《 用向量方法討論立體幾何中的位置關(guān)系（1）》示范公開課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)北師大】

第三章空間向量與立體幾何用向量方法討論立體幾何中的位置關(guān)系（1）

牌樓與牌坊類似，是中國傳統(tǒng)建筑之一，最早見于周朝.在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種，多設(shè)于要道口.

我國古代建筑藝術(shù)

上圖牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直，我們就能知道下邊線與地面平行.

這是為什么呢？這節(jié)課我們從向量的角度進行研究.α

α平行和垂直是立體幾何中主要的位置關(guān)系，那么如何用向量方法進行研究呢？直線與平面的平行、垂直等位置關(guān)系關(guān)鍵因素直線的方向向量直線位置關(guān)鍵因素平面的法向量平面位置用向量表示llαn

思路一：只從直線的方向向量和平面的法向量入手考慮.

αl

思路二：考慮向量與平面平行的定義和平面向量基本定理.αlab

思路三：直接將線面平行的判定定理向量化.αlm

幾何關(guān)系向量語言思路：簡單的問題:幾何語言→向量語言復(fù)雜的問題:幾何語言→向量語言+證明的方法運用向量證明幾何問題的方法：一方面源于立體幾何中定理的向量化表述另一方面需要結(jié)合向量自身的特點注意:這里幾何關(guān)系為平行的，與向量語言不是等價關(guān)系.

αll

αl

注意：向量是可以自由移動的α

β

α（或β）

如何用向量的方法證明：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

如何用向量的方法證明：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.

根據(jù)方向向量和法向量進行進行判斷.

知識點：（1）三垂線定理：若平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的投影垂直，則它也和這條斜線垂直.（2）三垂線定理的逆定理：若平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的投影垂直.

1.判斷對錯（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時，直線與平面垂直.（2）直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面垂直.

（3）兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直.

（4）若一條直線的方向向量垂直于一個平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直.解：（1）直線的方向向量與平面的法向量共線（方向相同或相反）時，直線與平面垂直.故正確.（2）直線的方向向量與平面的法向量垂直，直線與平面平行或者在平面內(nèi).故錯誤.（3）兩個平面的法向量垂直，這兩個平面就垂直.故正確.（4）當(dāng)平面內(nèi)兩條直線的方向向量共線時，直線不一定和平面垂直.故錯誤.

2.（1）三垂線定理：若平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的投影垂直，則它也和這條斜線垂直.（2）三垂線定理的逆定