復(fù)變答案習(xí)題

二1.求射wz下圓周的像.解：設(shè)

wv則yyyxxxxyxy

)為以u(píng)iv所以,

yi4x

v,u所以即表示橢圓

2.在射下，下列平上的圖形映為平上的什圖形，設(shè)或uππ（）r；;4(3)x=a,y=bb為)解：設(shè)wx)yi以

,v.(1)記

，則r

π

成平面內(nèi)軸上從到的一段，即π(2)記

，則

π

π,0映了平面扇形，即.1/13(3)記則直線映成了uy

,即

(

是原點(diǎn)焦點(diǎn)張口向左的拋物線將b映成了ux,即b

(b

)是原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向右拋物線如圖所.求下列極限.(1)

;解：,則t于是);(2)

t

Re(z)x解設(shè)=+i，則z

Re(z)zx

11顯當(dāng)取不同的值時(shí)f)限不同所以限不存.（）i

z(1)

；：i

z(1

)

=i

zz(iz)(z)

i

1.z(i)2/13zzz（）.zz2)(z解：為z(zzzzz所以.zz.討論下列函數(shù)的連續(xù)性：

zz

(1)

f()

y

0,解：為f()

()(0,0)

xyx

令=則()

x

y1因當(dāng)取不同值時(shí)，()的取不同所以()在=0處極限不存在.從而)在=0處連，除外續(xù)(2)

f(z)

x

xyy

,

z0,

0,

z0.xy解：為,xyx所以()

xyxy

f(0)所以()在個(gè)平.下函數(shù)在何求導(dǎo)？并求其數(shù)(1)

f()

(n為正數(shù)；解：為為正數(shù)所以z在整個(gè)平面上可導(dǎo).f

(

(2)

f(z

z(zz

解：為)為理函數(shù)，所以)在zz處導(dǎo)從而)除導(dǎo)3/13f

(2)z(z(

zz(z((3)

f(z.7解：f)除=處f5

3(57)z8)561(5zz(4)

f()

xyxyxyx

解：為()

xxyxy)(i)(1i).xyyxzz所以()除=0處且f

i)

試斷下列數(shù)可導(dǎo)性解性(1)

f(z

x

;解：u(x)xy

,()在面上可微

,

xy,

xy,

以要得

，只當(dāng)=0時(shí)從fz在=0處導(dǎo)，在全平面上不解(2)

f()

y

解：(x,y),(x,y)全平上可

x,

0,

只當(dāng)=0時(shí)即(處有

所以)在=0處導(dǎo)在全平面上解(3)

f()y;解：(xy)

,,y)

在全面上可微.

,

0,

y

,

以只當(dāng)y時(shí)，才滿足程4/13：數(shù)2：數(shù)2從而)在3y處可導(dǎo)，在全面不解(4)f()z

解：設(shè)x，則)y))u(x,),vx)

x

i(y

y

,

xy

xy

y

所只有當(dāng)才滿足C-R方.從而)在=0處導(dǎo)處證明區(qū)域內(nèi)滿足下列條件之一的解析函數(shù)必為常(1)f;明：為，所以,.所以為數(shù)，是()為常數(shù)(2)f()析證明設(shè)()v在D內(nèi)解則

,

而()為解函，以

所以

,即從而為常數(shù)，為常數(shù)，即()為數(shù)(3)fz)=常數(shù)證明fz為常=C

因?yàn)?解條件成。即=C從而()為數(shù)f)=常.5/13與，f(z)，得2所12u得條件與，f(z)，得2所12u得條件證：似C得因?yàn)镃-R方程=C所以)為數(shù)5.f()|=常數(shù)明：為fz)|=，對(duì)進(jìn)論若=0，則vfz)=0為數(shù)若，則()但(z)(z)

即2+v2C則兩對(duì),y分求有

vuv利用條件，由于()在D解析，有

u以以v即Cv=C,于是)為數(shù).(6)argfz)=數(shù).證明：f)=常，即

(/)于是1/u)

uu()

