shù)解，表示直線與橢圓相離（無交點）；如果有且只有一個實數(shù)解，表示直線與橢圓相交（有兩個不同的交點）。那么，怎樣判斷上面方程組的解的個數(shù)呢？我們可以先從兩個方程中消去一個變量（例如消去y），得到關(guān)于另一個變量（例如x）的一個一元二次方程，然后利用有限的判別式Δ＝b2－4ac來作判斷。就是說，當Δ＞0時，方程組有兩個不同的實數(shù)解；當Δ＝0時，方程組有且只有一個實數(shù)解；當Δ＜0時，方程組沒有實數(shù)解。

◆學習橢圓的準線（第76頁）時，要注意些什么？（1）弄清橢圓與它的兩條準線的位置關(guān)系。如教科書上的圖2-18，兩條準線垂直于橢圓的長軸所在的直線。橢圓夾在兩條準線之間，兩條準線關(guān)于橢圓的短軸所在直線與橢圓的中心對稱。（2）巧記準線方程。首先記住準線與橢圓中心的距離是，然后根據(jù)準線的位置（指垂直于x軸還是垂直于y軸）寫出準線的方程。（3）掌握準線的性質(zhì)。如教科書第76~77頁所述，橢圓上任何一點到焦點的距離與它到相應(yīng)準線的距離之比等于離心率e，這里e是一個大于0且小于1的常數(shù)。（4）知道焦點到相應(yīng)準線的距離叫做焦準距，記作p，易知◆學習雙曲線的標準方程（第80頁~81頁）時，要注意些什么？（1）把雙曲線的標準位置（位置特征）與標準方程（方程特征）統(tǒng)一起來。如果雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，那么這個位置是標準位置。若使方程的右邊為1，則左邊兩項中含x2的項為正且分母為a2，含y2的項為負且分母為b2，所以方程為。（2）“定量”和“定位”。要求出雙曲線的標準方程，就要求出a2，b2兩個“待定系數(shù)”，于是需要兩個獨立的條件，按條件列出關(guān)于a2，b2的方程組，解得a2，b2的具體數(shù)值后，再按位置特征寫出標準方程。因此“定量”是指a，b，c等數(shù)值的確定；“定位”則是指除了中心在原點以外，判斷焦點在哪條坐標軸上，以便在使方程的右邊為1時，確定方程的左邊哪一項為正，哪一項為負，同時也就確定了a2，b2在方程中的位置。

◆學習雙曲線的漸近線時，要注意些什么？（1）明確雙曲線的漸近線是哪兩條直線，過雙曲線實軸的兩個端點與虛軸的兩個端點分別作對稱軸的平行線，它們是圍成一個矩形，其兩條對角線即為雙曲線的漸近線。畫雙曲線時，應(yīng)先畫出它的漸近線。（2）理解“漸近線”兩字的含義。當雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近，接近的程度是無限的，也可以這樣理解：當雙曲線的動點M沿著雙曲線無限遠離雙曲線的中心時，點M到這條直線的距離逐漸變小而無限趨近于0。（3）掌握根據(jù)雙曲線的標準方程求出它的漸近線方程的方法。最簡單且實用的方法是：把雙曲線標準方程中等號且右邊的1改成0，就得到了此雙曲線的漸近線方程。（4）掌握根據(jù)雙曲線的漸近線方程的方法。簡單且實用的方法是：如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程為(Ax＋By)(Ax－By)＝m，這里m是待定常數(shù)，其值可由題目中的已知條件確定?！綦p曲線與橢圓有哪些不同？（1）定義不同，圖形不同。我們可以提前閱看教科書第107頁~108頁上的圖表。在學習本章時，這份圖表要經(jīng)常翻閱。（2）有兩類特殊的雙曲線，它們有一些特殊的性質(zhì)。一類是等軸雙曲線。其主要性質(zhì)有：a－b，離心率，兩條漸近線互相垂直，等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項（見教科書第143頁上的第11題）等。另一類是共軛雙曲線，其主要性質(zhì)有：它們有共同的漸近線，它們的四個焦點共圓，它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1。等軸雙曲線是一個方程所對應(yīng)的幾何圖形。有兩支曲線：而互為共軛雙曲線則是兩個方程所對應(yīng)的幾何圖形，每個方程各對應(yīng)兩支曲線。等軸雙曲線也有它的共軛雙曲線。請同學們結(jié)合教科書上的圖2-24，對上述各點仔細體會（看著此圖，心里可想著等軸雙曲線進行對比）。

