探討定積分不等式的證明方法

商討定積分不等式的證明方法綱要：文章針對(duì)被積函數(shù)的特征，給出了幾種對(duì)于定積分不等式的有效證明方法。重點(diǎn)詞：定積分不等式證法不等式的證明在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中很常有，但對(duì)于定積分不等式的證明卻向來是一個(gè)難點(diǎn)。要證明定積分不等式，第一要看被積函數(shù)，其性質(zhì)確立證明方法。本文依據(jù)被積函數(shù)的連續(xù)性、單一性、可導(dǎo)性平分別給出幾種證法。1．運(yùn)用定積分中值定理證明定積分中值定理是將定積分轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值與該區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，馬上定積分轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)來證明不等式。af(x)dx例1：設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)且單一不增，證明a∈[0,1]有01≥af(x)dx．0aa1證明：由原不等式變形得0f(x)dx≥a（f(x)dx00a即是要證：(1a)f(x)dx≥,0

f(x)dx),對(duì)左式，f(x)在[0,1]上連續(xù)，故由定積分中值定理知：10，a使aa(1a)f(1),（1a)f(x)dx0a，1a(1a)f(2)同理對(duì)右式：2af(x)dx,1使0明顯，1＜2又f(x)在[0,1]上單一不增，∴f()≥f()12a1故原不等式0f(x)dx≥af(x)dx建立.0定積分中值定理的運(yùn)用直觀易懂，它的條件也極其簡(jiǎn)單，易于掌握。2．運(yùn)用協(xié)助函數(shù)證明結(jié)構(gòu)協(xié)助函數(shù)F(x)證明不等式，第一是做函數(shù)將要證結(jié)論中的積分上限（下限）換成x，移項(xiàng)使不等式的一邊為零，另一邊的表達(dá)式即是協(xié)助函數(shù)。而后再求F’(x)，并運(yùn)用單一性及區(qū)間端點(diǎn)值特征證明不等式。例2：設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù),且f(x)>0.bb1(ba)2試證：f(x)dxdxaaf(x)證明：結(jié)構(gòu)協(xié)助函數(shù)F(x)xx1(xa)2af(t)dtdt（將b換成x），af(t)則F'(x)x11x2(xa)f(x)dtf(x)f(t)dtaf(t)a=xf(x)xf(t)xdtdt2dtaf(t)af(x)axf(x)f(t)2)dt=(f(t)f(x)a∵f(x)＞0，∴f(x)f(t)20，f(t)f(x)又a<x，∴F'(x)0，即F(x)單一不減，又F(a)0，∴F(b)F(a)0，故bf(x)dxb1dx(b2aaf(x)a)．該題結(jié)構(gòu)出積分上限函數(shù)，其目的是用單一性來證明不等式。這類方法直截了當(dāng)、斬釘截鐵。3．運(yùn)用定積分的性質(zhì)和幾何意義證明與定積分的觀點(diǎn)相聯(lián)系“以直代曲”的“近似取代”的思想，加上積分的幾何直觀使得不等式的證明變得更為簡(jiǎn)捷。例３：證明不等式3sinxdx．x21e(1x)12e證明：因?yàn)?x3sinx1時(shí)ex(1x2)e(1x2)，兩頭積分得：3sinxdx1311x(12e11x212eex)例４：設(shè)a,b1時(shí)，證明不等式abea1blnb．證明：blnbblnxdxb1，ea1a11exdx1，0依據(jù)定積分的幾何意義知：（a1)bba1blnbea1b，lnxdx0exdx1即abea1blnb.本題重點(diǎn)在于深刻意會(huì)定積分觀點(diǎn)的由來，即求曲邊梯形的面積問題推導(dǎo)的四個(gè)步驟：切割、取點(diǎn)、作和與求極限，這里充分運(yùn)用了“近似取代”的幾何直觀來加以證明。4．運(yùn)用拉格朗日中值定理證明利用拉格朗日中值定理證明不等式，第一要結(jié)構(gòu)知足中值定理?xiàng)l件的函數(shù)和區(qū)間，而后進(jìn)行不等式放縮，再用定積分比較定理、估值定理或函數(shù)的絕對(duì)值不等式等。例5：設(shè)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x）M，f(a)0，bM(ba)2.試證：f(x)dxa2證明：由題設(shè)x[a,b]，f(x)在[a，b]上都知足拉氏中值定理的條件，于是有：f(x)f(x)f(a)f'()(xa)，(a,x)，f'(x）M，∴f(x)M(xa)兩邊在[a，b]上定積分得：bbM(ba)2.f(x)dxM(ba)dxaa2本題運(yùn)用拉格朗日中值定理幾乎如行云流水，假如采納其余方法明顯比較繁瑣。5．運(yùn)用Taylor公式證明當(dāng)已知被積函數(shù)f(x)二階或二階以上可導(dǎo)且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí)，往常采納泰勒睜開式來證明。第一要寫出f(x)的泰勒睜開式，而后依據(jù)題意寫出某些點(diǎn)的泰勒睜開式，再進(jìn)行適合的放縮以變?yōu)椴坏仁剑詈笥枚ǚe分的性質(zhì)進(jìn)行辦理。例6：設(shè)f(x)在[a,b]上單一增添，且0f"(x)＞，證明(ba)f(a)＜bf(x)dx＜(ba)f(a)f(b)a2證明：先證左不等號(hào)：(ba)f(a)＜bf(x)dx，ax[a,b]，x＞a，f(x)單一增添，因此f(x)＞f(a)b故f(x)dx＞(ba)f(a)（1）ab再證右不等號(hào)：a

