第一節(jié)幾何向量

第一節(jié)幾何向量5.1幾何向量及其線性運(yùn)算5.1.1幾何向量的概念

現(xiàn)實(shí)生活中有這樣的兩種量：數(shù)量，也稱為標(biāo)量，是只有大小的量，如時間、長度、質(zhì)量、溫度等；向量也稱為矢量，是既有大小又有方向的量，如：力、速度、加速度、電場強(qiáng)度等，向量是研究研究物理學(xué)及幾何學(xué)不可缺少的工具。既有大小，又有方向的量稱為。幾何中的有向線段恰好也有這兩個特征，因此也稱上述向量為幾何向量。

設(shè)A，B是空間中的兩個點(diǎn)，以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段（圖5.1）就可以表示一個向量（大小為線段的長度，方向?yàn)榧^的方向）。向量的大小稱為向量的長度（也叫向量的模），記為。長度為1的向量稱為單位向量。起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量稱為零向量，記為0。零向量的長度為0，方向可看作是任意的。也可以用黑斜體小寫字母（英文或希臘文）表示，如等。

若幾個向量平行于同一條直線，則稱它們共線。任意兩個向量共面。

在實(shí)際問題中，有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些與起點(diǎn)無關(guān)用。我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量，并稱這種向量為自由向量。如果兩個向量長度相等且指向相同，則說相等，記為。若方向相反，則稱互為負(fù)向量。一個向量

的負(fù)向量唯一，記為。顯然。5.1.2幾何向量的線性運(yùn)算

向量的線性運(yùn)算是指向量的加法和數(shù)與向量的乘法。1.向量的加法設(shè)為空間的兩個向量，在空間中任取一點(diǎn)，作，，稱以為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量為向量與的和，記為，即。這一運(yùn)算稱為向量的加法，這種求和法稱為三角形法則（見圖5.2）。也可以這樣得到，作，，以與為鄰邊作平行四邊形，將與頂點(diǎn)連接所得向量即為，該求和法稱為平行四邊形法。（見圖5.3）設(shè)為向量，,k與R的積是滿足如下兩個條件的向量：2.向量與數(shù)的乘法（1）（2）若，與同向；若，與反向。由條件（1）知，當(dāng)或，。定義定理5.1

幾何向量對于向量的線性運(yùn)算滿足下面八（1）（3）（7）

（2）

（4）（5）（6）

（8）條性質(zhì)：根據(jù)線性空間的定義，幾何向量的全體按照幾何向量的線性運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個線性空間，稱為幾何向量空間。例5.1

在平行四邊形ABCD中，設(shè)，，試用和表示和,這里是平行四邊形對角線的交點(diǎn)（圖5.4）。[解]由得由得DCBAM圖5.4例5.2

試證明向量共面的充要條件是存在不全為0的實(shí)數(shù)使得。[證明]充分性若有不全為0的實(shí)數(shù)使得

不妨設(shè)，則。不妨設(shè)，令，則為以為鄰邊的平行四邊形的對角線，當(dāng)然在所在的平面上。必要性設(shè)共面，令，過C作平行于的兩條直線，分別交所在的直線于。則與在同一直線上，與在同一直線上（方向未必相同），若中有一個為0，不妨設(shè)，則取有

故不妨設(shè)，令前的符號以與、與是否同向而定，則即有5.1.2坐標(biāo)系

把空間的點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來要依靠空間中的坐標(biāo)系。坐標(biāo)系將幾何問題代數(shù)化，也將向量的線性運(yùn)算化為數(shù)的運(yùn)算。定理5.2設(shè)為空間中三個不共面的向量，則對任一向量，存在唯一的一組實(shí)數(shù)使得[證明]在空間任取一點(diǎn)O，過O點(diǎn)作直線分別平行于向量，并作。由于不共面，直線也不共面。過P點(diǎn)作三個平面分別平行于平面，它們與分別交于點(diǎn)。于是有實(shí)數(shù)使得，且使得成立。若還有使得，則

