常微分方程組數(shù)值解

常微分方程組數(shù)值解其中x

是質(zhì)量，m是離開(kāi)平衡位o的距離，t為時(shí)間，c為彈簧系數(shù)。

例如：彈簧一質(zhì)量系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題經(jīng)一定的簡(jiǎn)化后可用一個(gè)二階常微分方程來(lái)描述。

在具體求解微分方程時(shí)，需具備某種定解條件，微分方程和定解條件合在一起組成定解問(wèn)題。定解條件有兩種：一種是給出積分曲線在初始點(diǎn)的狀態(tài)，稱為初始條件，相應(yīng)的定解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題。另一類是給出積分曲線首尾兩端的狀態(tài)，稱為，相應(yīng)的定解問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題。mxxoc

我們現(xiàn)在討論常微分方程的數(shù)值解法。先從最簡(jiǎn)單的一階常微分方程的初值問(wèn)題出發(fā)開(kāi)始討論。

由常微分方程理論可知：只要上式中的函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G={a≤x≤b,－∞＜y＜∞}內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足Lipschitz條件，即存在與x,y無(wú)關(guān)的常數(shù)L，使

至于初值問(wèn)題（1）的數(shù)值解法，常采用差分方法，即把一個(gè)連續(xù)的初值問(wèn)題離散化為一個(gè)差分方程來(lái)求解。具體地，將（1）離散化后，求找其解y=y(x)在一系列離散點(diǎn)

下面分析均假定滿足上述條件。

對(duì)于初值問(wèn)題（1），先將其離散化，即把[a,b]區(qū)間n等分，得各離散節(jié)點(diǎn)一、Euler公式§2Euler方法

因?yàn)槌踔祮?wèn)題中的初始條件已知，即可利用已知的來(lái)求出下一節(jié)點(diǎn)處的近似值；再?gòu)膩?lái)求如此繼續(xù)，直到求出為止。這種用按節(jié)點(diǎn)的排列順序一步一步地向前推進(jìn)的方式求解的差分算法稱為“步進(jìn)式”或“遞推式”算法，它是初值問(wèn)題數(shù)值解法的各種差分格式的共同特點(diǎn)。因此，只要能寫(xiě)出由前幾步已知信息來(lái)計(jì)算的遞推公式（即差分格式），即可完全表達(dá)這種算法。若將和的近似值分別記為和，則得：（3）

這就是Euler公式（格式）。利用它可由初值出發(fā)逐步算出。這類形式的方法也稱為差分方法。定義：如果局部截?cái)嗾`差為，則這種數(shù)值算法的精度為p階，故Euler格式的精度為一階。從幾何意義上來(lái)看，如圖，當(dāng)假定為準(zhǔn)確值，即在

的前提下來(lái)估計(jì)誤差，這種截?cái)嗾`差稱為局部截?cái)嗾`差。由（2）、（3）知Euler公式在處的局部截?cái)嗾`差為：由方程（1）知，其積分曲線y=f(x)上任一點(diǎn)(x,y)的切線斜率都等于函數(shù)f(x,y)的值。從初始點(diǎn)（即點(diǎn)）出發(fā)，作積分曲線y=y(x)在點(diǎn)上的切線（其斜率為）與直線相交與點(diǎn)（即點(diǎn)），得到作為的近似值，則有yOxy=f(x)相比較知，這時(shí)用切線近似代替了曲線段點(diǎn)近似代替了點(diǎn)，近似代替了近似代替了。遞推繼續(xù)從點(diǎn)出發(fā)，作一斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)（即點(diǎn)），得到作為的近似值。…如此直到點(diǎn)。這樣得出一條折線近似代替積分曲線，當(dāng)步數(shù)越多時(shí)，由于誤差的積累，折線可能會(huì)越

解：為便于進(jìn)行比較，我們后面將用多種數(shù)值方法求解上述初值問(wèn)題。這里先用Euler公式，此處具體格式為：取步長(zhǎng)為h=0.1，計(jì)算結(jié)果略。

由結(jié)果可見(jiàn)Euler方法的精度很差。即為Euler格式（3）。

因?yàn)椴钌淌俏⒎值慕?，所以Euler格式也可用差商近似代替導(dǎo)數(shù)的離散方法來(lái)得到。在節(jié)點(diǎn)處有：二后退Euler格式