f(a)f(b)f(x)dx＜(ba)，2t[a,b]，f(t)在點(diǎn)x處的Taylor展式為：f(t)f(x)f'(x)(tx)1f"()(tx)2,此中在t與x之間，2!因f"()＞0，因此f(t)＞f(x)f'(x)(tx)，將tb,ta分別代入上式并相加得：f(a)f(b)＞2f(x)(ab)f'(x)2xf(x)，將此式在[a,b]上積分得：f(a)f(b)(ba)＞2bbbf(x)dx(ab)f'(x)dx2xf(x)dx，aaa有2[f(a)f(b)](ba)＞4bf(x)dx，abf(x)dx＜(bf(a)f(b)故aa)（2）2綜合（1）、（2），原不等式得證.Taylor公式的應(yīng)用在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個(gè)絕對(duì)的難點(diǎn)，常常很難掌握。一個(gè)題目在你用其余方式很難解決時(shí)，Taylor公式常會(huì)給你意想不到的打破。6．運(yùn)用柯西—斯瓦茲不等式證明柯西—斯瓦茲不等式：例7：設(shè)f(x)在[0,1]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(1)f(0)1，12dx1.試證：[f'(x)]0證明：∵f(1)1f(0)f'(x)dx，0又f(1)f(0)1，因此1f'(x)dx1，0因f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，因此f(x)在[0,1]上連續(xù)，1111，由柯西—斯瓦茲不等式得：dx[f'(x)]2dx(f'(x)dx)200011.即是[f'(x)]2dx0柯西—斯瓦茲不等式是大學(xué)數(shù)學(xué)中的又一難點(diǎn)，固然記憶起來其實(shí)不困難，但應(yīng)用是靈巧多變的。7．運(yùn)用重積分證明重積分要化為定積分來計(jì)算，這是盡人皆知的事實(shí)，但反之定積分的乘積常常又能夠化為重積分，將定積分不等式的證明化為重積分不等式來證明，也是一種常有的方法。例8：設(shè)f(x)是在[0，1]上單一增添的連續(xù)函數(shù)，13(x)dx1xff00試證：12(x)dx1xff00

32

(x)dx.(x)dx1xf312(x)dx13(x)dx12(x)dx證明：設(shè)I(x)dxffxf0000=xf3(x)f2(y)dxdyf3(x)f2(y)ydxdyDD=f3(x)f2(y)(xy)dxdy（）D1相同If2(x)f3(y)(yx)dxdy（2）D（1）+（2）可得2I(xy)f2(x)f3(y)(f(x)f(y))dxdy，D因?yàn)閒(x)在[0，1]上單一增添，故(x∴I01xf3(x)dx1f2(x)dx，進(jìn)而00131f3(x)d