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菱形學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握菱形的判定方法,以及符號語言的應(yīng)用.2、靈活運用判定方法進行有關(guān)的證明和計算.【重點難點】掌握并會應(yīng)用菱形的判定方法.菱形判定方法的應(yīng)用.知識概覽圖定義:一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形性質(zhì):四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角菱形判定:(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;(2)四條邊相等的四邊形是菱形;(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;(4)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形新課導(dǎo)引【問題鏈接】如右圖所示,兩張等寬的紙條交叉重疊在一起,重疊部分構(gòu)成一個四邊形ABCD,四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎?它與一般平行四邊形比較有什么區(qū)別?教材精華知識點1菱形的概念一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.如圖4-37所示.拓展菱形是一種特殊的平行四邊形,特殊之處就是“有一組鄰邊相等”.菱形的定義既是它的性質(zhì),也是它的差別方法.如果已知一個四邊形是菱形,那么它一定是平行四邊形并且有一組鄰邊相等;反之,如果已知一個四邊形是平行四邊形且有一組鄰邊相等,那么它一定是菱形.知識點2菱形的性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì).(2)菱形的四條邊都相等. (3)菱形的對角線互相垂直平分,并且每一條對角線平分一組對角.(4)菱形是軸對稱圖形.有兩條對稱軸,分別是兩條對角線所在的直線.如圖4-38所示,在菱形ABCD中,有如下結(jié)論:(1)AB=BC=CD=AD→四條邊都相等.(2)OA=OC,OB=OD,AC⊥BD一對角線互相垂直平分.(3)∠l=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8→每一條對角線平分一組對角.拓展菱形性質(zhì)的作用是:利用菱形的性質(zhì)可以證明線段相等、角相等、兩直線平行、兩直線垂直及有關(guān)計算.知識點3菱形的判定(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.(2)四條邊都相等的四邊形是菱形.(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.(4)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.拓展菱形的判定方法(1)和(3)是以平行四邊形為基礎(chǔ)的,而判定方法(2)和(4)是以四邊形為基礎(chǔ)的,這兩點一定要區(qū)別清楚.菱形的判別方法可用圖4-39表示.探究交流(1)有一組鄰邊相等的四邊形是菱形嗎?(2)對角線互相垂直的四邊形是菱形嗎?點撥(1)如圖4-40所示,AB=AD,顯然它不是菱形,所以四邊形若只有一組鄰邊相等,則它不一定是菱形(只有當(dāng)四邊形是平行四邊形且有一組鄰邊相等時,它才是菱形).(2)對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.如圖4-41所示,AC⊥BD,但顯然四邊形ABCD不是菱形.只有當(dāng)四邊形對角線互相垂直平分時,它才是菱形.知識點4菱形的面積菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半. 如圖4-42所示,菱形ABCD中,AC⊥BD,S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD=BD·OA+BD·OC=BD(OA+OC)=BD·AC.拓展(1)菱形的面積除了用對角線長求以外,也可以用底乘高來求,這取決于已知條件.(2)凡是對角線互相垂直的四邊形的面積都等于兩條對角線長的積的一半.