《數(shù)學(xué)歸納法》示范公開(kāi)課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)北師大】

第一章數(shù)列

數(shù)學(xué)歸納法

已知

猜想僅通過(guò)前幾項(xiàng)能得出所有的結(jié)果嗎？這樣得出的猜想一定正確嗎？不一定正確

半個(gè)世紀(jì)后歐拉舉出了反例：當(dāng)n=5時(shí)，該數(shù)可以拆成兩個(gè)數(shù)的乘積．

從某種意義上說(shuō)，僅通過(guò)前幾項(xiàng)不能得出所有的結(jié)果，這樣得出的猜想未必是正確的．該如何證明這個(gè)猜想呢？一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證．但當(dāng)n較大時(shí)，驗(yàn)證起來(lái)會(huì)很麻煩．尤其是我們這里要證明n取所有正整數(shù)都成立，這是一個(gè)無(wú)限的問(wèn)題，逐一驗(yàn)證是不可能的，我們無(wú)法用常規(guī)方法嚴(yán)格證明．因此，我們很有必要尋求一種新的方法，這種方法能讓我們通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時(shí)命題都成立．將多米諾骨牌按一定間距排成一行，怎么做能讓骨牌都倒下？可通過(guò)動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)將骨牌保持適當(dāng)?shù)拈g距，碰倒第一塊骨牌，骨牌都會(huì)倒下．如果碰倒第一塊骨牌，是不是其余的骨牌都將被依次推倒呢？

若骨牌間距過(guò)大，導(dǎo)致前一塊骨牌無(wú)法推倒后一塊骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下．因此要讓相鄰兩個(gè)骨牌之間保持合適的間距，這個(gè)間距要能保證任意相鄰兩塊骨牌，前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下．

所有骨牌都倒下：

（1）第一塊骨牌已倒；（2）前一塊倒下一定能導(dǎo)致后一塊倒下．得到通項(xiàng)公式：

骨牌原理假設(shè)有無(wú)限多塊骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的動(dòng)作將永遠(yuǎn)進(jìn)行下去．也就是說(shuō)，無(wú)論有多少塊骨牌，只要保證這兩個(gè)條件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下．這就是骨牌原理．類(lèi)比骨牌原理，證明問(wèn)題1中的猜想需要幾步？需要分成兩步．多米諾骨牌游戲猜想的證明第一步確保第一塊已經(jīng)倒下證明猜想在n=1時(shí)成立第二步如果第k塊骨牌倒下，那么第k+1塊骨牌也能倒下．若n=k時(shí)猜想成立，則n=k+1時(shí)猜想也成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法：這種用來(lái)證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的方法，叫做數(shù)學(xué)歸納法．

數(shù)學(xué)歸納法的一般證明過(guò)程：所有命題都是從n=1開(kāi)始成立嗎？

第二步中的k是怎樣的正整數(shù)？k應(yīng)該是大于或等于n0的正整數(shù)，不能把“k≥n0”改成“k＞n0”．?dāng)?shù)學(xué)歸納法適用于怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題?數(shù)學(xué)歸納法用于證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可以將這個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題記為P(n)．?dāng)?shù)學(xué)歸納法這兩個(gè)步驟之間有關(guān)系嗎？

下面這道題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中，有沒(méi)有錯(cuò)誤？

證法有錯(cuò)誤．n=1時(shí)，未證明．

第一步，證明n=1時(shí)公式成立：

解：