，

因不共面，則，于是唯一。定義5.1

設(shè)O為空間一點(diǎn)，為空間中三個不共面的向量，則稱為空間的一個紡射坐標(biāo)系。向量稱為空間的一個基。

通過O點(diǎn)，分別平行且同向于的射線稱為坐標(biāo)軸，平面稱為坐標(biāo)面。

設(shè)P為空間中的一個點(diǎn)，由定理5.2知，向量在紡射坐標(biāo)系中有唯一表示，我們稱為在基下的坐標(biāo)，此時記點(diǎn)P為。O稱為紡射坐標(biāo)系的原點(diǎn)，坐標(biāo)為。結(jié)論5.1取定坐標(biāo)系后，空間中每一點(diǎn)有唯一的

坐標(biāo)；反之，對任一，空間有唯

一的點(diǎn)P，使得，

即P以Z為坐標(biāo)。分別為在方向上的分量。即取定坐標(biāo)系后，幾何向量空間中的，

，

結(jié)論5.2

取定紡射坐系，

,為任意兩個向量，則幾何向量與中的向量形成了一一對應(yīng)。a+b的坐標(biāo)為，即和運(yùn)算可以通過相應(yīng)的坐標(biāo)求和來實(shí)現(xiàn)。由定理5.2知，

結(jié)論5.3

取定紡射坐系,，為任一向量，k為任意實(shí)數(shù)，則即數(shù)與向量的積也可以通過用數(shù)乘以向量的坐標(biāo)來實(shí)現(xiàn)。

當(dāng)紡射坐標(biāo)系中的向量相互垂直且長度為1時，就得到了直角坐標(biāo)系，習(xí)慣上記為或，其中或表示長度為1相互垂直的三個向量，并且與配置在水平面上,

則是鉛垂線，它們的正方向構(gòu)成“右手系”

5.2向量的數(shù)量積、向量積和混合積1.向量的數(shù)量積

設(shè)有兩個非零向量，任取空間一點(diǎn)O,作，，規(guī)定不超過的稱為向量與的夾角，記作。如圖

設(shè)空間一點(diǎn)A及一軸u，過點(diǎn)A作軸u的垂面，稱垂面與軸u的交點(diǎn)為點(diǎn)A在軸u上的投影（圖）與定義5.2

設(shè)向量的起點(diǎn)A與終點(diǎn)B在軸u上的投影分別為與（圖），則稱軸u上的有向線段的值（其絕對值為的長度，其符號由的方向確定。當(dāng)與u軸同向時取正號，反向時取負(fù)號）為向量在軸u上的投影，記作，軸u稱為投影軸。定理設(shè)為兩個向量，則從向量數(shù)量積或內(nèi)積的定義可以看出，向量的內(nèi)積滿足如下性質(zhì)注：又內(nèi)積的定義可以看出定理向量在u軸上的投影，其中為與u軸的夾角。

定義設(shè)為空間中的兩個向量，稱為與的數(shù)量積或內(nèi)積，記作或。

（1）（2）（3）（4），且當(dāng)且僅當(dāng)[證明]由余弦定理易得。且有注：又內(nèi)積的定義可以看出

定理在空間直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別

為與，則注：向量的向量積和混合積定義設(shè)為空間中的三個向量，若滿足：（1）（2）（3）向量構(gòu)成右手系，則稱為向量的向量積，記為。若中有一為零向量，規(guī)定。向量的向量積滿足：（1）（2）（3）（4）注:（1）向量的向量積不滿足交換律；

（2）向量的向量積不滿足消去律，即在一般情形下，由,，推不出；結(jié)論1與以為鄰邊的平行四邊形的面積相同。（圖）

結(jié)論2

由向量積的定義可知，對非零向量，等價于與平行。

結(jié)論3

在空間直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別

為與，則[證明]根據(jù)向量積的定義有根據(jù)向量積的性質(zhì)得根據(jù)行列式的定義可知結(jié)論成立。

定義設(shè)為空間中的三個向量，稱為與的混合積，也記為。定理在空間直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為，與，則