課堂檢測基礎(chǔ)知識應(yīng)用題1、已知菱形的兩條對角線AC,BC的長分別為6cm和8cm,則邊長為cm,周長為cm,面積為cm2,高為cm.2、如圖4-44所示,在菱形ABCD中,正是AB的中點,且DE⊥AB,AB=a. (1)求∠ABC的度數(shù);(2)求對角線AC的長;(3)求菱形ABCD的面積.綜合應(yīng)用題3、如圖4-46所示,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B試說明△ABC是等邊三角形.4、如圖4-47所示,已知菱形ABCD的對角線AC,BD的長分別為16cm和12cm,DE⊥BC于E,求DE的長.探索創(chuàng)新題5、先閱讀下面的題目及解題過程,再根據(jù)要求回答問題.如圖4-48所示,在ABCD中,∠BAD的平分線與BC邊相交于點E,∠ABC的平分線與AD邊相交于點F,AE與BF相交于O,試說明四邊形ABEF是菱形.解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,①∴AD∥BC,②∴∠ABE+∠BAF=180°.③∵AE,BF分別是∠BAF,∠ABE的平分線,④∴∠1=∠2=∠BAF,∠3=∠4=∠ABE.⑤∴∠1+∠3=(∠BAF+∠ABE)=90°.⑥∴∠AOB=90°.⑦∴AE⊥BF.⑧∴四邊形ABEF是菱形.⑨(1)上述解題過程是否正確?;(2)如有錯誤,在第步到第步推理錯誤,應(yīng)在第步后添加如下步驟:.體驗中考1、如圖4-49所示,將一個長為10cm、寬為8cm的長方形紙片對折兩次后,沿所得矩形的兩鄰邊中點的連線(虛線)剪下,再打開,得到的菱形(如圖4-50所示)的面積為()A.10cm2B.20cm2C.40cm2D.80cm22、如圖4-51所示,一活動菱形衣架中,菱形的邊長均為16cm,若墻上釘子間距離AB=BC=16cm,則∠l=度.學(xué)后反思 附:課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析如圖4-43所示,由菱形對角線互相垂直平分可知OA=AC=3cm,OB=BD=4cm,由對角線互相垂直和勾股定理可求出邊長AB==5(cm),由于菱形四條邊都相等,所以周長是邊長的4倍,即周長為20cm,由于菱形面積等于兩條對角線長的積的一半,所以它的面積為AC·BD=×6×8=24(cm2),又因為S菱形=邊長×高=24,所以高==(cm).答案:520244.8【解題策略】此題運用了菱形的性質(zhì),應(yīng)重點掌握,靈活運用.2、分析本題考查菱形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是作輔助線,將菱形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題進行求解.解:(1)連接BD,交AC于點O.∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB∵E是AB的中點,且DE⊥AB,∴AD=BD.∴△ABD是等邊三角形.∴∠ABC=60°×2=120°.(2)∵四邊形ABCD是菱形,∴AC,BD互相垂直平分,∴OB=BD=AB=a∴OA=∴AC=2AO=.(3)S菱形ABCD=AC·BD=··a=.【解題策略】有一內(nèi)角為60°的菱形,已知邊長,便可求出對角線長、高、面積3、分析要說明△ABC是等邊三角形,已知中給出了∠BAD=2∠B,又因為兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,所以∠B=60°,因為菱形的鄰邊相等,可知△ABC是等腰三角形,從而得出△ABC是等邊三角形.解:因為四邊形ABCD是菱形,所以AB=BC,∠BAD+∠B=180°.又∠BAD=2∠B,所以∠B=60°.所以△ABC是等邊三角形.4、分析已知菱形的兩條對角線長,便可由勾股定理求出邊長,然后再利用菱形面積的兩種計算方法便可求出DE的長.解:在菱形ABCD中,BO=BD=6cm,CO=AC=8cm,BO⊥CO.在Rt△BOC中,BC2=BO2+CO2=62+82=102,∴BC=10.∵S菱形ABCD=AC·BD=BC·DE,∴×16×12=10·DE,∴DE=(cm).【解題策略】菱形兩條對角線分菱形為4個直角三角形,勾股定理常用于菱形的有關(guān)計算,另外菱形的面積的兩種計算方法可以用來列方程,求出未知量.5、分析要說明四邊形ABEF是菱形,只得到對角線互相垂直是不夠的,還需要說明此四邊形是平行四邊形,此題主要考查邏輯推理能力.答案:(1)不正確(2)⑧⑨⑧∵∠4=∠AFB,∠4=∠3,∴∠3=∠AFB,∴AF=AB.同理BE=AB.∴AF=BE,又∵AF∥BE,∴四邊形
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