顯然Euler格式具有遞推性，在計(jì)算時(shí)只要用到前一步所得的結(jié)果一個(gè)信息就夠了，因此是一種單步格式或稱一步格式。若用不同的數(shù)值微分計(jì)算方法也可導(dǎo)出其它形式的算法。例如：用向后差商表示的數(shù)值微分公式

（6）稱為向后Euler公式，又稱為隱式Euler公式(后退Euler格式)。后退Euler公式與Euler公式有著本質(zhì)的區(qū)別，后者是關(guān)于的一個(gè)直接計(jì)算公式，這類公式稱作顯式的；而前者，即（6）中右端含有未知的，它實(shí)際上是關(guān)于的一個(gè)函數(shù)方程。這類公式稱作隱式的。顯式與隱式兩類方法各有特點(diǎn)，使用顯式算法遠(yuǎn)比隱式算法方便，但考慮數(shù)值穩(wěn)定性等因素，人們常選用隱式算法。

隱試算法（6）常用迭代法來(lái)實(shí)現(xiàn)，而迭代過(guò)程實(shí)質(zhì)上是逐步顯式化。

設(shè)用顯式Euler格式算出作迭代初值，以此代入（6）右端，使之轉(zhuǎn)化為顯示，直接計(jì)算得：，再用代入（6）右端又有：若迭代過(guò)程收斂，則極限值必為隱式方程（6）的解，從而可獲得后退Euler方法的解。如此反復(fù)進(jìn)行可得序列

。從幾何上看，梯形公式是取區(qū)間兩端點(diǎn)處斜率的平均斜率。比較Euler公式和后退歐拉公式的截?cái)嗾`差公式（4），（7）易見(jiàn)兩者為同階，但符號(hào)相反，因此就想到將這兩種算法進(jìn)行算術(shù)平均，其結(jié)果可能消除誤差的主要部分，而獲得更高精度的結(jié)果。這種平均方法稱為梯形方法，公式為：三梯形公式Euler方法是過(guò)點(diǎn)以斜率引直線交的點(diǎn)A。后退Euler方法是以點(diǎn)處的斜率為斜率，從點(diǎn)引直線交于另一點(diǎn)B。

A、B兩點(diǎn)都偏離點(diǎn)點(diǎn)，梯形方法就是取A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)P作為Q2近似，上圖表明梯形方法確實(shí)改善了精度。y=f(x)xyoABP從而也可得二步Euler公式及其截?cái)嗾`差為：也可以由導(dǎo)數(shù)的中心差分近似式得到：四二步歐拉公式將區(qū)間[a,b]n等分，得子區(qū)間在第i+1個(gè)子區(qū)間上，積分

Euler公式、后退Euler公式以及梯形公式，二步Euler公式均可利用前面的數(shù)值積分技術(shù)得到。例如：對(duì)于初值問(wèn)題：對(duì)右端利用左矩形公式可得即Euler格式各公式的截?cái)嗾`差可直接利用數(shù)值積分截?cái)嗾`差估計(jì)而得。從而可知梯形公式（8）的截?cái)嗾`差為：梯形公式也是隱式的，可用迭代法求解，與后退Euler方法一樣，仍用Euler方法提供迭代初值，其迭代格式為：為分析迭代過(guò)程的收斂性，將（12）與（8）相減得：（12）k=0，1，2，…..L為f(x,y)關(guān)于y的Lipschitz常數(shù).如果選取h充分小使得則.時(shí)有這表明迭代過(guò)程（12）是收斂于（8）的解的。

五改進(jìn)的Euler公式這一公式也可改寫(xiě)為：

（15）(14)預(yù)測(cè)（13）

校正

上面已看到Euler公式計(jì)算量小但精度差，梯形方法雖然提高了計(jì)算精度，但算法復(fù)雜計(jì)算量大，在應(yīng)用（12）進(jìn)行迭代時(shí)，每次均要計(jì)算函數(shù)f的值，而迭代又要反復(fù)進(jìn)行多次，計(jì)算量很大，難以預(yù)測(cè)。為了控制計(jì)算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步計(jì)算，這就簡(jiǎn)化了計(jì)算。

具體地，先用Euler公式求得一個(gè)初步的近似值稱之為預(yù)測(cè)值。預(yù)測(cè)值的精度可能很差。再用梯形公式（8）將它校正一次，即按（12）式迭代一次得，這個(gè)結(jié)果稱為校正值，這樣建立的預(yù)測(cè)校正系統(tǒng)稱為改進(jìn)的Euler公式。