[證明]性質(zhì)（1）性質(zhì)（2）向量共面的充分必要條件是結(jié)論：是張成的平行六面體的體積。

第三節(jié)向量的內(nèi)積與歐幾里德空間

由上一節(jié)可以看出，幾何向量的全體按照幾何向量的線性運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個一線性空間，幾何向量空間中可以定義向量的內(nèi)積，且具有如下四條性質(zhì)：（1）（2）（3）（4），且當(dāng)且僅當(dāng)定義設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，若對任意都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，且對任意以及任意的滿足：（1）（2）（3）（4），且當(dāng)且僅當(dāng)

幾何向量空間中的內(nèi)積可以推廣到一般線性空間中去。則稱為向量與的內(nèi)積。例在線性空間中，對任意向量，，定義，則為上的內(nèi)積。性質(zhì)（1）（2）（3）定義稱為向量的長度，記為，長度為1的向量稱為單位向量。例在歐氏空間中，與的內(nèi)積，則。

定義實(shí)數(shù)域上的線性空間定義了內(nèi)積后稱為歐幾里德空間，簡稱為歐氏空間。長度的性質(zhì)（1），當(dāng)且僅當(dāng)（非負(fù)性）（2）（齊次性）（3）（三角不等式）引理（柯西-許瓦茲不等式），且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，線性相關(guān)。證明考慮，則根的判別式，即。若等號成立，則存在k使得，從而，所以，線性相關(guān)。若，線性相關(guān)，1），顯然等號成立；2），則存在使得，代入得等號成立。下面僅證明性質(zhì)（3）因?yàn)?/p>

兩邊開方得。例在歐氏空間中，內(nèi)積的定義見例由柯西-許瓦茲不等式得，對任意,

有例在線性空間中，對任意，定義，則是上的內(nèi)積，由柯西-許瓦茲不等式有例證明一方面另一方面，因?yàn)?，所以所以有。?/p>

證明

結(jié)論零向量與任意向量正交。定義一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組，由單位向量組成的正交向量組成為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

定義為歐氏空間V中的非零向量，稱

為與的夾角。當(dāng)時，稱與正交，記為。定理正交向量組線性無關(guān)。證明設(shè)為正交向量組，則令則即因?yàn)?，所以，從而線性無關(guān)。定義由正交向量組成的基稱為正交基，由標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。結(jié)論是n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要條件是例在歐氏空間中，為標(biāo)準(zhǔn)正交基。證明取取使得，則因?yàn)?，所以，故又因?yàn)榫€性無關(guān)，所以且即正交。再取，且滿足，

定理設(shè)V為n維歐氏空間，則其任意一組基可以化為正交基與標(biāo)準(zhǔn)正交基。則即因?yàn)?，，，所以，故且分別與正交

同理，因?yàn)槭菑亩牵ň€性無關(guān)）的線性組合，且的系數(shù)為1，所以，是正交向量組。

一般地取，則為正交向量組，從而為正交基。最后取，，則為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，從而為標(biāo)準(zhǔn)正交基。例為維歐氏空間的一組基，求的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。解取定理證明中構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法稱為施密特（Schmit）正交化方法。則是正交基。再取則為標(biāo)準(zhǔn)正交基。例在中，為一組基，對任意，定義則是上的內(nèi)積，成為一維歐氏空間。記取

則是正交基。再取則為標(biāo)準(zhǔn)正交基。結(jié)論設(shè)為n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，，，則第四節(jié)幾何向量空間與3-維歐幾里德空間

從第一節(jié)我們看到，若以E表示空間中幾何向量的全體，那么，按照幾何向量的線性運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。當(dāng)建立了空間坐標(biāo)系后，集合E與集合就建立了一一對應(yīng)關(guān)系。由第二節(jié)與歐幾里德空間的定義知道，在E上定義了幾何向量的數(shù)量積或內(nèi)積后，E成為一個歐幾里德空間。事實(shí)上，一般的歐幾里德空間正是歐幾里德空間E的推廣。