)

u(u(

)

)

u0u解得，即v為，是)為常數(shù)8.設(shè)3nxy+ix

lxy2在平上析，求的.解：為)解從足條

nxy

x

,

2lxy

6/13

nl以lm.列數(shù)在其數(shù)(1)f()=3+3xyi-32-yi證明u(3-3xyvy)=3y3

在全平可微且

x

,

,

xy

x

y

以()在平面上滿足C-R方，處處f

x

ix

y

i)

(2)

f(z)

(xcosyy)

(ysiny)：()(y

,y)=e

(yysiny處且

(xcosysiny)(cos)(cosyy)(ycos(cos)

(cossiny)(sin)

(yy)

(cosy(yxy

(cosysiny)所以

所以)處處f

(xyyy)

(y))

yy(eysinyy

y)

e

y

(1)10.設(shè)

0.

0.求證f)在=0處．(2)f)在=0滿足柯西—黎方程．(3)f不存在．證明∵limfzz

而lim

xx

y

7/13xx11xx11x∵x

x

∴0

xy≤

32

xy∴

lim

xyxy

理lim

xx

∴

lim

f

f

x

∴(z在=0處連續(xù)．考極

f()f

當(dāng)z沿軸趨向于零時(shí)，=iy，lim

iy

．i當(dāng)沿軸趨向于零時(shí)，x有l(wèi)im

f

們分為

,

∴

,

∴足C-R條．當(dāng)沿x趨于零時(shí)，lim

f

i∴l(xiāng)im

不在．即f(z在=0處導(dǎo)域D位于上半平面，D是D關(guān)x軸的稱區(qū)域，f(z)在區(qū)域D內(nèi)析，證

fz域D內(nèi)解．證明設(shè)()=u(x(xy，為f()在域D內(nèi)解析所u(xy),v(xy在內(nèi)且足方，即

,

．f

x

xy

x,y

得8/1311xyxyln3i11xyxyln3i故x(x,)在D內(nèi)微且足C-R條件

從而內(nèi)析計(jì)算下列各值?ei=e2?(cos1+isin1)

πi

π

i2eRee

i

Re

ycosisin

y

e

i

i

e

設(shè)沿過原點(diǎn)放射線趨于∞點(diǎn)，試討論()=的極限．解令ri，對(duì)于，→，r．故limri

r

i

r

i

r

．r

r以f．z15.計(jì)算下各值．ln

=ln13iarg

3lnarctan2ln3ln23

π6

2

π

ii)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i9/13

π

i試討論函數(shù))=||+ln連續(xù)性與導(dǎo)．解：然(z在面上連續(xù)，lnz負(fù)實(shí)軸及點(diǎn)外處連．設(shè)z=y，g)|

x2y

x2

,

在復(fù)平面內(nèi)可微．xy2

xx

yxy

故(z)=|復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．從fxz|+ln在平面上處處不可．fz)復(fù)面原及實(shí)外處連．17.算列各．(1)

πii

iln2ik44

ππ

iisinln

2

π

2isin2

isin5

isin

(3)

πi

π10/1322i22i(4

π

πi

ππππii

πi

ππ

π4i2.計(jì)算列各值cos

iei2

22sin

eii2i2i

eisin12iee22

e

i

sinisini213

2i(4)

12i

sinycos

sin

sin

sin

sin

ii

ln1

arctan

i1iln2

1i5π解列程(1)z．

1iarctan24

11/1311ln232kπi2i11ln232kπi2i.cosisin2解：lni

12

πl(wèi)n3,

k3i：

即

ln2

π3

πi2

13

πiπilnπ解：lni即ln0

i

解：

πl(wèi)nkiln2

i．若zx+i，求證(1)z+icosx?eie：sinz2i2i2i

ycos.shy(2)cosz=cos?ch-isin?i1：2

i

1e2

12

cosisin

.isinx

2

yx.shyz2

=sin2x

y證明：sinz

i

icosysinz

x.sh

ysin

x

y

y

x

xsh