拋物線◆在學習拋物線的標準方程（第92頁）時，怎樣把位置特征和方程特點統(tǒng)一起來？教科書在第93頁上列出了一張圖表，對于這張圖表，還應(yīng)說明以下兩點：1.把握頂點、對稱軸、開口方向與方程形式的對應(yīng)關(guān)系：頂點在原點2.已知拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程時，可以根據(jù)平方項、一次項的分布畫一個草圖，進行初步的“定位”；再根據(jù)2p的數(shù)值來“定量”，即求出的值，然后把兩者結(jié)合起來即可。

◆“與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個交點”（第98頁練習第3題）。這樣

的直線是否拋物線的切線？為什么？不是。與圓有且只有一個交點的直線，稱為圓的切線。這一定只適合于圓。當然也可以擴大到橢圓與其他一些曲線，但不適合于雙曲線和拋物線。例如，x軸與拋物線y2＝2px(p＞0)顯然有且只有一個交點，但對于這條拋物線來說，只有y軸是它的切線，x軸不是它的切線。又如，在高等數(shù)學中可以證明，平行于雙曲線的漸近線的直線與雙曲線有且只有一個交點，但它不是雙曲線的切線。在高等數(shù)學中，曲線在某一點處的切線是這樣定義的：如圖，已知P點是曲線C的某一點，l是經(jīng)過點P的一條割線，與C相交于點Q1，讓l1繞著P旋轉(zhuǎn)到l2的位置，l2與C點相交于點Q2，將這一繞點P旋轉(zhuǎn)的過程繼續(xù)下去，得到一系列割線l1，l2…，它們與C的交點Q1，Q2…逐步向點P靠近。那么，我們把這一系列割線的極限位置叫做曲線C在點P處的切線。至于對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的處理，仍然是：

◆怎樣分析解題思路？這道題是：過拋物線焦點的一條相線與它交于兩點P，Q，通過點P和拋物線頂點的直線交準線于點M，求證直線MQ平行于拋物線的對稱軸。思路1：求出M，Q的縱坐標并進行比較，如果相等，則MQ∥x軸。為此，將方程聯(lián)立，解出直線OP的方程為，即。令得M點縱坐標得正由此可見，按這一思路去證，運算較為煩瑣。思路2：利用教科書第99頁上的第8題。即如果拋物線y2＝2px的焦點的一條直線和這條拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2那么y1y2＝－p2。設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，并從y2＝2px及中消去x，得到ky2－2py－kp2＝0，則有上述第8題結(jié)論y1y2＝－p2。即。又OP方程為令得。因為P(x1，y1)拋物線上，所以。從而。這一證法運算量較小。思路3：直線MQ的方程為y＝y(tǒng)0的充要條件是。將直線MO的方程和直線QF的方程聯(lián)立，它的解(x，y)就是點P的坐標，消去y0，可得y2＝2px可知MQ的方程為y＝y(tǒng)0的充要條件是點P在拋物線上，得證。這一證法巧用了充要條件來進行逆向思維，運用量也較小?！粼诶米鴺溯S的平移化簡二元二次方程時，要注意些什么？這里要考慮以下兩點：一是如何選擇新坐標系的原點，二是確定化簡的方向。后者比前者更為重要，以至于成為處理這一問題的關(guān)鍵。一般地，在方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A，C不同時為0)中：（1）當A≠0且C≠0時，化簡的方向是消去一次項，將方程化為αx2＋βy2＝Y(jié)（1）當A＝0或C＝0時，化簡的方向是消去y（或x）的一次項與常數(shù)項，將方程化為y2＝ax（或x2＝ay）的形式?；喌姆椒ㄊ谴ㄏ禂?shù)