人教A版等差數(shù)列創(chuàng)新題剖析

等差數(shù)列創(chuàng)新題剖析閱讀理解型例1如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的公方差。（1）設(shè)數(shù)列是公方差為p的等方差數(shù)列，求和的關(guān)系式；（2）若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列。解：（1）由等方差數(shù)列的定義可知：（2）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，則，又是等方差數(shù)列，所以，所以，即，所以d＝0，即是常數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：等方差數(shù)列源于等差數(shù)列的類比遷移，只要我們能熟練地掌握等差數(shù)列的定義，與此相對(duì)應(yīng)的遷移問(wèn)題都可以獲得解決。從解題的角度來(lái)看，等差數(shù)列的判斷利用定義是不錯(cuò)的選擇。開(kāi)放探索型例2、已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，有（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）試問(wèn)是否是數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩邊同除以，得，即對(duì)時(shí)成立，所以是以為首項(xiàng)，以d＝4為公差的等差數(shù)列。（2）由（1）得，所以，所以，假設(shè)是數(shù)列中的第t項(xiàng)，則，解得，所以是數(shù)列中的第11項(xiàng).點(diǎn)評(píng)：要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，常用方法是定義法，即（d是常數(shù)）是等差數(shù)列。對(duì)于本題這種探索性題型，一般先假設(shè)其成立，然后按常規(guī)求解，如果得出結(jié)果符合條件，則結(jié)論成立，否則結(jié)論不成立。信息遷移型例3使用計(jì)數(shù)器依照預(yù)先編制的程序進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)依次輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)為1和1時(shí)，輸出的結(jié)果為2；當(dāng)依次輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)為m和n時(shí)，輸出的結(jié)果為k；當(dāng)依次輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)為m和n＋1時(shí)，輸出的結(jié)果為k＋3，則當(dāng)依次輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)為1和n時(shí)，輸出的結(jié)果應(yīng)為_(kāi)________.解：題中條件可表示為，于是有，即輸入的兩個(gè)數(shù)據(jù)中第一個(gè)數(shù)不變，第二個(gè)數(shù)增加1時(shí)，輸出的結(jié)果增加3，亦即組成公差為d＝3的等差數(shù)列，故，即結(jié)果為3n－1.點(diǎn)評(píng)：本題是一道典型的具有時(shí)代信息的信息遷移題，將一個(gè)等差數(shù)列求通項(xiàng)的問(wèn)題非常精彩地嵌入到一個(gè)“計(jì)數(shù)器”中，獨(dú)特而又巧妙地考查了同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)建模能力，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)構(gòu)造出的“”能夠理解其表達(dá)的意義。推理趣味型例4、注意力不集中的同學(xué)常將“6”錯(cuò)看成“9”，或?qū)ⅰ?”錯(cuò)看成“6”，在解一道填空題“在等差數(shù)列中，d＝6，則＝_________”時(shí)，某同學(xué)將首項(xiàng)“9”錯(cuò)看成“6”，而且將公差“6”錯(cuò)看成“9”，在沒(méi)有看錯(cuò)其他數(shù)字，也沒(méi)有出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤的情況下，他得到的答案是24，根據(jù)這些信息，推算正確答案應(yīng)為_(kāi)_______.解：這位同學(xué)的解答為，即n＝3，正確的答案應(yīng)為點(diǎn)評(píng)：本題的已知條件正確給出，而在代入運(yùn)算時(shí)需要按照設(shè)計(jì)的錯(cuò)誤方式進(jìn)行，先得到