式：上式表為下列平均化形（16）

歐拉公式和改進(jìn)歐拉公式分及兩種格式的計(jì)算結(jié)果分別列表如下別為：解：取步長(zhǎng)h=0.1并比較兩法所得計(jì)算結(jié)果的精度。例：試分別用函數(shù)公式和改進(jìn)的歐拉公式求解：

由表可見(jiàn)，與精確解相比，改進(jìn)的Euler公式的精度較Euler公式有明顯的提高。下面再看兩步Euler公式（9），除了給出初值外，還需要借助其它單步法（如Euler公式，后退Euler公式及梯形公式等）再提供一個(gè)Euler公式改進(jìn)的Euler公式精確解01110.10.20.310.90000000.81000000.72900000.34867840.90500000.81902500.74121760.36854100.90483740.81873080.74081820.3678794啟動(dòng)值然后才能啟動(dòng)計(jì)算公式依次計(jì)算

用兩步Euler公式與梯形公式相匹配，又可得到下面預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)：校正：（17）（18）兩步法優(yōu)美是由于它調(diào)用了兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的信息，從而能以較少的計(jì)算量獲得較高的精度。

預(yù)測(cè)：與改進(jìn)的Euler公式（13）（14）相比較易見(jiàn)（17）（18）的一個(gè)突出特點(diǎn)是它的預(yù)測(cè)公式與校正公式具有同階精度。據(jù)此可以比較方便的估計(jì)截?cái)嗾`差，并基于這種估計(jì)，可以提供一種提高精度的簡(jiǎn)易方法。再由梯形公式截?cái)嗾`差公式（11）知：校正公式（18）的截?cái)嗾`差為：

比較（19）（20）可見(jiàn)，校正值的誤差大約只是預(yù)測(cè)值的誤差的1/4(符號(hào)相反).即

,由此導(dǎo)出誤差的事后估計(jì):

若預(yù)測(cè)公式（17）中的和都是準(zhǔn)確的。即則由兩步Euler公式的截?cái)嗾`差公式（10）知：1預(yù)測(cè):

2改進(jìn):

3計(jì)算:

可以期望利用這樣估計(jì)出的誤差作為計(jì)算結(jié)果的一種補(bǔ)償,有可能使精度得到改善.

以和分別表示第I步的預(yù)測(cè)值和校正值,按估計(jì)式(21),

和分別作為和的改進(jìn)值,在校正值尚未求出之前,可用上一步的偏差替代來(lái)改進(jìn)預(yù)測(cè)值.這樣設(shè)計(jì)的計(jì)算方案有如下六個(gè)環(huán)節(jié):4校正:

5改進(jìn):6計(jì)算：§3Runge-Kutta方法有解y=y（x）。Taylor展開(kāi)有：(*)一Taylor級(jí)數(shù)法運(yùn)用上述方案計(jì)算時(shí)，要用到先一步的信息，，和更前一步的。因此啟動(dòng)算法之步必須給出啟動(dòng)值和。可用其它單步法（例如改進(jìn)的Euler方法）來(lái)計(jì)算，則一般取為0。計(jì)算結(jié)果表明，這種簡(jiǎn)單的處理方法通?？梢垣@得令人滿意的效果。而具體則有:

式中y（x）的各階導(dǎo)數(shù)可由方程（*）用函數(shù)f來(lái)表達(dá)。引進(jìn)函數(shù)序列來(lái)描述求導(dǎo)過(guò)程：若在(1)中右端取前面若干項(xiàng),并且在處按(2)計(jì)算系數(shù)的近似值的近似值,可導(dǎo)出如下Taylor公式:

其中p=1時(shí)一階Taylor展開(kāi)式即為

而提高Taylor公式的階p即可提高計(jì)算結(jié)果精度.P階Taylor展開(kāi)的局部截?cái)嗾`差為:Euler公式因而具有P階精度:

對(duì)于一階常微分方程（1）的解y=y(x)，可利用中值定理得：，即也即式中K=（5）二Runge-Kutta公式的導(dǎo)出例:用Taylor公式求解初值問(wèn)題:K可看作是y=y(x)在區(qū)間上的平均斜率。從而Euler公式相當(dāng)于取點(diǎn)上的斜率作為平均斜率K的近似值，這當(dāng)然十分粗糙，因而精度必然很低。再考慮改進(jìn)Euler公式（15）可改寫(xiě)成：