當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，任一幾何向量，有唯一的坐標(biāo)與之對應(yīng)，反過來，對任一，有唯一的幾何向量以X為坐標(biāo)。即集合E與集合就建立了一一對應(yīng)關(guān)系。同時，對，，記，，則

即幾何向量的內(nèi)積等于其坐標(biāo)在中的內(nèi)積。由此幾何向量的長度等于其坐標(biāo)向量在中的長度，兩個幾何向量的夾角等于其坐標(biāo)向量在中夾角。

由以上可以看出，當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，幾何向量空間與線性空間在廣泛的意義下是等價的，或者說，線性空間是幾何向量空間的代數(shù)表示。因此，若，則可記為或者。第五節(jié)直線與平面

空間中的平面（直線）上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的代數(shù)方程稱為空間中的平面（直線）方程。我們僅考慮空間直角坐標(biāo)系下平面（直線）的方程。一.空間中的平面方程1.點(diǎn)法式設(shè)平面通過點(diǎn)，并且垂直于非零向量，這里稱n為平面的法向量。又設(shè)為平面上的任意一點(diǎn)，則在平面內(nèi)，因此與法向量n垂直，從而即（5。）顯然，平面上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（5。）；反之，若一點(diǎn)滿足方程（5。），則與法向量n垂直，因此點(diǎn)在平面上。所以式（5。）為平面的方程，稱其為平面的點(diǎn)法式方程。2.一般方程

將式（5。）整理得：（5。）

其中，稱（5。）為平面的一般方程。

注：1。任一平面可由其上的一點(diǎn)及法向量確定，故可表示為點(diǎn)法式方程和一般方程。2．任意給定一個三元一次方程，不全為零，取為法向量，再任取滿足方程的一點(diǎn)，那么，該方程即為點(diǎn)法式確定的平面方程進(jìn)而得到的一般方程。例已知平面過點(diǎn)，且平行于向量與，求平面的方程。解：因?yàn)榇怪庇?，所以垂直于平面，因此為平面的法向量，所以平面的方程為?.三點(diǎn)式方程空間中三個不共線的點(diǎn)唯一確定一個平面。設(shè)平面過不共線的三個點(diǎn)，，，因?yàn)檫@三點(diǎn)不共線，所以與不共線，從而為平面的法向量。所以平面方程為即4.點(diǎn)線確定的直線方程設(shè)平面過直線以及直線L外的點(diǎn)，求確定的平面方程。

在直線上任取不同的點(diǎn)，，則得三點(diǎn)式方程5、參數(shù)方程設(shè)平面通過點(diǎn)，且平行于不共線向量與，求平面的方程。

設(shè)為平面上的任意一點(diǎn)，則與平行于確定的平面，或與共面，故存在實(shí)數(shù)使得即或此即為平面的參數(shù)方程，其中為參數(shù)。二.空間中的直線方程

1.參數(shù)方程設(shè)直線L過一個已知點(diǎn)，且平行于已知的非零向量，為直線上的任意一點(diǎn)，那么向量與向量平行，于是存在實(shí)數(shù)使得于是該方程稱為直線的參數(shù)方程。2.標(biāo)準(zhǔn)方程消去，得該方程稱為直線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注：若一個為零，比如，方程應(yīng)理解為

若兩個為零，比如，方程應(yīng)理解為3、一般方程

不平行（包括重合）的兩個平面唯一確定一條直線——兩個平面的交線。設(shè)兩個平面的方程分別為：

：二者不不平行（包括重合），即二者的法向量，不共線，設(shè)為交線上的任一點(diǎn)，則該點(diǎn)坐標(biāo)滿足：（5。。）

反之若一點(diǎn)滿足（5。。）式，則該點(diǎn)在的交線上，因此（5。。）式即為一直線方程，稱為直線的一般方程。

注：直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程、一般方程之間可以互相轉(zhuǎn)化。例設(shè)直線L的一般方程為求直線L的標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程。解：平面的方程為，法向量為，平面的方程為，法向量為，則直線L與，垂直，因此為直線L的方向向量，又直線過點(diǎn)（0，0，0）