和兩個(gè)點(diǎn)上的斜率和的算術(shù)平均值作為（4）中平均斜率K的近似值。其中是通過(guò)已知與（4）比較可見(jiàn)，它相當(dāng)于把信息來(lái)近似地預(yù)測(cè)的。這個(gè)過(guò)程啟示我們，如果設(shè)法在內(nèi)多預(yù)測(cè)幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，然后將它們加權(quán)平均作平均斜率K的近似值，就有可能構(gòu)造出更高精度的計(jì)算公式。這就是Runge-Kutta方法的基本思想。的現(xiàn)在，設(shè)想取區(qū)間內(nèi)某一節(jié)點(diǎn)上斜率與點(diǎn)上的斜率作線性組合（即加權(quán)平均）化為平均斜率K的近似，即（4）化為：為了要得到點(diǎn)上的斜率，需先預(yù)測(cè)根據(jù)預(yù)測(cè)值再來(lái)算出由此構(gòu)造出計(jì)算格式：（6）上式中含三個(gè)待定系數(shù)和p，適當(dāng)選定它們以使算法的局部誤差為，從而具有二階精度。假定，分別將和作Taylor展開(kāi)得：由（2）得：將此式與y(x)在處的二階Taylor展開(kāi)在處的取值相比較：代入（6）得：成立，則（6）的局部截?cái)嗾`差就等于，從而能具有二階精度。由系數(shù)比較知，只要：

（7）中三個(gè)待定參數(shù)P，但只有兩個(gè)方程，因此還有一個(gè)自由度。凡滿足條件（7）的一族格式統(tǒng)稱為二階Runge-Kutta格式。

當(dāng)p=1，時(shí)，二階Runge-Kutta格式（6）即為改進(jìn)的Euler格式（15）。如取p=1/2，則，二階R-K格式（6）成為：稱之為變形的Euler格式。

由于（8）中的是由Euler格式預(yù)測(cè)出來(lái)的區(qū)間中的點(diǎn)的近似解，就近似地等于此中點(diǎn)的斜率，因此（8）就相當(dāng)于用中點(diǎn)的斜率作為（4）中平均斜率K的近似值，故格式（8）也稱為中點(diǎn)格式。

總之，二階R-K格式用多算一次函數(shù)值f的辦法，避開(kāi)了二階Taylor級(jí)數(shù)法所要求計(jì)算的f的導(dǎo)數(shù)值，在這種意義上可以說(shuō)，R-K方法實(shí)質(zhì)上是Taylor方法的變形。并用三個(gè)點(diǎn)的斜率值線性組合得到平均斜率K，這時(shí)計(jì)算公式為：其中仍用公式（6）所取的形式。

為了預(yù)測(cè)點(diǎn)的斜率值，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)為了進(jìn)一步提高精度，設(shè)除了外，再考慮一點(diǎn)

三三階Runge-Kutta方法

表面上，只含一個(gè)斜率值，但要通過(guò)才能算出來(lái)，因此式中隱含著，每完成一步仍然需計(jì)算f的兩次函數(shù)值，其工作量仍與改進(jìn)的Euler格式一樣。斜率值和可以利用。我們用和線性組合給出區(qū)間上的平均斜率，從而得到的預(yù)測(cè)值于是，再通過(guò)計(jì)算函數(shù)值f得到：這樣設(shè)計(jì)出的計(jì)算格式具有形式：（9）我們希望適當(dāng)選擇系數(shù)和p、q、r、使上述公式具有三階精度。為便于數(shù)學(xué)演算，引進(jìn)算子：，則根據(jù)（2）有：，，于是三階Ｔａｙｌｏｒ展開(kāi)可表為：式中的下標(biāo)i均表示在處取值。將的展開(kāi)式帶入（9），再令可得：此式與（10）式比較系數(shù)可得：以及稱滿足（11）.的公式族（9）為三階Runge-Kutta公式（11）（12）四四階Rung-Kutta方法最常用的一種經(jīng)典Rung-Kutta格式具體形式如下：(13)四階Rung-Kutta方法每一步需要四次計(jì)算函數(shù)值f,可以證明其截?cái)嗾`差為不過(guò)證明復(fù)雜。例：試分別用Euler方法（h=0.025）改進(jìn)的Euler（h=0.05）及經(jīng)典R-K方法（h=0.1）求解下列初值問(wèn)題，比較三種方法的結(jié)果的精度。解：三種方法如下：Euler格式：改進(jìn)的Euler格式：(h=0.05)經(jīng)典的R-K格式：(h=0.1)Euler法h=0.025改進(jìn)Eulerh=0.05R-K法h=0.1精確解yx=0.1x=0.2x=0.30.9036878900.8166518030.7379983450.9048765620.8188015930.740914370.9048375000.8187309010.7408180.904837480.818730750.74081822x這里采用了不同的步長(zhǎng)h值，是為了使他們所耗的計(jì)算工作量大致相同，以便于比較。由上表可見(jiàn)，經(jīng)典的R-K方法的精確度較改進(jìn)的Euler方法又有很大的提高。這一結(jié)論也可以從理論上大致的分析出來(lái)。析出來(lái)：Euler方法的局部截?cái)嗾`差為：計(jì)算四步后的而經(jīng)典R-K方法的局部截?cái)嗾`差則為：可見(jiàn)，當(dāng)為大致相同數(shù)量級(jí)的常數(shù)時(shí)有：但要注意的是：R-K方法的導(dǎo)出利用了Taylor展開(kāi)，因此要求所求的解有教好的光滑性，如果解的光滑性差，則采用經(jīng)典的R-K方法所的數(shù)值解，其精度有可能反而不及改進(jìn)的Euler方法，因此在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的具體情況來(lái)選擇適合的算法。

五步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇---變步長(zhǎng)的Runge-Kutta方法

在應(yīng)用數(shù)值法求解微分方程中，選擇適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)是至關(guān)重要的。步長(zhǎng)太大則達(dá)不到要求，步長(zhǎng)太小則步數(shù)增多，不但增加計(jì)算工作量，還可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累。尤其是當(dāng)微分方程的解y(x)變化激烈時(shí)，步長(zhǎng)的合理取法是在變化激烈處步長(zhǎng)取小些，在變化平緩時(shí)取大些，也就是采取自動(dòng)變步長(zhǎng)的方法，即根據(jù)精度的要求先估計(jì)出下一步長(zhǎng)的合理大小，然后按此計(jì)算。

從節(jié)點(diǎn)出發(fā)，先以h為步長(zhǎng)跨一步到節(jié)點(diǎn)

值如果計(jì)算公式是P階的，則當(dāng)h的變化不大時(shí)，式中的系數(shù)C可以近似的看作為常數(shù)。然后將步長(zhǎng)減半，即以為步長(zhǎng)，從節(jié)點(diǎn)出發(fā)，跨兩步到節(jié)點(diǎn)，再求得一個(gè)近似值。其中每跨一步的截?cái)嗾`差為：故有：(14)（15），求一個(gè)近似

下面介紹一種Richrdson外推法：作為近似值，則

的精確度都要高。當(dāng)p=4時(shí)，可以取這種修正方法與Romberg的數(shù)值積分的思路是一樣的。（15）除以（14）得：由此可以得出誤差事后估計(jì)式：

由上面的分析可見(jiàn)，微分方程數(shù)值解的基本思想是，通過(guò)（1）如果，則反復(fù)加倍步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，直到時(shí)為止，并以上一次步長(zhǎng)的計(jì)算結(jié)果作為（2）若，則反復(fù)減半步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，直到時(shí)為止，并取其最后一次步長(zhǎng)的計(jì)算作為這樣做時(shí)，為了選擇步長(zhǎng)，每一步都要反復(fù)判別，增加了工作量，但在方程的解y(x)變化劇烈的情況時(shí)，總的計(jì)算工作量可以得到減少，結(jié)果還是合算的。這樣就可以從步長(zhǎng)減半前后的兩次計(jì)算結(jié)果的偏差來(lái)判斷步長(zhǎng)選的是否適當(dāng)，當(dāng)要求的數(shù)值精度為時(shí)：§4單步法的收斂性和穩(wěn)定性一單步法的收斂性本例的Euler公式為由此式遞推可得：定義：若一種數(shù)值方法對(duì)任意固定的當(dāng)（同時(shí)）時(shí)有，則稱方法是收斂的。某種離散化手段，將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程來(lái)求解。這種轉(zhuǎn)化是否合理，還要看差分方程問(wèn)題的解當(dāng)時(shí)是否會(huì)收斂到點(diǎn)對(duì)固定的i將趨向，這時(shí)討論收斂是沒(méi)有意義的。考察Euler方法的收斂性

例如：對(duì)初值問(wèn)題所謂的單步法，就是在計(jì)算時(shí)只用到它前一步的信息。Taylor級(jí)數(shù)法，Runger-Kutta方法等都是單步法的例子。顯然單步法的共同特征是，他們都是將加上某種形式的增量得出，其計(jì)算公式形如：式中的稱作增量函數(shù)。例如：對(duì)Euler公式，有對(duì)改進(jìn)的Euler公式有：關(guān)于單步法有下述的收斂定理：(1)(2)定理：設(shè)單步法（1）具有p階的精度，且增量函數(shù)關(guān)于y的滿足Lipschitz條件又設(shè)初值是準(zhǔn)確的，即y0=y(x0),則其的整體截?cái)嗾`差為:(3)證明:設(shè)以表示取用公式（1）求的結(jié)果，即

則由于所給的方法具有P級(jí)精度，根據(jù)精度的定義可知，有常數(shù)C使由（4）與（1）得：(4)

此定理表明，判斷單步法（1）的收斂性，歸結(jié)為驗(yàn)證增量函數(shù)能否滿足Lipschitz（3）對(duì)于Euler方法，由于其增量函數(shù)故當(dāng)f滿足Lipschitz條件時(shí)它是收斂的。因此改進(jìn)的Euler方法也是收斂的。類似的可以證明其它的Runger-Kutta方法的收斂性。上面關(guān)于收斂性的討論有前提條件，即必須假定數(shù)值方法本身的計(jì)算是準(zhǔn)確的，實(shí)際情況并非這樣，差分方程的求解還會(huì)有計(jì)算的誤差。如由于數(shù)字的舍入的誤差而引起的小擾動(dòng)。這類小擾動(dòng)在傳播的過(guò)程中會(huì)不會(huì)惡性的增長(zhǎng)？以至于“淹沒(méi)”了差分方程的“真解”呢？這就是差分方程的穩(wěn)定問(wèn)題。在實(shí)際計(jì)算中，某一步產(chǎn)生的擾動(dòng)值在后面的計(jì)算中能夠被控制，甚至是逐步衰減的。

穩(wěn)定性問(wèn)題比較復(fù)雜，為簡(jiǎn)化討論，僅考察下面的模型方程為保證微分方程本身的穩(wěn)定性，假設(shè)先考慮Euler方法的穩(wěn)定性。模型方程的Euler公式為：設(shè)在節(jié)點(diǎn)值上有一擾動(dòng)值,它的傳播使節(jié)點(diǎn)值產(chǎn)生大小為：的擾動(dòng)值，假設(shè)用按Euler公式得出：定義：若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值上有擾動(dòng)，而對(duì)于yi后的各個(gè)節(jié)點(diǎn)值上產(chǎn)生的偏差均不超過(guò),則稱該方法是穩(wěn)定的。二單步法的穩(wěn)定性0.0250.0500.0750.100123450-1-2-3xy其方程時(shí)間常數(shù)為因此有（10）知，要使Euler法穩(wěn)定則步長(zhǎng)如果取步長(zhǎng)h=0.025則Euler格式為：其結(jié)果在準(zhǔn)確解上下波動(dòng)不穩(wěn)定，再看后退Euler格式H=0.025時(shí)，形式為：計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定。具體結(jié)果如下：節(jié)點(diǎn)Eule方法后退Euler方法0.025-1.50.28570.050.2.250.08160.075-3.3750.02330.1005.06250.0067

前面介紹的幾種步進(jìn)方法，在計(jì)算時(shí)大多只用到前一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的近似值，而沒(méi)有用到前幾步的計(jì)算所得出的信息，故稱為單步法。實(shí)際上經(jīng)過(guò)多次單步法計(jì)算后，已得出一系列近似值等。為了充分利用這些信息來(lái)計(jì)算以減少計(jì)算工作量和獲得教高的精度，可采用如下計(jì)算公式：§5線性多步法一顯式Adams法（1）j對(duì)應(yīng)不同k的和可計(jì)算出來(lái)分別列表如下：k例如k=3時(shí)有：